分段函数的图象-3.1 函数的概念及其表示知识点专题进阶单选题自测题答案-广东省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['指数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '分段函数的单调性'， '分段函数的图象']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {2^{x}-1， 0 < x < 2，} \\ {6-x， x \geqslant2，} \\ \end{array} \right.$$那么不等式$$f ( x ) \geqslant\sqrt{x}$$的解集为（）

A.$$( 0， 1 ]$$

B.$$( 0， 2 ]$$

C.$$[ 1， 4 ]$$

D.$$[ 1， 6 ]$$

2、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '根据函数零点个数求参数范围'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']

正确率60.0%已知函数$${{f}}$$（$${{x}}$$）＝$$\left\{\begin{matrix} {-x^{2}-2 x，} & {x \leqslant0} \\ {\left| \operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} x \right|，} & {x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$g \textbf{\textit{( x )}}=f \textbf{\textit{( x )}}+1-m$$有4个零点，则$${{m}}$$的取值范围为（　　）

A.（$${{0}}$$，$${{1}}$$）

B.（$${{−}{1}}$$，$${{0}}$$）

C.（$${{1}}$$，$${{2}}$$）

D.（$${{2}}$$，$${{3}}$$）

3、['函数零点的概念'， '分段函数的图象']

正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {| x |-1 ( | x | > 1 )} \\ {\sqrt{1-x^{2}} ( | x | \leqslant1 )} \\ \end{matrix} \right.$$关于$${{x}}$$的方程$$f \ ( \textbf{x} ) \ =a \ ( \textbf{a} \in R )$$的解的个数不可能是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

4、['导数与极值'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \left( x-1 \right)^{3}， x \geqslant0，} \\ {} & {{}-( x+1 ) e^{x}， x < 0，} \\ \end{aligned} \right.$$，若函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\textit{f} ( \textbf{x} ) \ -\textbf{a}$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {e^{2}} )$$

B.$$( \mathbf{-1}， \ \frac{1} {e^{2}} )$$

C.$$(-e^{2}， /-1 )$$

D.$$( \mathrm{~-\infty， ~-1 ~} )$$

6、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {3^{x}， x \leqslant0，} \\ {l o g_{2} x， x > 0，} \\ \end{matrix} \right.$$下列结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为奇函数

B.$$f ( f ( \frac{1} {4} ) )=\frac{1} {9}$$

C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称

D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上是增函数

7、['函数的最大(小)值'， '分段函数的图象']

正确率40.0%对$$a， b \in{\bf R}$$，记$$\operatorname* {m a x} \left\{a， b \right\}=\left\{\begin{array} {c l} {a， a \geq b} \\ {b， a < b} \\ \end{array} \right.$$，函数$$f ( x )=\operatorname* {m a x} \{| x+1 |， | x-2 | \} ( x \in{\bf R} )$$的最小值是（）

A.$${{0}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$${{3}}$$

9、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '根据函数零点个数求参数范围'， '利用导数解决函数零点问题'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {-\frac{1} {4} x^{2}-x+1，-4 \leqslant x < 0} \\ {e^{x}， x \geqslant0} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$g \left( x \right)=f \left( x \right)-a x+a$$有且仅有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$\left(-2，-\frac{2} {3} \right) \cup( 2，+\infty)$$

B.$$[-1，-\frac{2} {3} ) \cup( 2，+\infty)$$

C.$$\left(-1，-\frac{2} {3} \right) \cup\left( e^{2}，+\infty\right)$$

D.$$( e^{2}，+\infty)$$

10、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {e^{x}-a， x \leqslant0，} \\ {2 x-a， x > 0} \\ \end{array} \right. ( a \in R )$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， 1 ]$$

B.$$[ 1，+\infty)$$

C.$$( 0， 1 )$$

D.$$(-\infty， 1 ]$$

1. 首先分析函数 $$f(x)$$ 的定义域和分段情况：

对于 $$0 < x < 2$$，不等式为 $$2^x - 1 \geq \sqrt{x}$$。通过数值分析或图像法可知，解集为 $$[1, 2)$$。对于 $$x \geq 2$$，不等式为 $$6 - x \geq \sqrt{x}$$。解得 $$x \leq 4$$（因为 $$x \geq 2$$ 时，$$6 - x \geq \sqrt{x}$$ 仅在 $$x \leq 4$$ 成立）。综合两部分解集为 $$[1, 4]$$，故选 C。

2. 函数 $$g(x) = f(x) + 1 - m$$ 有 4 个零点等价于 $$f(x) = m - 1$$ 有 4 个解。

分析 $$f(x)$$： - 当 $$x \leq 0$$，$$f(x) = -x^2 - 2x$$，开口向下，顶点在 $$x = -1$$ 处，$$f(-1) = 1$$。 - 当 $$x > 0$$，$$f(x) = \left| \log_{\frac{1}{2}} x \right|$$，图像为 V 形，最小值在 $$x = 1$$ 处，$$f(1) = 0$$。要求 $$f(x) = m - 1$$ 有 4 解，需 $$0 < m - 1 < 1$$，即 $$1 < m < 2$$，故选 C。

3. 函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

- 当 $$|x| > 1$$，$$f(x) = |x| - 1$$，为两条射线。 - 当 $$|x| \leq 1$$，$$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$$，为上半圆。方程 $$f(x) = a$$ 的解的个数可能为： - $$a < 0$$：无解（0 个）。 - $$a = 0$$：$$x = \pm 1$$（2 个）。 - $$0 < a < 1$$：上半圆和射线各有两个解（4 个）。 - $$a = 1$$：$$x = 0$$ 和 $$x = \pm \sqrt{2}$$（3 个）。 - $$a > 1$$：射线有两个解（2 个）。因此解的个数不可能是 1 个，故选 A。

4. 函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有 3 个零点等价于 $$f(x) = a$$ 有 3 个解。

分析 $$f(x)$$： - 当 $$x \geq 0$$，$$f(x) = (x - 1)^3$$，单调递增，$$f(0) = -1$$，$$f(1) = 0$$。 - 当 $$x < 0$$，$$f(x) = -(x + 1)e^x$$，求导得极值点在 $$x = -2$$ 处，$$f(-2) = e^{-2}$$。要求 $$f(x) = a$$ 有 3 解，需 $$-1 < a < e^{-2}$$，故选 B。

6. 分析选项：

- A：$$f(1) = 0$$，$$f(-1) = \frac{1}{3}$$，不满足奇函数定义，错误。 - B：$$f\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2 \frac{1}{4} = -2$$，$$f(f\left(\frac{1}{4}\right)) = f(-2) = 3^{-2} = \frac{1}{9}$$，正确。 - C：$$f(x)$$ 不是双射，图像不关于 $$y = x$$ 对称，错误。 - D：$$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 和 $$x > 0$$ 分别单调，但在 $$R$$ 上不连续增，错误。故选 B。

7. 函数 $$f(x) = \max\{|x + 1|, |x - 2|\}$$ 的最小值在两绝对值函数交点处取得。

解 $$|x + 1| = |x - 2|$$ 得 $$x = \frac{1}{2}$$，此时 $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$$，故选 C。

9. 函数 $$g(x) = f(x) - a x + a$$ 有且仅有两个零点。

分析 $$f(x)$$： - 当 $$-4 \leq x < 0$$，$$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 - x + 1$$，开口向下，顶点在 $$x = -2$$ 处，$$f(-2) = 2$$。 - 当 $$x \geq 0$$，$$f(x) = e^x$$，单调递增。要求 $$g(x) = 0$$ 有且仅有两个解，需 $$a$$ 使得直线 $$y = a(x - 1)$$ 与 $$f(x)$$ 图像有两个交点。通过斜率分析可得 $$a \in \left(-1, -\frac{2}{3}\right) \cup \left(e^2, +\infty\right)$$，故选 C。

10. 函数 $$f(x)$$ 在 $$R$$ 上有两个零点。

- 当 $$x \leq 0$$，$$f(x) = e^x - a$$，需 $$a > 0$$ 且 $$x = \ln a$$（$$a \leq 1$$ 时 $$x \leq 0$$ 有解）。 - 当 $$x > 0$$，$$f(x) = 2x - a$$，需 $$a > 0$$ 且 $$x = \frac{a}{2}$$。综合要求 $$0 < a \leq 1$$，故选 A。

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