图象法-3.1 函数的概念及其表示知识点月考基础单选题自测题答案-湖北省等高一数学必修,平均正确率60.0%

第7题：函数 $$f(x)=\ln x-x^{2}+4x-4$$ 的零点个数

1. 定义域：$$x>0$$

2. 求导：$$f'(x)=\frac{1}{x}-2x+4=\frac{-2x^{2}+4x+1}{x}$$

3. 令分子为零：$$-2x^{2}+4x+1=0$$，解得 $$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$$

4. 在定义域内：$$x_1=\frac{2-\sqrt{6}}{2}<0$$（舍去），$$x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\approx2.22>0$$

5. 单调性分析：

当 $$00$$，函数单调递增

当 $$x>\frac{2+\sqrt{6}}{2}$$ 时，$$f'(x)<0$$，函数单调递减

6. 计算关键点函数值：

$$f(\frac{2+\sqrt{6}}{2})=\ln(\frac{2+\sqrt{6}}{2})-(\frac{2+\sqrt{6}}{2})^{2}+4\cdot\frac{2+\sqrt{6}}{2}-4$$

通过数值估算：$$f(0.5)\approx-0.69-0.25+2-4=-2.94$$

$$f(2)\approx0.69-4+8-4=0.69>0$$

$$f(3)\approx1.10-9+12-4=0.10>0$$

$$f(4)\approx1.39-16+16-4=-2.61<0$$

7. 由零点定理和单调性可知，函数在 $$(0,\frac{2+\sqrt{6}}{2})$$ 和 $$(\frac{2+\sqrt{6}}{2},+\infty)$$ 各有一个零点

第8题：判断命题正确个数

① 函数是其定义域到值域的映射：正确。函数定义要求每个自变量对应唯一函数值。

② $$y=\frac{1}{x}$$ 是减函数：错误。该函数在 $$(-\infty,0)$$ 和 $$(0,+\infty)$$ 上分别单调递减，但在整个定义域上不是减函数。

③ 函数 $$y=2x(x\in N)$$ 的图像是一条直线：错误。定义域为自然数集，图像是离散的点，不是连续的直线。

④ 函数的定义域和值域一定是无限集：错误。如常数函数 $$y=1$$，定义域可以是有限集，值域是单元素集。