.jpg)
正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {x^{2}-2 a x+8， x \leqslant1} \\ {x+\frac{4} {x}+2 a， x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$，若$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值为$${{f}{(}{1}{)}}$$，则实数$${{a}}$$的值不可以是（）
A
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
2、['函数的最大(小)值'， '利用基本不等式求最值'， '分段函数的定义']正确率60.0%设$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \left( x-a \right)^{2}， x \leqslant0} \\ {} & {{} x+\frac{1} {x}-a， x > 0} \\ \end{aligned} \right.$$，若$${{f}{(}{0}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$[-2， 1 ]$$
B.$$[ 0， 1 ]$$
C.$$[ 1， 2 ]$$
D.$$[ 0， 2 ]$$
3、['根据函数零点个数求参数范围'， '利用基本不等式求最值'， '分段函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l} {1， x \leqslant0，} \\ {\frac{1} {x}， x > 0，} \\ \end{array} \right.$$则使方程$$x+f ( x ) \!=\! m$$有解的实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 1， ~ 2 )$$
B.$$(-\infty， \ -2 ]$$
C.$$(-\infty， \ 1 ) \cup( 2， \enskip+\infty)$$
D.$$(-\infty， \ 1 ] \cup[ 2， \enskip+\infty)$$
5、['分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}， x \leqslant2} \\ {x-1， x > 2} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( f ( 3 ) )$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} 2^{-x}， x \in(-\infty， 1 ]} \\ {} & {{} l o g_{8 1} x， x \in( 1，+\infty)} \\ \end{aligned} \right.$$则满$$f ( x )=\frac{1} {4}$$的$${{x}}$$的值（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$或$${{3}}$$
D.不存在
7、['函数求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( n )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} n-3 \left( n \geqslant1 0 \right)} \\ {} & {{} f \left[ f \left( n+5 \right) \right] \left( n < 1 0 \right)} \\ \end{aligned} \right.$$其中$${{n}{∈}{N}}$$，则$${{f}{(}{8}{)}}$$等于（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
8、['函数求值域'， '分段函数的定义']正确率60.0%设函数$$g \ ( x ) \;=x^{2}-2 \ ( x \in R ) \; \;， \; \; f ( x ) \; \;=\left\{\begin{array} {l} {g ( x )+x+4， x < g ( x )} \\ {g ( x )-x， x \geq g ( x )} \\ \end{array} \right.$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的值域是（）
D
A.$$[-\frac{9} {4}， ~ 0 ] \cup~ ( 1， ~+\infty)$$
B.$$[ 0， \ \ +\infty)$$
C.$$[ \frac{9} {4}， ~+\infty)$$
D.$$[-\frac{9} {4}， ~ 0 ] \cup~ ( \mathrm{2}， ~+\infty)$$
9、['函数的新定义问题'， '函数求值域'， '函数单调性的判断'， '分段函数的定义'， '函数求定义域']正确率60.0%定义函数$${{g}{(}{x}{)}}$$为不大于$${{x}}$$的最大整数，对于函数$$f ( x )=x-g ( x )$$有以下四个命题：
$$\oplus\， f ( 2 0 1 8. 6 7 )=0. 6 7$$;
$${②}$$在每一个区间$$[ k， k+1 )， \， \， \， k \in Z$$上，$${{f}{(}{x}{)}}$$都是增函数;
$$\odot f \left(-\frac{1} {5} \right) < f \left( \frac{1} {5} \right)$$；
$$\oplus y=f ( x )$$的定义域为$${{R}}$$，值域是$$[ 0， 1 )$$．
其中真命题的序号是（）
D
A.$${③{④}}$$
B.$${①{③}{④}}$$
C.$${②{③}{④}}$$
D.$${①{②}{④}}$$
10、['函数的最大(小)值'， '分段函数的单调性'， '分段函数的定义']正确率60.0%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}+6， x \in[ 1， 2 ]，} \\ {x+7， x \in[-1， 1 )，} \\ \end{array} \right.$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值和最小值分别为（）
A
A.$${{1}{0}{，}{6}}$$
B.$${{1}{0}{，}{8}}$$
C.$${{8}{，}{6}}$$
D.$${{1}{0}{，}{7}}$$
1. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} x^{2}-2ax+8, & x \leqslant 1 \\ x+\frac{4}{x}+2a, & x > 1 \end{cases}$$，若$$f(x)$$的最小值为$$f(1)$$，则实数$$a$$的值不可以是（ ）。
分析：由于$$f(x)$$的最小值为$$f(1)$$，需满足：
对于$$x \leqslant 1$$，$$f(x) \geq f(1)$$，即$$x^{2}-2ax+8 \geq 1-2a+8=9-2a$$
对于$$x > 1$$，$$f(x) \geq f(1)$$，即$$x+\frac{4}{x}+2a \geq 9-2a$$
考虑二次函数$$g(x)=x^{2}-2ax+8$$在$$x \leqslant 1$$的最小值，其对称轴为$$x=a$$。若$$a \leq 1$$，最小值在$$x=a$$处；若$$a > 1$$，最小值在$$x=1$$处。
对于$$x > 1$$，$$h(x)=x+\frac{4}{x}+2a$$的最小值在$$x=2$$处，值为$$2+2+2a=4+2a$$
因此需满足：
若$$a \leq 1$$，则$$g(a)=a^{2}-2a^{2}+8=8-a^{2} \geq 9-2a$$，即$$-a^{2}+2a-1 \geq 0$$，$$-(a-1)^{2} \geq 0$$，仅$$a=1$$成立
若$$a > 1$$，则$$g(1)=9-2a$$为最小值，且需$$4+2a \geq 9-2a$$，即$$4a \geq 5$$，$$a \geq \frac{5}{4}$$
综上，$$a=1$$或$$a \geq \frac{5}{4}$$。选项中$$a=2$$和$$a=4$$满足，$$a=1$$满足，但$$a=\frac{5}{4}$$时需验证：此时$$f(1)=9-2 \times \frac{5}{4}=9-2.5=6.5$$，$$h(2)=4+2 \times \frac{5}{4}=4+2.5=6.5$$，恰好相等，因此也满足。故所有选项均可能，但题目问“不可以是”，需检查边界。实际上$$a=\frac{5}{4}$$时最小值为$$f(1)$$，但$$f(2)$$也等于该值，因此仍满足条件。重新审视问题：可能要求严格最小值为$$f(1)$$，但通常包含等号。经计算，$$a=1$$时，$$f(1)=9-2=7$$，$$g(0)=8$$，$$h(2)=2+2+2=6<7$$，不满足！因此$$a=1$$时最小值不是$$f(1)$$。类似地，$$a=\frac{5}{4}$$时$$f(1)=6.5$$，$$h(2)=6.5$$，相等；$$a=2$$时$$f(1)=9-4=5$$，$$h(2)=4+4=8>5$$；$$a=4$$时$$f(1)=9-8=1$$，$$h(2)=4+8=12>1$$。因此$$a=1$$不满足，故答案选A。
答案：A
2. 设$$f(x)=\begin{cases} (x-a)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x+\frac{1}{x}-a, & x > 0 \end{cases}$$，若$$f(0)$$是$$f(x)$$的最小值，则$$a$$的取值范围是（ ）。
分析：$$f(0)=a^{2}$$，需满足：
对于$$x \leqslant 0$$，$$(x-a)^{2} \geq a^{2}$$，即$$x^{2}-2ax \geq 0$$，$$x(x-2a) \geq 0$$。由于$$x \leq 0$$，需$$x-2a \leq 0$$，即$$a \geq \frac{x}{2}$$对所有$$x \leq 0$$成立，故$$a \geq 0$$。
对于$$x > 0$$，$$x+\frac{1}{x}-a \geq a^{2}$$。$$x+\frac{1}{x}$$的最小值为2（当$$x=1$$时），因此需$$2-a \geq a^{2}$$，即$$a^{2}+a-2 \leq 0$$，$$(a+2)(a-1) \leq 0$$，$$-2 \leq a \leq 1$$。
结合$$a \geq 0$$，得$$0 \leq a \leq 1$$。
答案：B
3. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} 1, & x \leqslant 0 \\ \frac{1}{x}, & x > 0 \end{cases}$$，则使方程$$x+f(x)=m$$有解的实数$$m$$的取值范围是（ ）。
分析：设$$g(x)=x+f(x)$$，则：
当$$x \leqslant 0$$时，$$g(x)=x+1$$，值域为$$(-\infty,1]$$；
当$$x > 0$$时，$$g(x)=x+\frac{1}{x} \geq 2$$（由均值不等式），且当$$x \to 0^{+}$$时$$g(x) \to +\infty$$，当$$x \to +\infty$$时$$g(x) \to +\infty$$，因此值域为$$[2,+\infty)$$。
综上，$$g(x)$$的值域为$$(-\infty,1] \cup [2,+\infty)$$，故方程有解当且仅当$$m \in (-\infty,1] \cup [2,+\infty)$$。
答案：D
5. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} 2^{x}, & x \leqslant 2 \\ x-1, & x > 2 \end{cases}$$，则$$f(f(3))$$等于（ ）。
计算：$$f(3)=3-1=2$$（因为$$3>2$$），$$f(2)=2^{2}=4$$（因为$$2 \leqslant 2$$），故$$f(f(3))=f(2)=4$$。
答案：D
6. 设函数$$f(x)=\begin{cases} 2^{-x}, & x \in (-\infty,1] \\ \log_{81} x, & x \in (1,+\infty) \end{cases}$$，则满足$$f(x)=\frac{1}{4}$$的$$x$$的值（ ）。
分析：若$$x \leq 1$$，则$$2^{-x}=\frac{1}{4}=2^{-2}$$，故$$-x=-2$$，$$x=2$$，但$$2>1$$，不在该区间；
若$$x>1$$，则$$\log_{81} x=\frac{1}{4}$$，即$$x=81^{1/4}=(3^{4})^{1/4}=3$$，且$$3>1$$，符合。
因此只有$$x=3$$。
答案：B
7. 已知函数$$f(n)=\begin{cases} n-3, & n \geqslant 10 \\ f[f(n+5)], & n < 10 \end{cases}$$，其中$$n \in N$$，则$$f(8)$$等于（ ）。
计算：$$f(8)=f[f(13)]$$，$$f(13)=13-3=10$$（因为$$13 \geq 10$$），故$$f(8)=f(10)=10-3=7$$。
答案：D
8. 设函数$$g(x)=x^{2}-2$$，$$f(x)=\begin{cases} g(x)+x+4, & x < g(x) \\ g(x)-x, & x \geq g(x) \end{cases}$$，则$$f(x)$$的值域是（ ）。
分析：先解不等式$$x < g(x)$$和$$x \geq g(x)$$，即$$x < x^{2}-2$$和$$x \geq x^{2}-2$$。
$$x^{2}-x-2>0$$得$$x<-1$$或$$x>2$$；$$x^{2}-x-2 \leq 0$$得$$-1 \leq x \leq 2$$。
因此：
当$$x<-1$$或$$x>2$$时，$$f(x)=g(x)+x+4=x^{2}-2+x+4=x^{2}+x+2$$；
当$$-1 \leq x \leq 2$$时，$$f(x)=g(x)-x=x^{2}-2-x=x^{2}-x-2$$。
对于$$x^{2}+x+2$$，开口向上，对称轴$$x=-\frac{1}{2}$$，在$$x<-1$$时递减，最小值为$$f(-1)=1-1+2=2$$（但$$x=-1$$不在区间，为开区间），当$$x \to -\infty$$时$$f(x) \to +\infty$$；在$$x>2$$时递增，最小值为$$f(2)=4+2+2=8$$（但$$x=2$$不在区间），因此值域为$$(2,+\infty)$$和$$(8,+\infty)$$的并集，即$$(2,+\infty)$$。
对于$$x^{2}-x-2$$，开口向上，对称轴$$x=\frac{1}{2}$$，在$$[-1,2]$$上，最小值为$$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$$，最大值为$$f(-1)=1+1-2=0$$或$$f(2)=4-2-2=0$$，因此值域为$$[-\frac{9}{4},0]$$。
综上，值域为$$[-\frac{9}{4},0] \cup (2,+\infty)$$。
答案：A
9. 定义函数$$g(x)$$为不大于$$x$$的最大整数，对于函数$$f(x)=x-g(x)$$有以下四个命题：
① $$f(2018.67)=0.67$$；
② 在每一个区间$$[k,k+1)$$，$$k \in Z$$上，$$f(x)$$都是增函数；
③ $$f(-\frac{1}{5}) < f(\frac{1}{5})$$；
④ $$y=f(x)$$的定义域为$$R$$，值域是$$[0,1)$$。
分析：
① $$g(2018.67)=2018$$，故$$f(2018.67)=0.67$$，正确；
② 在$$[k,k+1)$$上，$$g(x)=k$$，故$$f(x)=x-k$$，为增函数，正确；
③ $$g(-\frac{1}{5})=-1$$（因为$$-1 < -0.2 < 0$$），故$$f(-\frac{1}{5})=-0.2-(-1)=0.8$$；$$g(\frac{1}{5})=0$$，故$$f(\frac{1}{5})=0.2$$；因此$$0.8 > 0.2$$，故$$f(-\frac{1}{5}) > f(\frac{1}{5})$$，命题错误；
④ 定义域为$$R$$，值域为$$[0,1)$$，正确。
因此真命题为①②④。
答案：D
10. 若函数$$f(x)=\begin{cases} x^{2}+6, & x \in [1,2] \\ x+7, & x \in [-1,1) \end{cases}$$，则$$f(x)$$的最大值和最小值分别为（ ）。
分析：
在$$[-1,1)$$上，$$f(x)=x+7$$为增函数，最小值为$$f(-1)=-1+7=6$$，最大值为$$f(1^{-})=1+7=8$$（但$$x=1$$不在该区间）；
在$$[1,2]$$上，$$f(x)=x^{2}+6$$为增函数，最小值为$$f(1)=1+6=7$$，最大值为$$f(2)=4+6=10$$。
因此整体最小值为$$6$$（在$$x=-1$$处），最大值为$$10$$（在$$x=2$$处）。
答案：A