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正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} 2 x+3， \; \; x \leqslant0，} \\ {} & {{}-( x-1 )^{2}， \; \; x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$则使$$f ( x ) \geqslant-1$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[-2， ~ 2 ]$$
B.$$[-2， ~ 0 ]$$
C.$$[-2， \ 2 )$$
D.$$( 0， \ 2 ]$$
2、['函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {\operatorname{l n}} & {{} x-\frac{1} {x}， \ x > 0，} \\ {x^{2}+2 x， \ x < 0.} \\ \end{aligned} \right.$$则函数$$y=f [ f ( x )+1 ]$$的零点个数是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x ( x+a )， x \geq0} \\ {x ( x-a )， x < 0} \\ \end{array}， \right. a \neq0$$，关于$${{x}}$$的方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =a$$有四个不同的根，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-4 )$$
B.$$( \mathbf{\tau}-4， \mathbf{\tau} 0 )$$
C.$$( \mathrm{~-~} \infty， \mathrm{~}-4 ]$$
D.$$(-4， \ 0 ]$$
4、['对数（型）函数的单调性'， '函数零点的概念'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l o g}_{2} ( 1-x )， x < 1} \\ {-\left( x-2 \right)^{2}+2， x \geqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$，则关于$${{x}}$$的方程$$f ( | x | )=a ( a \in R )$$的实根个数
A
A.$${{5}}$$个
B.$${{4}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{2}}$$个
5、['在给定区间上恒成立问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {a x^{2}+x， x \geq0} \\ {-a x^{2}+x， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$当$$x \in[-\frac{1} {2}， \ \frac{1} {2} ]$$时，恒有$$f \left( \begin{matrix} {x+a} \\ \end{matrix} \right) \ < f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \frac{1-\sqrt{5}} {2}， \ \frac{1+\sqrt{5}} {2} )$$
B.$$( \mathrm{\ensuremath{-1}}， \mathrm{\ensuremath{\frac{1+\sqrt{5}} {2}}} )$$
C.$$( \frac{1-\sqrt{5}} {2}， \ 0 )$$
D.$$( ~ \frac{1-\sqrt{5}} {2}， ~-\frac{1} {2} ] ~$$
6、['指数（型）函数的单调性'， '绝对值的概念与几何意义'， '利用函数单调性比较大小'， '分段函数的图象']正确率40.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=| 3^{x}-1 |， ~ c < b < a$$且$$f \left( \begin{matrix} {c} \\ \end{matrix} \right) > f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right) > f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right)$$，则下列关系式中一定成立的是（）
D
A.$${{3}^{c}{>}{{3}^{b}}}$$
B.$${{3}^{b}{>}{{3}^{a}}}$$
C.$$3^{c} \!+\! 3^{a} > 2$$
D.$$3^{c}+3^{a} < 2$$
8、['函数的周期性'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%若函数$$y=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \in R \right)$$满足$$f ~ ( \textbf{x}+1 ) ~=-f ~ ( \textbf{x} )$$，且当$$x \in[-1， ~ 0 )$$时，$$f ( x )=\frac{x^{2}+1} {2}$$，则函数$$y=f ~ ( x )$$的图象与函数$$y=l o g_{3} | x |$$的图象的交点的个数是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
10、['对数（型）函数的单调性'， '函数零点所在区间的判定'， '分段函数的图象']正确率60.0%设实数$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是函数$$f ( x )=\left| \operatorname{l n} x \right|-( \frac{1} {2} )^{x}$$的两个零点，则（）
B
A.$$x_{1} x_{2} < 0$$
B.$$0 < x_{1} x_{2} < 1$$
C.$$x_{1} x_{2}=1$$
D.$$x_{1} x_{2} > 1$$
1. 已知$$f(x)=\begin{cases} 2x+3, & x \leq 0 \\ -(x-1)^2, & x > 0 \end{cases}$$，求$$f(x) \geq -1$$的解集。
分段求解：
当$$x \leq 0$$时：$$2x+3 \geq -1 \Rightarrow 2x \geq -4 \Rightarrow x \geq -2$$，结合定义域得$$x \in [-2, 0]$$
当$$x > 0$$时：$$-(x-1)^2 \geq -1 \Rightarrow (x-1)^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x-1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 2$$，结合定义域得$$x \in (0, 2]$$
综上：$$x \in [-2, 2]$$，故选A
2. 已知$$f(x)=\begin{cases} \ln x - \frac{1}{x}, & x > 0 \\ x^2+2x, & x < 0 \end{cases}$$，求$$y=f[f(x)+1]$$的零点个数。
令$$f(x)+1 = t$$，则$$f(t)=0$$，需分别讨论$$t>0$$和$$t<0$$的情况。
当$$t>0$$时：$$\ln t - \frac{1}{t} = 0 \Rightarrow \ln t = \frac{1}{t}$$，由图像知有1个解$$t_1$$
当$$t<0$$时：$$t^2+2t = 0 \Rightarrow t(t+2)=0 \Rightarrow t=0$$（舍）或$$t=-2$$
所以$$f(x)+1 = t_1$$或$$f(x)+1 = -2$$
解$$f(x) = t_1-1$$：由函数性质分析，当$$x>0$$时$$f(x)$$单调递增，值域为$$(-\infty, +\infty)$$，有1解；当$$x<0$$时$$f(x)=x^2+2x$$在$$(-\infty,0)$$上有最小值-1，开口向上，若$$t_1-1 > -1$$则有2解，否则无解。
解$$f(x) = -3$$：当$$x>0$$时$$\ln x - \frac{1}{x} = -3$$有1解；当$$x<0$$时$$x^2+2x = -3 \Rightarrow x^2+2x+3=0$$，判别式负，无解。
综合分析得共4个零点，故选C
3. 已知$$f(x)=\begin{cases} x(x+a), & x \geq 0 \\ x(x-a), & x < 0 \end{cases}$$，$$a \neq 0$$，方程$$f(x)=a$$有四个不同实根，求$$a$$的范围。
当$$x \geq 0$$时：$$x^2+ax-a=0$$，判别式$$\Delta_1 = a^2+4a > 0$$，即$$a<-4$$或$$a>0$$
当$$x < 0$$时：$$x^2-ax-a=0$$，判别式$$\Delta_2 = a^2+4a > 0$$，同前
要保证四个不同实根，需两方程各有两个正根和两个负根：
对于$$x \geq 0$$的情况：两根之和$$-a > 0$$，积$$-a > 0$$，故$$a < 0$$
对于$$x < 0$$的情况：两根之和$$a < 0$$，积$$-a > 0$$，故$$a < 0$$
结合判别式条件$$a<-4$$或$$a>0$$，取$$a<-4$$，故选A
4. 已知$$f(x)=\begin{cases} \log_2(1-x), & x < 1 \\ -(x-2)^2+2, & x \geq 1 \end{cases}$$，求$$f(|x|)=a$$的实根个数不可能的值。
令$$g(x)=f(|x|)$$，为偶函数，只需分析$$x \geq 0$$的情况。
当$$x \geq 0$$时：$$g(x)=\begin{cases} -(x-2)^2+2, & x \geq 1 \\ \log_2(1-x), & 0 \leq x < 1 \end{cases}$$
$$g(x)$$在$$[0,1)$$上从$$0$$递减至$$-\infty$$，在$$[1,2]$$上从$$1$$增至$$2$$，在$$(2,+\infty)$$上从$$2$$递减。
由对称性，方程$$g(x)=a$$的根个数关于$$a$$的讨论：
$$a>2$$时：0个根；$$a=2$$时：3个根；$$1 故根个数不可能为5个，故选A
5. 已知$$f(x)=\begin{cases} ax^2+x, & x \geq 0 \\ -ax^2+x, & x < 0 \end{cases}$$，当$$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$$时，恒有$$f(x+a) < f(x)$$，求$$a$$的范围。
分析函数性质：$$f(x)$$为奇函数，且$$x \geq 0$$时，若$$a>0$$则开口向上，若$$a<0$$则开口向下。
由$$f(x+a) < f(x)$$在区间上恒成立，考虑函数差值：
当$$a>0$$时，$$x+a > x$$，但$$f(x)$$在$$x \geq 0$$上不一定单调，需具体讨论。
经分析，满足条件的$$a$$需使$$f(x)$$在区间上为凸函数，解得$$a \in (\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 0)$$，故选C
6. 设$$f(x)=|3^x-1|$$，且$$c < b < a$$，$$f(c) > f(a) > f(b)$$，判断正确选项。
函数$$f(x)$$在$$(-\infty,0]$$递减，在$$[0,+\infty)$$递增，最小值为$$f(0)=0$$。
由$$f(c) > f(a) > f(b)$$及大小关系$$c < b < a$$，可推断$$c < 0$$，$$a > 0$$，且$$b$$可能在0附近。
考虑$$3^c+3^a$$：由于$$c<0 由$$f(c) > f(a) \Rightarrow 1-3^c > 3^a-1 \Rightarrow 3^c+3^a < 2$$，故选D
8. 已知$$f(x+1)=-f(x)$$，且当$$x \in [-1,0)$$时，$$f(x)=\frac{x^2+1}{2}$$，求$$y=f(x)$$与$$y=\log_3 |x|$$的交点个数。
由$$f(x+1)=-f(x)$$知函数周期为2，且为奇函数。
在$$[-1,1)$$上：$$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+1}{2}, & -1 \leq x < 0 \\ -\frac{x^2+1}{2}, & 0 \leq x < 1 \end{cases}$$
$$y=\log_3 |x|$$为偶函数，定义域$$x \neq 0$$。
分析两函数在$$(0,1)$$及$$(1,3)$$等区间上的图像：
在$$(0,1)$$上，$$f(x) \in (-1, -\frac{1}{2}]$$，$$\log_3 x < 0$$，可能有1个交点；
由对称性和周期性，共4个交点，故选C
10. 设$$x_1,x_2$$是$$f(x)=|\ln x|-(\frac{1}{2})^x$$的零点，判断$$x_1x_2$$的范围。
令$$f(x)=0 \Rightarrow |\ln x| = (\frac{1}{2})^x$$
显然$$x=1$$时，左边=0，右边=1，不成立；$$x>1$$时，$$\ln x > 0$$；$$0 函数$$y=(\frac{1}{2})^x$$递减，$$y=|\ln x|$$在$$(0,1)$$递减，在$$(1,+\infty)$$递增。 故有两个零点$$x_1 \in (0,1)$$，$$x_2 \in (1,+\infty)$$，且$$x_1x_2 < 1$$，故选B