分段函数的定义-3.1 函数的概念及其表示知识点回顾进阶自测题答案-青海省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['分段函数的定义']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {2 x+1， \; \; x < 2，} \\ {3 x^{2}-a x， \; \; x \geq2，} \\ \end{array} \right.$$若$$f \left[ f \left( \frac{1} {2} \right) \right]=6，$$则$${{a}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

2、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的零点'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '分段函数的定义']

正确率60.0%关于函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left| x \right|+\left| \operatorname{s i n} x \right|$$有下述四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$\left( \frac{\pi} {2}， \pi\right)$$单调递增；
③$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-\pi， \pi]$$有$${{4}}$$个零点；
④$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值为$${{2}}$$.
其中所有正确结论的编号是（）

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

3、['根据函数零点个数求参数范围'， '利用基本不等式求最值'， '分段函数的定义']

正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l} {1， x \leqslant0，} \\ {\frac{1} {x}， x > 0，} \\ \end{array} \right.$$则使方程$$x+f ( x ) \!=\! m$$有解的实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， ~ 2 )$$

B.$$(-\infty， \ -2 ]$$

C.$$(-\infty， \ 1 ) \cup( 2， \enskip+\infty)$$

D.$$(-\infty， \ 1 ] \cup[ 2， \enskip+\infty)$$

4、['函数求值域'， '分段函数的定义']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2 x^{2}} & {0 \leqslant x \leqslant1} \\ {2} & {1 < x < 2} \\ {3} & {x \geqslant2} \\ \end{array} \right.$$的值域是$${{(}{)}}$$

A.$${{R}}$$

B.$$[ 0，+\infty)$$

C.$$[ 0， 3 ]$$

D.$$\{y | 0 \leqslant y \leqslant2，$$或$${{y}{=}{3}{\}}}$$

5、['分段函数求值'， '分段函数的单调性'， '分段函数的定义']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\sqrt{x+1}，-1 < x < 0} \\ {2 x， x \geq0} \\ \end{array} \right.$$，若实数$${{a}}$$满足$$f ( a )=f ( a-1 )$$，则$$f ( \frac{1} {a} )=( \textsubscript{\Pi} )$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

6、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数零点的概念'， '分段函数的定义']

正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {3^{x}-1， x \geq0，} \\ {x^{2}-2， x < 0，} \\ \end{array} \right.$$则方程$$f ( x )=2$$的所有根之和为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{3}}$$

7、['分段函数求值'， '分段函数的定义']

正确率60.0%若函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l} {x^{2}+1 \;， \; x \leqslant1} \\ {f \left( x-1 \right) \;， \; x > 1} \\ \end{array} \right.$$，求$${{f}{{[}{f}{{(}{4}{)}}{]}}{=}}$$

A.$${{1}{7}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{2}}$$

8、['函数求值'， '对数的性质'， '对数的运算性质'， '分段函数的定义']

正确率60.0%已知函数$$f^{\tiny( \smallskip)} \ =\left\{\begin{array} {l l} {2^{x} ( x \geq2 )} \\ {f ( x+2 ) ( x < 2 )} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ~ ( \log_{2} {\frac{1} {8}} ) ~=~ ($$）

A.$${{3}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{2}}$$

9、['函数的最大(小)值'， '分段函数的定义']

正确率40.0%定义$$m a x \{a， b， c \}$$为$$a， ~ b， ~ c$$中的最大值，设$$h \left( x \right)=m a x \left\{x^{2}， \frac8 3 x， 6-x \right\}$$，则$${{h}{(}{x}{)}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 8} {1 1}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{4 8} {1 1}$$

D.$${{4}}$$

10、['函数求值域'， '分段函数的定义']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-2 x+2， ( x > 0 )} \\ {3 x-f (-x )， ( x \leqslant0 )} \\ \end{matrix} \right.$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域是（）

A.$$(-\infty，+\infty)$$

B.$$(-\infty，-\frac{7} {4} ] \bigcup[ 1，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-\frac{7} {4} ) \bigcup[ 1，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-2 ) \bigcup[ 1，+\infty) \bigcup\{0 \}$$

1. 解析：

首先计算 $$f\left(\frac{1}{2}\right)$$，由于 $$\frac{1}{2} < 2$$，使用第一段定义：$$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2$$。

接下来计算 $$f[f\left(\frac{1}{2}\right)] = f(2)$$，此时 $$x = 2 \geq 2$$，使用第二段定义：$$f(2) = 3 \times 2^2 - a \times 2 = 12 - 2a$$。

根据题意 $$12 - 2a = 6$$，解得 $$a = 3$$。故选 B。

2. 解析：

① 检查偶函数：$$f(-x) = \sin|-x| + |\sin(-x)| = \sin|x| + |\sin x| = f(x)$$，故①正确。

② 在 $$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$，$$\sin|x|$$ 递减，$$|\sin x|$$ 也递减，故 $$f(x)$$ 递减，②错误。

③ 在 $$[-\pi, \pi]$$，$$f(x) = 0$$ 当且仅当 $$\sin|x| = 0$$ 且 $$|\sin x| = 0$$，即 $$x = 0, \pm\pi$$，共 3 个零点，③错误。

④ 最大值：$$\sin|x| \leq 1$$，$$|\sin x| \leq 1$$，故 $$f(x) \leq 2$$，当 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 时取到，④正确。

综上，①④正确，选 C。

3. 解析：

方程 $$x + f(x) = m$$ 的解分两种情况：

1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = 1$$，方程为 $$x + 1 = m$$，解得 $$x = m - 1 \leq 0$$，即 $$m \leq 1$$。

2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \frac{1}{x}$$，方程为 $$x + \frac{1}{x} = m$$。由于 $$x + \frac{1}{x} \geq 2$$，故 $$m \geq 2$$。

综上，$$m$$ 的取值范围是 $$(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$$，选 D。

4. 解析：

分段函数的值域：

1. 当 $$0 \leq x \leq 1$$ 时，$$f(x) = 2x^2 \in [0, 2]$$。

2. 当 $$1 < x < 2$$ 时，$$f(x) = 2$$。

3. 当 $$x \geq 2$$ 时，$$f(x) = 3$$。

综上，值域为 $$\{y | 0 \leq y \leq 2 \text{ 或 } y = 3\}$$，选 D。

5. 解析：

由 $$f(a) = f(a-1)$$，分两种情况：

1. 若 $$a \geq 1$$，则 $$a-1 \geq 0$$，$$2a = 2(a-1)$$，无解。

2. 若 $$0 < a < 1$$，则 $$-1 < a-1 < 0$$，$$2a = \sqrt{(a-1)+1} = \sqrt{a}$$，解得 $$a = \frac{1}{4}$$。

于是 $$f\left(\frac{1}{a}\right) = f(4) = 2 \times 4 = 8$$，选 D。

6. 解析：

解方程 $$f(x) = 2$$：

1. 当 $$x \geq 0$$ 时，$$3^x - 1 = 2$$，解得 $$x = 1$$。

2. 当 $$x < 0$$ 时，$$x^2 - 2 = 2$$，解得 $$x = -2$$。

根之和为 $$1 + (-2) = -1$$，选 B。

7. 解析：

计算 $$f(4)$$：由于 $$4 > 1$$，递归得 $$f(4) = f(3) = f(2) = f(1) = 1^2 + 1 = 2$$。

再计算 $$f[f(4)] = f(2) = f(1) = 2$$，选 D。

8. 解析：

计算 $$\log_2 \frac{1}{8} = -3$$，由于 $$-3 < 2$$，递归得：

$$f(-3) = f(-1) = f(1) = f(3) = 2^3 = 8$$，选 B。

9. 解析：

求 $$h(x) = \max\{x^2, \frac{8}{3}x, 6-x\}$$ 的最小值：

1. 联立 $$x^2 = \frac{8}{3}x$$，解得 $$x = 0$$ 或 $$x = \frac{8}{3}$$。

2. 联立 $$\frac{8}{3}x = 6 - x$$，解得 $$x = \frac{18}{11}$$。

3. 联立 $$x^2 = 6 - x$$，解得 $$x = 2$$。

比较各交点处的函数值，最小值为 $$h\left(\frac{18}{11}\right) = \frac{8}{3} \times \frac{18}{11} = \frac{48}{11}$$，选 C。

10. 解析：

1. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \geq 1$$。

2. 当 $$x \leq 0$$ 时，设 $$x \leq 0$$，则 $$-x \geq 0$$，$$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 2 = x^2 + 2x + 2$$。

代入得 $$f(x) = 3x - f(-x) = 3x - x^2 - 2x - 2 = -x^2 + x - 2$$。

求极值：$$f(x) = -x^2 + x - 2$$ 在 $$x \leq 0$$ 时，最大值为 $$f(0) = -2$$，无下界。

综上，值域为 $$(-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$$，但选项中最接近的是 B（$$-\frac{7}{4}$$ 是顶点值，但 $$x \leq 0$$ 时最小值为 $$-2$$），题目可能有误，暂选 B。

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