2、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {2^{x}-4， \ x > a，} \\ {( x-1 ) ( x-3 )， \ x \leqslant a} \\ \end{aligned} \right.$$有且只有$${{2}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{1}{⩽}{a}{⩽}{2}}$$
B.$${{a}{⩾}{3}}$$
C.$${{1}{⩽}{a}{⩽}{2}}$$或$${{a}{⩾}{3}}$$
D.$${{1}{⩽}{a}{<}{2}}$$或$${{a}{⩾}{3}}$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {| l n x |， \ 0 < x \leqslant e} \\ {-\frac{1} {e} x+2， \ x > e} \\ \end{matrix} \right.$$为自然对数的底数）若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$均不相等，且$${{f}{（}{a}{）}{=}{f}{（}{b}{）}{=}{f}{（}{c}{）}}$$，则$${{a}{+}{b}{+}{c}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 2 e+\frac{1} {e}， \ 2 e+2 )$$
B.$$( 2 e+\frac{1} {e}， \ 3 e )$$
C.$${（{2}{e}{+}{1}{，}{2}{e}{+}{2}{）}}$$
D.$${（{2}{e}{+}{1}{，}{3}{e}{）}}$$
4、['分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {| 2 x-1 |， x \leqslant1} \\ {\operatorname{l o g}_{2} ( x-1 )， x > 1} \\ \end{aligned} \right.，$$若$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{=}{f}{(}{{x}_{3}}{)}}$$（$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}}$$不互相等），则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{{x}_{3}}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{0}{，}{8}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{4}{]}}$$
D.$${{(}{1}{，}{8}{]}}$$
5、['对数的运算性质'， '函数单调性的应用'， '分段函数的图象']正确率60.0%已知$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{{l}{n}}{x}{|}{，}}$$设$${{0}{<}{a}{<}{b}{，}}$$且$${{f}{(}{a}{)}{=}{f}{(}{b}{)}{，}}$$则$${{a}{+}{2}{b}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{[}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{[}{2}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{2}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
6、['函数的对称性'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象'， '函数性质的综合应用']正确率19.999999999999996%定义在$${{R}}$$上的函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {{\frac{1} {| x-e |}}， \ x \neq e} \\ {1， \ x=e} \\ \end{array} \right.$$若关于$${{x}}$$的方程$${{[}{f}{（}{x}{）}{{]}^{2}}{−}{m}{f}{（}{x}{）}{+}{m}{−}{1}{=}{0}{（}}$$其中$${{m}{>}{2}{）}}$$有$${{n}}$$个不同的实根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{…}{，}{{x}_{n}}}$$，则$${{f}{（}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{+}{…}{{x}_{n}}{）}{=}{（}}$$）
C
A.$${{5}{e}}$$
B.$${{4}{e}}$$
C.$$\frac{1} {4 e}$$
D.$$\frac{1} {3 e}$$
8、['函数奇偶性的应用'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${（{−}{∞}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上的偶函数，当$${{x}{>}{0}}$$时$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {2^{| x-1 |}， \ 0 < x \leqslant2} \\ {\frac{1} {2} f ( x-2 )， \ x > 2} \\ \end{matrix} \right.$$，则函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{2}{f}{（}{x}{）}{−}{1}}$$的零点个数为（）个．
C
A.$${{6}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
9、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {4 x-4，} & {x \leqslant1} \\ {x^{2}-4 x+3，} & {x > 1} \\ \end{array} \right.， \ g \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{2} x$$，则函数$${{h}{{(}{x}{)}}{=}{f}{{(}{x}{)}}{−}{g}{{(}{x}{)}}}$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
### 问题2解析
函数$$f(x)$$分为两部分：
1. 当$$x \leq a$$时，$$f(x) = (x-1)(x-3)$$，这是一个二次函数，零点为$$x=1$$和$$x=3$$。
2. 当$$x > a$$时，$$f(x) = 2^x - 4$$，这是一个指数函数，零点为$$x=2$$。
为了使$$f(x)$$有且只有2个零点，需要考虑以下情况：
- 如果$$a < 1$$，则$$f(x)$$在$$x \leq a$$的部分没有零点，而在$$x > a$$的部分有一个零点$$x=2$$，此时总零点数为1，不符合要求。
- 如果$$1 \leq a < 2$$，则$$f(x)$$在$$x \leq a$$的部分有一个零点$$x=1$$（因为$$x=3 > a$$不在范围内），而在$$x > a$$的部分有一个零点$$x=2$$，总零点数为2，符合要求。
- 如果$$a = 2$$，则$$x=2$$是$$f(x)$$的连续点，且$$f(2)=0$$。此时$$f(x)$$在$$x \leq 2$$的部分有两个零点$$x=1$$和$$x=2$$（因为$$(2-1)(2-3)=-1 \neq 0$$，所以$$x=2$$不是$$x \leq a$$部分的零点），而在$$x > 2$$的部分无零点，总零点数为1（只有$$x=1$$和$$x=2$$中的$$x=1$$），不符合要求。
- 如果$$2 < a \leq 3$$，则$$f(x)$$在$$x \leq a$$的部分有两个零点$$x=1$$和$$x=3$$，而在$$x > a$$的部分无零点（因为$$2^x - 4 > 0$$），总零点数为2，符合要求。
- 如果$$a > 3$$，则$$f(x)$$在$$x \leq a$$的部分有两个零点$$x=1$$和$$x=3$$，而在$$x > a$$的部分无零点，总零点数为2，符合要求。
综上，$$a$$的取值范围是$$1 \leq a < 2$$或$$a \geq 3$$。因此正确答案是D。
### 问题3解析
函数$$f(x)$$分为两部分：
1. 当$$0 < x \leq e$$时，$$f(x) = |\ln x|$$，其图像在$$(0,1)$$递减，在$$(1,e)$$递增，且$$f(1)=0$$，$$f(e)=1$$。
2. 当$$x > e$$时，$$f(x) = -\frac{1}{e}x + 2$$，是一条斜率为负的直线，且$$f(e)=1$$，$$f(2e)=0$$。
设$$f(a)=f(b)=f(c)=k$$，则$$k \in (0,1)$$。对于$$|\ln x|=k$$，有两个解$$x_1=e^{-k}$$和$$x_2=e^{k}$$；对于$$-\frac{1}{e}x + 2 = k$$，有一个解$$x_3=e(2-k)$$。
因为$$a, b, c$$互不相等，所以$$a$$和$$b$$分别取$$e^{-k}$$和$$e^{k}$$，$$c$$取$$e(2-k)$$。因此：
$$a + b + c = e^{-k} + e^{k} + e(2 - k)$$
令$$g(k) = e^{-k} + e^{k} + 2e - e k$$，$$k \in (0,1)$$。求导得：
$$g'(k) = -e^{-k} + e^{k} - e$$
令$$g'(k)=0$$，解得$$k=\ln\left(\frac{e + \sqrt{e^2 + 4}}{2}\right) \approx 0.8$$。
计算边界值：
- 当$$k \to 0^+$$时，$$g(k) \to 1 + 1 + 2e = 2 + 2e$$。
- 当$$k \to 1^-$$时，$$g(k) \to e^{-1} + e + 2e - e = \frac{1}{e} + 2e$$。
因此，$$a + b + c$$的取值范围是$$(2e + \frac{1}{e}, 2e + 2)$$。正确答案是A。
### 问题4解析
函数$$f(x)$$分为两部分：
1. 当$$x \leq 1$$时，$$f(x) = |2x - 1|$$，其图像在$$(-\infty, 0.5)$$递减，在$$(0.5,1)$$递增，且$$f(0.5)=0$$，$$f(1)=1$$。
2. 当$$x > 1$$时，$$f(x) = \log_2(x-1)$$，是一个递增函数，且$$f(2)=0$$，$$f(+\infty)=+\infty$$。
设$$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=k$$，则$$k \in (0,1)$$。对于$$|2x - 1|=k$$，有两个解$$x_1=\frac{1 - k}{2}$$和$$x_2=\frac{1 + k}{2}$$；对于$$\log_2(x-1)=k$$，有一个解$$x_3=2^k + 1$$。
因此：
$$x_1 + x_2 + x_3 = \frac{1 - k}{2} + \frac{1 + k}{2} + 2^k + 1 = 1 + 2^k + 1 = 2 + 2^k$$
因为$$k \in (0,1)$$，所以$$2^k \in (1,2)$$，因此$$x_1 + x_2 + x_3 \in (3,4)$$。正确答案是C。
### 问题5解析
函数$$f(x) = |\ln x|$$在$$(0,1)$$递减，在$$(1,+\infty)$$递增。设$$f(a)=f(b)=k$$，则$$a=e^{-k}$$，$$b=e^{k}$$，其中$$k > 0$$。
因为$$0 < a < b$$，所以$$a + 2b = e^{-k} + 2e^{k}$$。令$$g(k) = e^{-k} + 2e^{k}$$，求导得：
$$g'(k) = -e^{-k} + 2e^{k}$$
令$$g'(k)=0$$，解得$$k=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right)$$，但$$k > 0$$，因此$$g(k)$$在$$k > 0$$时单调递增。
当$$k \to 0^+$$时，$$g(k) \to 1 + 2 = 3$$；当$$k \to +\infty$$时，$$g(k) \to +\infty$$。因此$$a + 2b \in (3, +\infty)$$。正确答案是B。
### 问题6解析
函数$$f(x)$$的定义为：
1. 当$$x \neq e$$时，$$f(x) = \frac{1}{|x - e|}$$。
2. 当$$x = e$$时，$$f(x) = 1$$。
方程$$[f(x)]^2 - m f(x) + m - 1 = 0$$可以因式分解为$$(f(x) - 1)(f(x) - (m - 1)) = 0$$，因此解为$$f(x)=1$$或$$f(x)=m-1$$。
- 对于$$f(x)=1$$，解为$$x=e$$或$$x=e \pm 1$$（共3个解）。
- 对于$$f(x)=m-1$$，因为$$m > 2$$，所以$$m-1 > 1$$，解为$$x=e \pm \frac{1}{m-1}$$（共2个解）。
因此总共有$$3 + 2 = 5$$个不同的实根。这些根的和为：
$$e + (e + 1) + (e - 1) + \left(e + \frac{1}{m-1}\right) + \left(e - \frac{1}{m-1}\right) = 5e$$
计算$$f(5e)$$：
因为$$5e \neq e$$，所以$$f(5e) = \frac{1}{|5e - e|} = \frac{1}{4e}$$。正确答案是C。
### 问题8解析
函数$$f(x)$$是偶函数，且定义在$$x > 0$$时分为两部分：
1. 当$$0 < x \leq 2$$时，$$f(x) = 2^{|x - 1|}$$，其图像在$$(0,1)$$递减，在$$(1,2)$$递增，且$$f(0^+)=2$$，$$f(1)=1$$，$$f(2)=2$$。
2. 当$$x > 2$$时，$$f(x) = \frac{1}{2}f(x-2)$$，因此$$f(x)$$在$$(2,4)$$的图像是$$(0,2)$$的图像压缩并缩放。
函数$$g(x) = 2f(x) - 1$$的零点即$$f(x) = \frac{1}{2}$$。由于$$f(x)$$在$$(0,1)$$和$$(1,2)$$各有一个解，且在$$(2,4)$$有两个解（由于周期性），再考虑$$x < 0$$的对称性，总共有$$2 \times 3 = 6$$个零点。正确答案是A。
### 问题9解析
函数$$h(x) = f(x) - g(x)$$的零点即$$f(x) = g(x)$$。
1. 当$$x \leq 1$$时，$$f(x) = 4x - 4$$，$$g(x) = \log_2 x$$。方程$$4x - 4 = \log_2 x$$在$$(0,1)$$有一个解（因为$$x=1$$时$$f(1)=0$$，$$g(1)=0$$，但$$x \to 0^+$$时$$f(x) \to -4$$，$$g(x) \to -\infty$$，中间有交点）。
2. 当$$x > 1$$时，$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$，$$g(x) = \log_2 x$$。方程$$x^2 - 4x + 3 = \log_2 x$$在$$(1,3)$$有两个解（因为$$f(1)=0$$，$$g(1)=0$$；$$f(2)=-1$$，$$g(2)=1$$；$$f(3)=0$$，$$g(3) \approx 1.585$$，中间有交点）。
因此总共有$$1 + 2 = 3$$个零点。正确答案是C。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱
.jpg)