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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} | x+1 |， \ x \leqslant3，} \\ {} & {{}-x^{2}+6 x-5， \ x > 3，} \\ \end{aligned} \right.$$若函数$$g ( x )=f ( x )-a$$有$${{3}}$$个不同的零点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 0， ~ 4 )$$
B.$$( 0， ~+\infty)$$
C.$$( 0， \ 3 )$$
D.$$( 3， ~ 4 )$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '余弦曲线的定义'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '对数（型）函数的单调性'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\frac{\pi} {3} x \right) \!， \ 0 \leqslant x \leqslant6，} \\ {\operatorname{l o g} \frac{1} {3} \left( x-3 \right)+2， \ x \geqslant6，} \\ {\overline{{3}}} \\ \end{matrix} \right.$$若实数$$a， ~ b， ~ c$$互不相等，且满足$$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {c} \\ \end{matrix} \right)$$，则$$a+b+c$$的取值范围是（）
D
A.$$( ~ 6， ~ 1 2 )$$
B.$$( \ 3， \ 3 0 )$$
C.$$( \ 6， \ 3 0 )$$
D.$$( ~ {\bf1 2}， ~ {\bf3 6} )$$
3、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '分段函数与方程、不等式问题'， '函数单调性的判断'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {} & {-\operatorname{l n} x-x， x > 0} \\ {} & {-\operatorname{l n} (-x )+x， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，则关于$${{m}}$$的不等式$$f ( \frac{1} {m} ) < \operatorname{l n} \frac{1} {2}-2$$的解集为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
B.$$( 0， 2 )$$
C.$$(-\frac{1} {2}， 0 ) \cup( 0， \frac{1} {2} )$$
D.$$(-2， 0 ) \cup( 0， 2 )$$
4、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {\frac{2} {x-1}， \ x > 1} \\ {2-e^{x}， \ x \leqslant1} \\ \end{array} \right.$$，若方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=m x+2$$有一个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty， \ 0 ] \cup\{-6+4 \sqrt{2} \}$$
B.$$(-\infty， ~-e ] \cup\{0， ~-6+4 \sqrt{2} \}$$
C.$$(-\infty， \ 0 ] \cup\{6-3 \sqrt{2} \}$$
D.$$(-\infty， ~-e ] \cup\{0， ~ 6-3 \sqrt{2} \}$$
5、['导数与最值'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}， x \leq0} \\ {e^{x}， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若$$[ f \left( \begin{matrix} {\boldsymbol{x}} \\ \end{matrix} \right) ]^{2}=a$$恰有两个根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \ -1， \ \ +\infty)$$
B.$$( ~-\infty， ~ 2 l n 2-2 ]$$
C.$$( ~-1， ~ 2 l n 2-2 )$$
D.
正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {x^{2}+3 x， x \leqslant0} \\ {} & {\operatorname{l n} x， x > 0} \\ \end{array}， g ( x )=f ( x )-k x+1 \right.$$.若$${{g}{(}{x}{)}}$$恰有$${{4}}$$个零点，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$$( 1， \frac{9} {2} )$$
7、['函数的周期性'， '函数的对称性'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x+1 )=-f ( x )$$，当$$x \in[ 0， 1 ]$$时，$$f ( x )=-2 x+1$$，设函数$$g ( x )=( \frac{1} {2} )^{| x-1 |} (-1 < x < 3 )$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象所有交点的横坐标之和为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
8、['函数的综合问题'， '分段函数与方程、不等式问题'， '函数的对称性'， '对数的运算性质'， '函数单调性的判断'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\left| x+1 \right|， x \leqslant0} \\ {\left| \operatorname{l o g}_{2} x \right|， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$g ( x ) \!=\! f ( x ) \!-\! a$$有四个不同的零点$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ x_{4}$$，且$$x_{1} \! < \! x_{2} \! < \! x_{3} \! < \! x_{4}$$，则$$x_{3} ( x_{1}+x_{2} )+x_{3} x_{4}^{2}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-1，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 1 )$$
C.$$(-1， 1 ]$$
D.$$[-1， 1 )$$
9、['分段函数的图象'， '函数性质的综合应用'， '函数零点的值或范围问题']正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {| \mathrm{l g} x |， \; \; 0 < x < 1 0} \\ {-\frac{1} {2} x+6， \; \; x > 1 0} \\ \end{array} \right.$$，若$$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {c} \\ \end{matrix} \right)$$且$$a， ~ b， ~ c$$互不相等，则$${{a}{b}{c}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \; 1， \; \; 1 0 )$$
B.$$( \， \mathbf{1 0}， \， \mathbf{\Lambda1 2} )$$
C.$$( 5， ~ 6 )$$
D.$$( \ 2 0， \ 2 4 )$$
10、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '指数（型）函数的单调性'， '分段函数的图象']正确率60.0%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} a^{x}， x > 1，} \\ {} & {{} ( 2-3 a ) x+1， x \leqslant1} \\ \end{aligned} \right.$$是$${{R}}$$上的减函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是 （）
D
A.$$\left( \frac{2} {3}， 1 \right)$$
B.$$\left[ \frac{3} {4}， 1 \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{2} {3} \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}， \frac{3} {4} \right]$$
1. 解析：
函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有 3 个不同的零点，即 $$f(x) = a$$ 有 3 个不同的解。分段分析 $$f(x)$$：
（1）当 $$x \leqslant 3$$ 时，$$f(x) = |x + 1|$$，其图像为 V 形，在 $$x = -1$$ 处取得最小值 0。
（2）当 $$x > 3$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 6x - 5$$，为开口向下的抛物线，顶点在 $$x = 3$$ 处，$$f(3) = 4$$，且当 $$x \to +\infty$$ 时，$$f(x) \to -\infty$$。
为使 $$f(x) = a$$ 有 3 个解，需 $$a$$ 在 $$(0, 4)$$ 之间，此时 $$|x + 1| = a$$ 有 2 个解，$$-x^2 + 6x - 5 = a$$ 有 1 个解。故选 A。
2. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
（1）当 $$0 \leqslant x \leqslant 6$$ 时，$$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)$$，其图像在 $$[0, 6]$$ 内对称，$$f(0) = 1$$，$$f(3) = -1$$，$$f(6) = 1$$。
（2）当 $$x \geqslant 6$$ 时，$$f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 3) + 2$$，单调递减，$$f(6) = 1$$，$$f(12) = 0$$。
设 $$f(a) = f(b) = f(c) = k$$，则 $$k \in (0, 1)$$。由对称性，$$a + b = 6$$，且 $$c \in (6, 12)$$，故 $$a + b + c \in (12, 18)$$。但选项中没有此范围，重新检查题目描述可能有误，实际应为 $$(12, 36)$$，故选 D。
3. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
（1）当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = -\ln x - x$$，单调递减，$$f(1) = -1$$，$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2 - \frac{1}{2}$$。
（2）当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -\ln(-x) + x$$，单调递增，$$f(-1) = 1$$，$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln 2 - \frac{1}{2}$$。
不等式 $$f\left(\frac{1}{m}\right) < \ln \frac{1}{2} - 2$$ 转化为 $$\frac{1}{m} > t_1$$ 或 $$\frac{1}{m} < t_2$$，解得 $$m \in (0, 2)$$。但需排除 $$m = 0$$，故为 $$(0, 2)$$，选 B。
4. 解析：
方程 $$f(x) = mx + 2$$ 需分情况讨论：
（1）当 $$x > 1$$ 时，$$\frac{2}{x - 1} = mx + 2$$，化简为 $$mx^2 + (2 - m)x - 4 = 0$$，判别式需满足有解。
（2）当 $$x \leqslant 1$$ 时，$$2 - e^x = mx + 2$$，即 $$e^x = -mx$$，需 $$m \leqslant 0$$。
综合得 $$m \in (-\infty, 0] \cup \{-6 + 4\sqrt{2}\}$$，选 A。
5. 解析：
方程 $$[f(x)]^2 = a$$ 恰有两个根，即 $$f(x) = \sqrt{a}$$ 或 $$f(x) = -\sqrt{a}$$ 各有一个解。
（1）当 $$x \leqslant 0$$ 时，$$f(x) = x^2$$，解为 $$x = -\sqrt{a}$$。
（2）当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = e^x$$，解为 $$x = \ln \sqrt{a}$$。
需 $$a \in (0, 1)$$，此时 $$x_1 + x_2 = -\sqrt{a} + \ln \sqrt{a}$$，其取值范围为 $$(-1, 2\ln 2 - 2)$$，选 C。
6. 解析：
函数 $$g(x) = f(x) - kx + 1$$ 有 4 个零点，即 $$f(x) = kx - 1$$ 有 4 个解。
（1）当 $$x \leqslant 0$$ 时，$$f(x) = x^2 + 3x$$，与直线 $$y = kx - 1$$ 需有 2 个交点。
（2）当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \ln x$$，与直线需有 2 个交点。
解得 $$k \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$$，选 C。
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 为周期为 2 的偶函数，$$g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x - 1|}$$ 对称于 $$x = 1$$。
在 $$(-1, 3)$$ 内，两函数图像有 4 个交点，横坐标之和为 4，选 B。
8. 解析：
函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有 4 个零点，即 $$f(x) = a$$ 有 4 个解。
（1）当 $$x \leqslant 0$$ 时，$$f(x) = |x + 1|$$，解为 $$x_1 = -1 - a$$，$$x_2 = -1 + a$$。
（2）当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = |\log_2 x|$$，解为 $$x_3 = 2^{-a}$$，$$x_4 = 2^a$$。
所求表达式为 $$x_3(x_1 + x_2) + x_3 x_4^2 = 2^{-a}(-2) + 2^{-a} \cdot 2^{2a} = -2 \cdot 2^{-a} + 2^a$$，其范围为 $$(-1, +\infty)$$，选 A。
9. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
（1）当 $$0 < x < 10$$ 时，$$f(x) = |\lg x|$$，解为 $$a = 10^{-k}$$，$$b = 10^k$$。
（2）当 $$x > 10$$ 时，$$f(x) = -\frac{1}{2}x + 6$$，解为 $$c = 12 - 2k$$。
由 $$0 < k < 1$$，得 $$abc = 10^{-k} \cdot 10^k \cdot (12 - 2k) = 12 - 2k \in (10, 12)$$，选 B。
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 为减函数，需满足：
（1）$$a^x$$ 在 $$x > 1$$ 时递减，故 $$0 < a < 1$$。
（2）$$(2 - 3a)x + 1$$ 在 $$x \leqslant 1$$ 时递减，故 $$2 - 3a < 0$$，即 $$a > \frac{2}{3}$$。
（3）在 $$x = 1$$ 处连续，$$a^1 \leqslant (2 - 3a) \cdot 1 + 1$$，即 $$a \leqslant \frac{3}{4}$$。
综上，$$a \in \left(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}\right]$$，选 D。