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正确率40.0%己知$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {} & {\left( 2-a \right) x+1 \left( x < 1 \right)} \\ {} & {a^{x} \left( x \geqslant1 \right)} \\ \end{array} \right.$$满足对任意$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right)} {x_{1}-x_{2}} > 0$$成立，那么$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$$( 1， \frac{3} {2} ]$$
C.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
D.$$[ \frac{3} {2}， 2 )$$
3、['分步乘法计数原理'， '函数的定义']正确率60.0%已知$${{A}{=}{\{}{1}{，}{2}{，}{3}{\}}{，}{B}{=}{\{}{4}{，}{5}{\}}}$$，以$${{A}}$$为定义域，以$${{B}}$$为值域的函数可以建立的个数是（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
4、['函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=e^{| x |}， \， \， \， g ( x )=a x^{2}-x ( a \in R )$$，若$${{f}{(}{g}{(}{1}{)}{)}{=}{1}}$$，则$${{a}}$$的值为 （）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{1}}$$
5、['函数的定义'， '函数求定义域']正确率60.0%下列各组函数是同一函数的是（）
B
A.$${{y}{=}{x}}$$与$$y=\frac{x^{2}} {x}$$
B.$$y=\frac{x^{2}+x} {x+1}$$与$${{y}{=}{x}{（}{x}{≠}{−}{1}{）}}$$
C.$${{y}{=}{x}{（}{x}{⩾}{0}{）}}$$与$${{y}{=}{\sqrt {{x}^{2}}}}$$
D.$${{y}{=}{|}{x}{+}{1}{|}{+}{|}{x}{|}}$$与$${{y}{=}{2}{x}{+}{1}}$$
6、['函数图象的识别'， '函数的定义']正确率60.0%下列函数中，与函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{x}{（}{x}{>}{0}{）}}$$的图象完全相同的是（）
A
A.$$y=3^{l o g_{3} x}$$
B.$${{y}{=}{^{3}\sqrt {{x}^{3}}}}$$
C.$${{y}{=}{\sqrt {{x}^{2}}}}$$
D.$${{y}{=}{\sqrt {x}}{⋅}{\sqrt {x}}}$$
7、['同一函数'， '函数的定义']正确率60.0%下列函数中与$${{y}{=}{x}}$$是同一函数的是（）
$${（{1}{）}{y}{=}{\sqrt {{x}^{2}}}}$$$${（{2}{）}{y}{=}{l}{o}{{g}_{a}}{{a}^{x}}}$$$$( 3 ) ~ y=a^{l o g_{a} x}$$$${（{4}{）}{y}{=}{^{3}\sqrt {{x}^{3}}}}$$$${（{5}{y}{=}{^{n}\sqrt {{x}^{n}}}{（}{n}{∈}{N}{∗}{）}}$$
C
A.$${（{1}{）}{（}{2}{）}}$$
B.$${（{2}{）}{（}{3}{）}}$$
C.$${（{2}{）}{（}{4}{）}}$$
D.$${（{3}{）}{（}{5}{）}}$$
8、['函数求值域'， '函数求定义域'， '函数的定义']正确率60.0%下列函数与函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}}$$是同一函数的是（）
D
A.$$f ( x )=\frac{x^{2}} {x}$$
B.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{(}{\sqrt {x}}{)}^{2}}}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}{=}{\sqrt {{x}^{2}}}}$$
D.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{2}^{x}}}$$
9、['函数的定义']正确率60.0%下列哪组中的两个函数是同一函数（）
D
A.$${{y}{=}{(}{\sqrt {x}}{{)}^{2}}}$$与$${{y}{=}{x}}$$
B.$${{y}{=}{l}{n}{{x}^{2}}}$$与$${{y}{=}{2}{l}{n}{x}}$$
C.$$y=\frac{x^{2}-1} {x-1}$$与$${{y}{=}{x}{+}{1}}$$
D.$$y=\frac{x^{2}+1} {x}$$与$$y=x+\frac{1} {x}$$
1. 题目要求函数 $$f(x)$$ 在任意 $$x_1 \neq x_2$$ 时满足 $$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0$$，即函数严格单调递增。分段函数的两部分都必须单调递增，且在 $$x=1$$ 处衔接点需满足 $$(2-a)\cdot1 +1 \leq a^1$$。
解析步骤：
（1）第一部分 $$(2-a)x+1$$ 单调递增要求 $$2-a > 0$$，即 $$a < 2$$。
（2）第二部分 $$a^x$$ 单调递增要求 $$a > 1$$。
（3）在 $$x=1$$ 处需满足 $$(2-a)\cdot1 +1 \leq a$$，即 $$3 \leq 2a$$，解得 $$a \geq \frac{3}{2}$$。
综上，$$a \in [\frac{3}{2}, 2)$$，答案为 D。
3. 从集合 $$A=\{1,2,3\}$$ 到 $$B=\{4,5\}$$ 的函数，要求值域为 $$B$$，即函数必须覆盖 $$4$$ 和 $$5$$。
解析步骤：
（1）每个元素 $$1,2,3$$ 有 2 种选择（$$4$$ 或 $$5$$），总共有 $$2^3=8$$ 种函数。
（2）排除值域不全为 $$B$$ 的情况：若函数值全为 $$4$$ 或全为 $$5$$，有 2 种。
（3）因此符合条件的函数数为 $$8-2=6$$ 种，答案为 C。
4. 已知 $$f(g(1))=1$$，其中 $$f(x)=e^{|x|}$$，$$g(x)=ax^2-x$$。
解析步骤：
（1）计算 $$g(1)=a(1)^2-1=a-1$$。
（2）代入 $$f$$：$$e^{|a-1|}=1$$。
（3）因为 $$e^0=1$$，所以 $$|a-1|=0$$，解得 $$a=1$$，答案为 A。
5. 判断各组函数是否为同一函数：
解析步骤：
A：$$y=x$$ 定义域为 $$R$$，$$y=\frac{x^2}{x}$$ 定义域为 $$x \neq 0$$，不同。
B：$$y=\frac{x^2+x}{x+1}=x$$（$$x \neq -1$$）与 $$y=x$$（$$x \neq -1$$）相同。
C：$$y=x$$（$$x \geq 0$$）与 $$y=\sqrt{x^2}=|x|$$ 不同。
D：$$y=|x+1|+|x|$$ 与 $$y=2x+1$$ 不同（例如 $$x=-1$$ 时前者为 1，后者为 -1）。
答案为 B。
6. 函数 $$f(x)=x$$（$$x>0$$）的图象需与其他函数完全一致。
解析步骤：
A：$$y=3^{\log_3 x}=x$$（$$x>0$$），与 $$f(x)$$ 相同。
B：$$y=\sqrt[3]{x^3}=x$$（定义域为 $$R$$），与 $$f(x)$$ 不同。
C：$$y=\sqrt{x^2}=|x|$$，与 $$f(x)$$ 不同。
D：$$y=\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x$$（$$x \geq 0$$），与 $$f(x)$$ 不同。
答案为 A。
7. 判断与 $$y=x$$ 为同一函数的选项：
解析步骤：
（1）$$y=\sqrt{x^2}=|x|$$，不同。
（2）$$y=\log_a a^x=x$$（$$x \in R$$），相同。
（3）$$y=a^{\log_a x}=x$$（$$x>0$$），与 $$y=x$$（$$x \in R$$）不同。
（4）$$y=\sqrt[3]{x^3}=x$$（$$x \in R$$），相同。
（5）$$y=\sqrt[n]{x^n}=x$$（$$n$$ 为奇数时定义域为 $$R$$，偶数时为 $$x \geq 0$$），不完全相同。
答案为 C（（2）（4））。
8. 判断与 $$f(x)=x$$ 为同一函数的选项：
解析步骤：
A：$$f(x)=\frac{x^2}{x}=x$$（$$x \neq 0$$），不同。
B：$$f(x)=(\sqrt{x})^2=x$$（$$x \geq 0$$），不同。
C：$$f(x)=\sqrt{x^2}=|x|$$，不同。
D：$$f(x)=\log_2 2^x=x$$（$$x \in R$$），相同。
答案为 D。
9. 判断同一函数的选项：
解析步骤：
A：$$y=(\sqrt{x})^2=x$$（$$x \geq 0$$）与 $$y=x$$（$$x \in R$$）不同。
B：$$y=\ln x^2$$（$$x \neq 0$$）与 $$y=2\ln x$$（$$x>0$$）不同。
C：$$y=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$（$$x \neq 1$$）与 $$y=x+1$$（$$x \in R$$）不同。
D：$$y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$$（$$x \neq 0$$）与 $$y=x+\frac{1}{x}$$（$$x \neq 0$$）相同。
答案为 D。