分段函数的图象-3.1 函数的概念及其表示知识点回顾进阶单选题自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['导数与单调性'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-\frac{1} {2} | x+2 |+1， x < 0，} \\ {} & {{} x^{3}， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$若存在实数$$a， ~ b， ~ c，$$当$$a < b < c$$时，满足$$f ( a )=f ( b )=f ( c )，$$则$$a f ( a )+b f ( b )+c f ( c )$$的取值范围是（）

A.$$(-4， 0 )$$

B.$$(-3， 0 )$$

C.$$[-4， 0 )$$

D.$$[-3， 0 )$$

2、['函数图象的识别'， '同角三角函数的商数关系'， '正弦函数图象的画法'， '分段函数的图象']

正确率60.0%函数$$y=| \operatorname{t a n} x | \cdot\operatorname{c o s} x ( 0 \leqslant x < \frac{3 \pi} {2}， x \neq\frac{\pi} {2} )$$的图象是$${{(}{)}}$$

3、['在给定区间上恒成立问题'， '分段函数的图象']

正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {a x^{2}+x， x \geq0} \\ {-a x^{2}+x， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$当$$x \in[-\frac{1} {2}， \ \frac{1} {2} ]$$时，恒有$$f \left( \begin{matrix} {x+a} \\ \end{matrix} \right) \ < f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \frac{1-\sqrt{5}} {2}， \ \frac{1+\sqrt{5}} {2} )$$

B.$$( \mathrm{\ensuremath{-1}}， \mathrm{\ensuremath{\frac{1+\sqrt{5}} {2}}} )$$

C.$$( \frac{1-\sqrt{5}} {2}， \ 0 )$$

D.$$( ~ \frac{1-\sqrt{5}} {2}， ~-\frac{1} {2} ] ~$$

4、['导数的几何意义'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{array} {c} {{x}} \\ {{x}} \end{array} \right)=\frac{1} {2}-\begin{array} {c} {{( \begin{array} {c} {x} \\ {-\sqrt{e}} \\ \end{array} )}} \\ {{( \begin{array} {c} {x} \\ {-\frac{1} {2}} \\ \end{array} )}} \end{array}$$其中$$x \in~ ( 0， ~+\infty) ~ ) ~， ~ g ~ ( x ) ~=l n x$$和函数$$h \sp{( x )}=\left\{\begin{matrix} {f ( x )} & {f ( x ) \geqslant g ( x )} \\ {g ( x )} & {f ( x ) < g ( x )} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$h \textbf{\textit{( x )}}=k \textbf{x}$$有四个不同的解，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {2} )$$

B.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{e}} {2 e} )$$

C.$$( \frac{\sqrt{e}} {2 e}， \ \frac{1} {e} )$$

D.$$( \frac{1} {e}， \ \frac{\sqrt{e}} {e} )$$

5、['导数与最值'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {2 x^{2}， x \leqslant0} \\ {e^{2 x}， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$\left[ f \left( x \right) \right]^{2}=a$$恰有两个不同的实数根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的最大值是

A.$$- \frac{\sqrt2} 2$$

B.$$\operatorname{l n} \sqrt{2}-1$$

C.$$\operatorname{l n} 2-\sqrt{2}$$

D.$$\operatorname{l n} \sqrt{2}+1$$

6、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {-x^{2}+2 x， x > 0} \\ {0， x=0} \\ {x^{2}+m x， x < 0} \\ \end{array} \right.$$是奇函数，且在区间$$[-1， a-2 ]$$上满足任意的$$x_{1}， x_{2} ( x_{1} \neq x_{2} )$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， 3 )$$

B.$$[ 1， 3 )$$

C.$$( 1， 3 ]$$

D. $\text{[math]}$

7、['函数的周期性'， '函数的对称性'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}-2， \， x \in(-1， \， 0 ]} \\ {} & {{} x^{2}-2， \， x \in( 0， \， 1 ]} \\ \end{aligned} \right.$$且$$f ( x+2 )=f ( x )， \， \， \， g ( x )=\frac{5-2 x} {x-2}$$，则方程$$f ( x )=g ( x )$$在区间$$[-3， \， 7 ]$$上的所有实根之和为（）

A.$${{1}{4}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{1}{1}}$$

D.$${{7}}$$

8、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '对数方程与对数不等式的解法'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l g} x， ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x > 0} \\ {\operatorname{l g} \left(-\frac{1} {x} \right)， ~ ~ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$f \left( m \right) > f \left(-m \right)$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$(-1， 0 ) \bigcup\， ( 1，+\infty)$$

B.$$(-\infty，-1 ) \bigcup\， ( 1，+\infty)$$

C.$$(-1， 0 ) \bigcup\， ( 0， 1 )$$

D.$$(-\infty，-1 ) \bigcup\， ( 0， 1 )$$

9、['函数的周期性'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%若函数$$y=\! f ( x ) ( x \! \in\! R )$$满足$$f ( x \!+\! 1 ) \!=\!-f ( x )$$，且$$x {\in} [-1， 1 ]$$时$$f ( x ) \!=\! 1 \!-\! x^{2}$$，函数$$g ( x ) \!=\! \left\{\begin{array} {c} {\operatorname{l g} x ( x \! > \! 0 )} \\ {-\frac{1} {x} ( x \! < \! 0 )} \\ \end{array} \right.$$，则函数$$h ( x )=f ( x )-g ( x )$$在区间$$[-5， 4 ]$$内的零点的个数为（）

A.$${{7}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{0}}$$

10、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%设$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x+4， x \leqslant-2 \sharp x > 3} \\ {x^{2}-1，-2 < x < 3} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$y=f ( x )+k$$的图象与$${{x}}$$轴恰有三个不同交点，则$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$$(-2， 1 )$$

B.$$[ 0， 1 ]$$

C.$$[-2， 0 )$$

D.$$[-2， 1 )$$

1. 解析：

首先分析函数$$f(x)$$的定义域和图像：

- 当$$x < 0$$时，$$f(x) = -\frac{1}{2}|x+2| + 1$$，这是一个V形函数，顶点在$$(-2, 1)$$，斜率为$$\pm \frac{1}{2}$$。

- 当$$x > 0$$时，$$f(x) = x^3$$，是一个单调递增的函数。

要求存在$$a < b < c$$使得$$f(a) = f(b) = f(c) = k$$，则$$k$$必须在$$f(x)$$的值域内且满足水平线$$y = k$$与$$f(x)$$有三个交点。

- 对于$$x < 0$$，$$f(x)$$的取值范围是$$(-\infty, 1]$$。

- 对于$$x > 0$$，$$f(x)$$的取值范围是$$(0, +\infty)$$。

因此，$$k \in (0, 1)$$。

设$$a < b < c$$，则$$a$$和$$c$$在$$x < 0$$的部分对称，$$b$$在$$x > 0$$的部分。

由$$f(a) = f(b) = f(c) = k$$，解得：

$$a = -2 - 2(1 - k) = -4 + 2k$$，

$$c = -2 + 2(1 - k) = -2k$$，

$$b = k^{1/3}$$。

所求表达式为：

$$a f(a) + b f(b) + c f(c) = a k + b k + c k = k(a + b + c) = k(-4 + 2k + k^{1/3} - 2k) = k(k^{1/3} - 4)$$。

令$$t = k^{1/3}$$，则$$t \in (0, 1)$$，表达式变为$$t^3(t - 4) = t^4 - 4t^3$$。

求导得极值点$$t = 3$$，但$$t \in (0, 1)$$，函数在$$(0, 1)$$单调递减，取值范围为$$(-3, 0)$$。

故选B。

2. 解析：

函数$$y = |\tan x| \cdot \cos x$$定义域为$$0 \leq x < \frac{3\pi}{2}$$且$$x \neq \frac{\pi}{2}$$。

分区间讨论：

- 当$$0 \leq x < \frac{\pi}{2}$$时，$$\tan x \geq 0$$，$$y = \tan x \cdot \cos x = \sin x$$。

- 当$$\frac{\pi}{2} < x \leq \pi$$时，$$\tan x \leq 0$$，$$y = -\tan x \cdot \cos x = -\sin x$$。

- 当$$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$$时，$$\tan x \geq 0$$，$$y = \tan x \cdot \cos x = \sin x$$。

综上，函数图像在$$[0, \frac{\pi}{2})$$和$$(\pi, \frac{3\pi}{2})$$为正弦曲线，在$$(\frac{\pi}{2}, \pi]$$为负正弦曲线。

观察选项，只有A符合。

故选A。

3. 解析：

函数$$f(x)$$为分段函数：

- 当$$x \geq 0$$时，$$f(x) = a x^2 + x$$；

- 当$$x < 0$$时，$$f(x) = -a x^2 + x$$。

题目要求在$$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$时，$$f(x + a) < f(x)$$。

分情况讨论：

1. 若$$a > 0$$，则$$x + a$$可能超出$$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$，需限制$$a < \frac{1}{2}$$。

2. 若$$a < 0$$，则$$x + a$$可能小于$$-\frac{1}{2}$$，需限制$$a > -\frac{1}{2}$$。

进一步分析不等式$$f(x + a) < f(x)$$：

- 对于$$x \geq 0$$，$$a(x + a)^2 + (x + a) < a x^2 + x$$，化简得$$a(2x + a) + 1 < 0$$。

- 对于$$x < 0$$，$$-a(x + a)^2 + (x + a) < -a x^2 + x$$，化简得$$-a(2x + a) + 1 < 0$$。

解得$$a \in \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right)$$。

结合选项，选D。

4. 解析：

函数$$f(x) = \frac{1}{2} - (x - \sqrt{e})(x - \frac{1}{2})$$，$$g(x) = \ln x$$。

$$h(x)$$为$$f(x)$$和$$g(x)$$的较大值。

方程$$h(x) = k x$$有四个解，需分析交点。

求$$f(x) = g(x)$$的解，再求切线斜率。

解得$$k \in \left(0, \frac{\sqrt{e}}{2e}\right)$$。

故选B。

5. 解析：

函数$$f(x)$$为分段函数：

- 当$$x \leq 0$$时，$$f(x) = 2x^2$$；

- 当$$x > 0$$时，$$f(x) = e^{2x}$$。

方程$$[f(x)]^2 = a$$有两个解$$x_1$$和$$x_2$$。

分析$$f(x)$$的图像，$$a$$需满足$$0 < a < 1$$。

解得$$x_1 = -\sqrt{\frac{a}{2}}$$，$$x_2 = \frac{1}{2} \ln a$$。

求和得$$x_1 + x_2 = -\sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{1}{2} \ln a$$。

求极值得最大值为$$\ln \sqrt{2} - 1$$。

故选B。

6. 解析：

函数$$f(x)$$为奇函数，故$$m = 2$$。

在区间$$[-1, a - 2]$$上单调递增，需满足$$a - 2 \leq 1$$，即$$a \leq 3$$。

又$$a - 2 > -1$$，即$$a > 1$$。

综上，$$a \in (1, 3]$$。

故选C。

7. 解析：

函数$$f(x)$$周期为2，$$g(x) = \frac{5 - 2x}{x - 2}$$。

求$$f(x) = g(x)$$在$$[-3, 7]$$上的解。

分析交点，求和得12。

故选B。

8. 解析：

函数$$f(x)$$为：

- 当$$x > 0$$时，$$f(x) = \lg x$$；

- 当$$x < 0$$时，$$f(x) = \lg\left(-\frac{1}{x}\right)$$。

不等式$$f(m) > f(-m)$$分情况：

1. $$m > 0$$时，$$\lg m > \lg\left(-\frac{1}{-m}\right) = \lg\left(\frac{1}{m}\right)$$，即$$m > \frac{1}{m}$$，解得$$m > 1$$。

2. $$m < 0$$时，$$\lg\left(-\frac{1}{m}\right) > \lg(-m)$$，即$$-\frac{1}{m} > -m$$，解得$$-1 < m < 0$$。

综上，$$m \in (-1, 0) \cup (1, +\infty)$$。

故选A。

9. 解析：

函数$$f(x)$$周期为2，$$g(x)$$为分段函数。

求$$h(x) = f(x) - g(x)$$在$$[-5, 4]$$上的零点。

分析图像交点，共8个零点。

故选B。

10. 解析：

函数$$f(x)$$为分段函数：

- 当$$x \leq -2$$或$$x > 3$$时，$$f(x) = x + 4$$；

- 当$$-2 < x < 3$$时，$$f(x) = x^2 - 1$$。

函数$$y = f(x) + k$$与x轴有三个交点，需满足$$-2 < k < 1$$。

故选A。

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