分段函数的单调性-3.1 函数的概念及其表示知识点月考进阶自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率50.0%

第一题：已知函数$$f(x)=\begin{cases} e^x & (x \geq 0) \\ mx+m & (x < 0) \end{cases}$$在$$R$$上单调递增，求$$m$$最大值，并求使$$k f(x)-f(-x) \geq 0$$成立的$$k$$范围。

1. 单调递增条件：

在$$x=0$$处：$$f(0^-)=m \times 0+m=m \leq f(0)=e^0=1$$，得$$m \leq 1$$

一次函数斜率：$$m \geq 0$$（否则$$x<0$$时递减）

综上：$$0 \leq m \leq 1$$，最大值为$$m=1$$

2. 当$$m=1$$时，$$f(x)=\begin{cases} e^x & (x \geq 0) \\ x+1 & (x < 0) \end{cases}$$

考虑$$x \in (-1,3)$$时$$k f(x)-f(-x) \geq 0$$

分情况讨论：

（1）当$$0 \leq x < 3$$时：$$f(x)=e^x$$，$$f(-x)=-x+1$$

不等式：$$k e^x - (-x+1) \geq 0 \Rightarrow k \geq \frac{{-x+1}}{{e^x}}$$

令$$g(x)=\frac{{1-x}}{{e^x}}$$，求导：$$g'(x)=\frac{{-e^x-(1-x)e^x}}{{e^{2x}}}=\frac{{x-2}}{{e^x}}$$

在$$[0,3]$$上，$$g(x)$$在$$x=0$$处取最大值$$g(0)=1$$，在$$x=3$$处取最小值$$g(3)=-\frac{{2}}{{e^3}}$$

（2）当$$-1 < x < 0$$时：$$f(x)=x+1$$，$$f(-x)=e^{-x}$$

不等式：$$k(x+1)-e^{-x} \geq 0 \Rightarrow k \geq \frac{{e^{-x}}}{{x+1}}$$

令$$h(x)=\frac{{e^{-x}}}{{x+1}}$$，求导：$$h'(x)=\frac{{-e^{-x}(x+1)-e^{-x}}}{{(x+1)^2}}=\frac{{-e^{-x}(x+2)}}{{(x+1)^2}}<0$$

在$$(-1,0)$$上单调递减，最大值在$$x \to -1^+$$时：$$\lim_{x \to -1^+} \frac{{e^{-x}}}{{x+1}}=+\infty$$

最小值在$$x=0$$时：$$h(0)=1$$

3. 综合两种情况：$$k$$需大于等于所有右端函数的最大值

由情况（1）得$$k \geq 1$$，由情况（2）得$$k \geq +\infty$$（不可能）

但注意情况（2）中$$x \to -1^+$$时要求$$k \to +\infty$$，这说明在$$x \in (-1,0)$$时原不等式不能恒成立

重新审视：当$$x \in (-1,0)$$时，$$f(x)=x+1>0$$，$$f(-x)=e^{-x}>0$$

原不等式$$k \geq \frac{{f(-x)}}{{f(x)}}=\frac{{e^{-x}}}{{x+1}}$$

在$$(-1,0)$$上，$$\frac{{e^{-x}}}{{x+1}} \in (1,+\infty)$$，要使其对任意$$x$$成立，需$$k \geq +\infty$$，矛盾

因此题目可能要求存在$$x$$使不等式成立，而非对所有$$x$$成立

重新理解"存在$$x \in (-1,3)$$"：存在某个$$x$$使不等式成立即可

那么$$k$$只需大于等于$$\min_{x \in (-1,3)} \frac{{f(-x)}}{{f(x)}}$$的最小值

计算：

在$$[0,3)$$上：$$\frac{{f(-x)}}{{f(x)}}=\frac{{1-x}}{{e^x}} \in [-\frac{{2}}{{e^3}}, 1]$$

在$$(-1,0)$$上：$$\frac{{f(-x)}}{{f(x)}}=\frac{{e^{-x}}}{{x+1}} \in (1,+\infty)$$

整体最小值是$$-\frac{{2}}{{e^3}}$$，在$$x=3$$处取得（但$$x=3$$不在区间内）

考虑极限：当$$x \to 3^-$$时，$$\frac{{1-x}}{{e^x}} \to -\frac{{2}}{{e^3}}$$

所以$$k \geq -\frac{{2}}{{e^3}}$$时，存在$$x \in (-1,3)$$使不等式成立

答案：D

第四题：函数$$f(x)=\begin{cases} (a-1)^x & (x \geq 1) \\ -x^2+2ax-3 & (x < 1) \end{cases}$$在$$R$$上单调递增，求$$a$$范围。

1. 指数函数部分单调递增：$$a-1 > 1 \Rightarrow a > 2$$

2. 二次函数部分：$$f(x)=-x^2+2ax-3$$，开口向下

对称轴$$x=a$$，要在$$x<1$$递增，需$$a \geq 1$$

3. 在$$x=1$$处连续：$$f(1^-)=-1+2a-3=2a-4 \leq f(1)=(a-1)^1=a-1$$

即$$2a-4 \leq a-1 \Rightarrow a \leq 3$$

4. 综合：$$2 < a \leq 3$$

答案：B

第五题：函数$$f(x)=\begin{cases} e^x+a & (x \leq 0) \\ x^2+1+a & (x > 0) \end{cases}$$，满足$$f(2-x) \geq f(x)$$，求$$x$$范围。

1. 分析函数性质：

当$$x \leq 0$$时，$$f(x)=e^x+a$$单调递增

当$$x > 0$$时，$$f(x)=x^2+1+a$$在$$(0,+\infty)$$递增

在$$x=0$$处：$$f(0)=1+a$$，连续

2. 解不等式$$f(2-x) \geq f(x)$$

考虑对称性，令$$g(x)=f(2-x)-f(x)$$

分情况：

（1）当$$x \leq 0$$时：$$2-x \geq 2$$，$$f(2-x)=(2-x)^2+1+a$$，$$f(x)=e^x+a$$

不等式：$$(2-x)^2+1 \geq e^x$$，在$$x \leq 0$$时恒成立（左边≥5，右边≤1）

（2）当$$0 < x \leq 1$$时：$$1 \leq 2-x < 2$$，$$f(2-x)=(2-x)^2+1+a$$，$$f(x)=x^2+1+a$$

不等式：$$(2-x)^2 \geq x^2 \Rightarrow 4-4x+x^2 \geq x^2 \Rightarrow 4-4x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$$

在$$(0,1]$$上成立

（3）当$$1 < x < 2$$时：$$0 < 2-x < 1$$，$$f(2-x)=(2-x)^2+1+a$$，$$f(x)=x^2+1+a$$

不等式：$$(2-x)^2 \geq x^2 \Rightarrow x \leq 1$$，与$$x>1$$矛盾

（4）当$$x \geq 2$$时：$$2-x \leq 0$$，$$f(2-x)=e^{2-x}+a$$，$$f(x)=x^2+1+a$$

不等式：$$e^{2-x} \geq x^2+1$$，在$$x \geq 2$$时不成立

3. 综合：$$x \leq 1$$

答案：A

第六题：函数$$f(x)=\begin{cases} (3a-2)x+1 & (x < 1) \\ \log_a x & (x \geq 1) \end{cases}$$是$$R$$上的减函数，求$$a$$范围。

1. 一次函数部分递减：$$3a-2 < 0 \Rightarrow a < \frac{{2}}{{3}}$$

2. 对数函数部分递减：$$0 < a < 1$$

3. 在$$x=1$$处：$$f(1^-)=(3a-2)+1=3a-1 \geq f(1)=\log_a 1=0$$

即$$3a-1 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{{1}}{{3}}$$

4. 综合：$$\frac{{1}}{{3}} \leq a < \frac{{2}}{{3}}$$

答案：C

第七题：函数$$f(x)=\begin{cases} -x^2-ax-5 & (x < 1) \\ \frac{{a}}{{x}} & (x > 1) \end{cases}$$是$$R$$上的增函数，求$$a$$范围。

1. 二次函数部分：$$f(x)=-x^2-ax-5$$，开口向下

对称轴$$x=-\frac{{a}}{{2}}$$，要在$$x<1$$递增，需$$-\frac{{a}}{{2}} \geq 1 \Rightarrow a \leq -2$$

2. 反比例函数部分：$$f(x)=\frac{{a}}{{x}}$$，要在$$x>1$$递增

当$$a<0$$时，函数在$$(0,+\infty)$$递增

3. 在$$x=1$$处：$$f(1^-)=-1-a-5=-a-6 \leq f(1^+)=a$$

即$$-a-6 \leq a \Rightarrow -6 \leq 2a \Rightarrow a \geq -3$$

4. 综合：$$-3 \leq a \leq -2$$

答案：B

第八题：函数$$f(x)=ae^x$$具有性质$$\Omega$$：存在三个不同实数$$x_1,x_2,x_3$$满足$$|x_i-2| \cdot f(x_i)=1$$，求$$a$$范围。

1. 方程：$$|x-2| \cdot ae^x=1 \Rightarrow |x-2|=\frac{{1}}{{ae^x}}$$

2. 令$$g(x)=|x-2|$$，$$h(x)=\frac{{1}}{{ae^x}}$$

3. 要有三个不同交点，考虑函数形状：

$$g(x)$$是V形图，顶点在$$(2,0)$$

$$h(x)$$是指数衰减函数

4. 当$$a>0$$时，$$h(x)>0$$，与$$g(x)$$在$$x<2$$和$$x>2$$各有一个交点

要得到三个交点，需在$$x=2$$处也满足：$$0 \cdot ae^2=1$$，不可能

5. 当$$a<0$$时，$$h(x)<0$$，与$$g(x) \geq 0$$无交点

6. 重新分析：方程化为$$|x-2|=\frac{{1}}{{ae^x}}$$

右边必须为正，所以$$a>0$$

令$$F(x)=|x-2|ae^x-1=0$$

分两段：

（1）$$x \geq 2$$时：$$F(x)=(x-2)ae^x-1$$

$$F'(x)=ae^x+(x-2)ae^x=ae^x(x-1)$$

在$$[2,+\infty)$$上，$$F'(x)>0$$，单调递增

$$F(2)=-1<0$$，$$F(+\infty)=+\infty$$，有一个根

（2）$$x < 2$$时：$$F(x)=-(x-2)ae^x-1=(2-x)ae^x-1$$

$$F'(x)=-ae^x+(2-x)ae^x=ae^x(1-x)$$

在$$(-\infty,1)$$上$$F'(x)>0$$，在$$(1,2)$$上$$F'(x)<0$$

最大值在$$x=1$$处：$$F(1)=ae-1$$

要有两个根，需$$F(1)>0 \Rightarrow a > \frac{{1}}{{e}}$$

7. 同时$$F(-\infty)=-1<0$$，$$F(2)=-1<0$$

所以当$$a > \frac{{1}}{{e}}$$时，在$$x<2$$上有两个根，加上$$x>2$$上一个根，共三个不同实根

答案：B

第九题：函数$$f(x)$$满足$$f(-x)+f(x)=-6$$，且当$$x \geq 0$$时$$f(x)=2^x-4$$，求使$$f(3x-x^2)<0$$成立的$$x$$范围。

1. 由$$f(-x)+f(x)=-6$$，得$$f(x)$$关于点$$(0,-3)$$中心对称

2. 当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=2^x-4$$

令$$f(x)=0$$，得$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

当$$x>2$$时，$$f(x)>0$$；当$$0 \leq x < 2$$时，$$f(x)<0$$

3. 由对称性，当$$x \leq 0$$时，$$f(x)=-6-f(-x)$$

$$f(-x)=2^{-x}-4$$（因$$-x \geq 0$$）

所以$$f(x)=-6-(2^{-x}-4)=-2^{-x}-2$$

令$$f(x)=0$$，得$$-2^{-x}-2=0 \Rightarrow 2^{-x}=-2$$，无解

实际上$$f(x)<0$$恒成立（因$$-2^{-x}-2<-2<0$$）

4. 解$$f(3x-x^2)<0$$

令$$t=3x-x^2$$，需$$f(t)<0$$

由上面分析：

当$$t \geq 0$$时，$$f(t)<0$$等价于$$t<2$$

当$$t < 0$$时，$$f(t)<0$$恒成立

所以等价于$$3x-x^2 < 2$$

即$$-x^2+3x-2 < 0 \Rightarrow x^2-3x+2 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) > 0$$

解得$$x < 1$$或$$x > 2$$

答案：C

第十题：函数$$f(x)=\begin{cases} x(x+4) & (x \geq 0) \\ x(x-4) & (x < 0) \end{cases}$$判断奇偶性、单调性。

1. 奇偶性：

$$f(-x)=\begin{cases} (-x)(-x+4) = x(x-4) & (-x \geq 0) \\ (-x)(-x-4) = x(x+4) & (-x < 0) \end{cases}$$

即$$f(-x)=\begin{cases} x(x-4) & (x \leq 0) \\ x(x+4) & (x > 0) \ _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}