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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {x^{2}+4 x， \ x \leqslant0，} \\ {\mathrm{e}^{x}-\frac{1} {x}， \ x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$则函数$$g ( x )=f [ f ( x )-5 ]$$的零点个数是（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '数列与函数的综合问题'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {1-| x-1 |} & {x < 2} \\ {2 f ( x-2 )} & {x \geqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，设方程$$f ( x )=2^{\frac{x-1} {2}}$$的根从小到大依次为$$x_{1}， ~ ~ x_{2}， ~ ~ \dots x_{n}， ~ ~ \dots， ~ n \in{\bf N}^{*}$$，则数列$$\{f ( x_{n} ) \}$$的前$${{n}}$$项和为（）
C
A.$${{n}^{2}}$$
B.$${{n}^{2}{+}{n}}$$
C.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
D.$$2^{n+1}-1$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {3^{| x-1 |}， x > 0} \\ {-x^{2}-2 x+1， x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f^{2} ( x )+( a-1 ) f ( x )-a=0$$有$${{7}}$$个不等的实数根，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 1， 2 ]$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$(-2，-1 )$$
D.$$[-2，-1 ]$$
4、['导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象']正确率40.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\left| l n x \right|$$，若函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-a \textbf{x}$$在$$( \; 0， \; \; e^{2} \， )$$上有三个零点$${（{e}}$$是自然对数的底数），则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \frac{2} {e^{2}}， \ \frac{1} {e} )$$
B.$$( 0， ~ \frac{1} {e} )$$
C.$$( 0， ~ \frac{2} {e} )$$
D.$$( \ \frac{2} {e^{2}}， \ \frac{2} {e} )$$
5、['函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知偶函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}}$$，且$$f \left( 1+x \right) ~=f \left( 1-x \right)$$，又当$$x \in[ 0， ~ 1 ]$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =x$$，函数$$g^{\ ( \textbf{x} )} \ =\left\{\begin{array} {l l} {l o g_{4} x ( x > 0 )} \\ {4^{x} ( x \leq0 )} \\ \end{array} \right.$$，则函数$$h ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-g ~ ( \textbf{x} )$$在区间$$[-4， ~ 4 ]$$上的零点个数为（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{7}}$$
7、['函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {-x^{2}+6 x， x \geq0} \\ {-4 x， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，则函数$$g ( x )=f ( x )+x-8$$的零点个数为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
8、['导数与单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {e^{x-1}} \\ {} & {\frac{e^{x-1}} {x}， x > 0} \\ {} & {a x+3， x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=f ( f ( x ) )-2$$恰有$${{5}}$$个零点，且最小的零点小于$${{−}{4}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-\infty\，， \，-1 )$$
B.$$( 0， \，+\infty)$$
C.$$( 0 \;， 1 )$$
D.$$( 1，+\infty)$$
9、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {4 x-4，} & {x \leqslant1} \\ {x^{2}-4 x+3，} & {x > 1} \\ \end{array} \right.， \ g \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{2} x$$，则函数$$h \left( x \right)=f \left( x \right)-g \left( x \right)$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}-1， x < 2} \\ {f ( x-2 )， x \geqslant2，} \\ \end{array} \right.$$$$g ( x )=3-\frac{1} {2} x$$，则方程$$f ( x )=g ( x )$$的解的个数是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
1. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} x^{2}+4x, & x \leqslant 0 \\ e^{x}-\frac{1}{x}, & x > 0 \end{cases}$$，则函数$$g(x)=f[f(x)-5]$$的零点个数是（ ）。
分析：零点个数即$$g(x)=0$$的解的个数，即$$f[f(x)-5]=0$$。
先解$$f(t)=0$$：
当$$t \leqslant 0$$时，$$t^{2}+4t=0$$，得$$t=0$$或$$t=-4$$。
当$$t > 0$$时，$$e^{t}-\frac{1}{t}=0$$，即$$e^{t}=\frac{1}{t}$$，由于$$t > 0$$时$$e^{t} > 1$$，而$$\frac{1}{t} \leqslant 1$$（等号仅在$$t=1$$时成立，但$$e^{1} \neq 1$$），故无解。
所以$$f(t)=0$$的解为$$t=0$$或$$t=-4$$。
因此$$f[f(x)-5]=0$$等价于$$f(x)-5=0$$或$$f(x)-5=-4$$，即$$f(x)=5$$或$$f(x)=1$$。
下面分别求$$f(x)=5$$和$$f(x)=1$$的根的个数。
对于$$f(x)=5$$：
当$$x \leqslant 0$$时，$$x^{2}+4x=5$$，即$$x^{2}+4x-5=0$$，解得$$x=1$$（舍，因$$x \leqslant 0$$）或$$x=-5$$（符合）。
当$$x > 0$$时，$$e^{x}-\frac{1}{x}=5$$。令$$h(x)=e^{x}-\frac{1}{x}-5$$，则$$h'(x)=e^{x}+\frac{1}{x^{2}} > 0$$，故$$h(x)$$在$$(0,+\infty)$$上严格递增。又$$x \to 0^{+}$$时，$$\frac{1}{x} \to +\infty$$，故$$-\frac{1}{x} \to -\infty$$，而$$e^{x} \to 1$$，所以$$h(x) \to -\infty$$；$$x \to +\infty$$时，$$h(x) \to +\infty$$。由连续性和单调性，$$h(x)=0$$在$$(0,+\infty)$$上有唯一实根。
所以$$f(x)=5$$有2个实根。
对于$$f(x)=1$$：
当$$x \leqslant 0$$时，$$x^{2}+4x=1$$，即$$x^{2}+4x-1=0$$，解得$$x=-2 \pm \sqrt{5}$$。由于$$-2-\sqrt{5} \approx -4.236 < 0$$，$$-2+\sqrt{5} \approx 0.236 > 0$$（舍），故只有$$x=-2-\sqrt{5}$$一个根。
当$$x > 0$$时，$$e^{x}-\frac{1}{x}=1$$，即$$e^{x}=1+\frac{1}{x}$$。令$$k(x)=e^{x}-1-\frac{1}{x}$$，则$$k'(x)=e^{x}+\frac{1}{x^{2}} > 0$$，故$$k(x)$$在$$(0,+\infty)$$上严格递增。又$$x \to 0^{+}$$时，$$\frac{1}{x} \to +\infty$$，故$$k(x) \to -\infty$$；$$x \to +\infty$$时，$$k(x) \to +\infty$$。由连续性和单调性，$$k(x)=0$$在$$(0,+\infty)$$上有唯一实根。
所以$$f(x)=1$$有2个实根。
综上，$$f(x)=5$$和$$f(x)=1$$共有4个实根，即$$g(x)$$的零点个数为4。
答案：B
2. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} 1-|x-1|, & x < 2 \\ 2f(x-2), & x \geqslant 2 \end{cases}$$，设方程$$f(x)=2^{\frac{x-1}{2}}$$的根从小到大依次为$$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots, n \in \mathbb{N}^{*}$$，则数列$$\{f(x_{n})\}$$的前$$n$$项和为（ ）。
分析：函数$$f(x)$$是周期为2的分段函数，且每段线性。当$$x \in [0,2)$$时，$$f(x)=1-|x-1|$$，这是一个以$$x=1$$为对称轴的V形函数，在$$[0,2)$$上值域为$$[0,1]$$。
对于$$x \geqslant 2$$，由递推关系$$f(x)=2f(x-2)$$，可知在区间$$[2k, 2k+2)$$上，$$f(x)=2^{k} f(x-2k)$$，其中$$x-2k \in [0,2)$$，故$$f(x)$$在$$[2k, 2k+2)$$上的值域为$$[0, 2^{k}]$$。
方程$$f(x)=2^{\frac{x-1}{2}}$$。令$$y=2^{\frac{x-1}{2}}$$，这是一个指数函数，随$$x$$增大而增大。
考虑在每个区间$$[2k, 2k+2)$$上求解。在$$[2k, 2k+2)$$上，$$f(x)=2^{k} [1-|x-2k-1|]$$，且$$x=2k+t$$，$$t \in [0,2)$$，则$$f(x)=2^{k} [1-|t-1|]$$。
方程化为$$2^{k} [1-|t-1|] = 2^{\frac{2k+t-1}{2}} = 2^{k} \cdot 2^{\frac{t-1}{2}}$$，即$$1-|t-1| = 2^{\frac{t-1}{2}}$$。
令$$u=t-1$$，则$$u \in [-1,1)$$，方程化为$$1-|u| = 2^{u/2}$$。
观察函数$$\phi(u)=1-|u|$$和$$\psi(u)=2^{u/2}$$。$$\phi(u)$$是V形，在$$u=0$$处取最大值1；$$\psi(u)$$是指数函数，在$$u=0$$时$$\psi(0)=1$$，且$$\psi(u)$$单调增。
当$$u=0$$时，两边均为1，是一个解。
当$$u < 0$$时，$$|u|=-u$$，方程化为$$1+u = 2^{u/2}$$。令$$h(u)=1+u-2^{u/2}$$，则$$h'(u)=1 - \frac{1}{2} \ln 2 \cdot 2^{u/2}$$。在$$u<0$$时，$$2^{u/2} < 1$$，故$$h'(u) > 1 - \frac{1}{2} \ln 2 > 0$$（因为$$\ln 2 \approx 0.693$$），所以$$h(u)$$在$$[-1,0)$$上严格递增。又$$h(-1)=0 - 2^{-1/2} < 0$$，$$h(0)=1-1=0$$，故在$$[-1,0)$$上$$h(u) < 0$$，即无解（除端点$$u=0$$外）。
当$$u > 0$$时，$$|u|=u$$，方程化为$$1-u = 2^{u/2}$$。令$$j(u)=1-u-2^{u/2}$$，则$$j'(u)=-1 - \frac{1}{2} \ln 2 \cdot 2^{u/2} < 0$$，故$$j(u)$$严格递减。$$j(0)=0$$，$$j(1)=1-1-2^{1/2} = -\sqrt{2} < 0$$，故在$$(0,1)$$上$$j(u) < 0$$，无解。
所以方程$$1-|u| = 2^{u/2}$$在$$u \in [-1,1)$$上只有唯一解$$u=0$$，即$$t=1$$。
对应地，在每个区间$$[2k, 2k+2)$$上，$$t=1$$即$$x=2k+1$$是方程的解。
因此，方程$$f(x)=2^{\frac{x-1}{2}}$$的解为$$x=2k+1$$，$$k=0,1,2,\dots$$，即$$x_{n}=2n-1$$（因为$$x_{1}=1, x_{2}=3, \dots$$）。
于是$$f(x_{n}) = f(2n-1)$$。当$$x=2n-1$$，它属于区间$$[2n-2, 2n)$$，此时$$f(x)=2^{n-1} f(x-2n+2)$$，而$$x-2n+2 = 1$$，$$f(1)=1-|1-1|=1$$，所以$$f(x_{n})=2^{n-1} \cdot 1 = 2^{n-1}$$。
数列$$\{f(x_{n})\}$$的前$$n$$项和为$$S_{n} = 2^{0} + 2^{1} + \dots + 2^{n-1} = \frac{1-2^{n}}{1-2} = 2^{n}-1$$。
答案：C
3. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} 3^{|x-1|}, & x > 0 \\ -x^{2}-2x+1, & x \leqslant 0 \end{cases}$$，若关于$$x$$的方程$$f^{2}(x)+(a-1)f(x)-a=0$$有7个不等的实数根，则实数$$a$$的取值范围是（ ）。
分析：方程$$[f(x)]^{2} + (a-1)f(x) - a = 0$$可因式分解为$$(f(x)-1)(f(x)+a)=0$$，即$$f(x)=1$$或$$f(x)=-a$$。
原方程有7个不等的实根，即$$f(x)=1$$和$$f(x)=-a$$的实根总数为7，且互不相等。
先研究$$f(x)$$的图像。
当$$x \leqslant 0$$时，$$f(x)=-x^{2}-2x+1 = -(x+1)^{2}+2$$，这是一个开口向下的抛物线，顶点在$$(-1,2)$$，与y轴交于$$(0,1)$$，与x轴交点：$$-x^{2}-2x+1=0$$，即$$x^{2}+2x-1=0$$，$$x=-1 \pm \sqrt{2}$$。
当$$x > 0$$时，$$f(x)=3^{|x-1|}$$。对于$$x \geqslant 1$$，$$|x-1|=x-1$$，$$f(x)=3^{x-1}$$，从$$x=1$$时$$f(1)=1$$开始单调递增；对于$$0 < x < 1$$，$$|x-1|=1-x$$，$$f(x)=3^{1-x}$$，从$$x \to 0^{+}$$时$$f(0^{+})=3$$开始单调递减到$$f(1)=1$$。
所以$$f(x)$$的图像：在$$x \leqslant 0$$部分为抛物线；在$$x>0$$部分，在$$(0,1)$$上从3递减到1，在$$[1,+\infty)$$上从1递增。
现在解$$f(x)=1$$：
当$$x \leqslant 0$$时，$$-x^{2}-2x+1=1$$，即$$-x^{2}-2x=0$$，$$x(x+2)=0$$，得$$x=0$$或$$x=-2$$。
当$$x > 0$$时，$$3^{|x-1|}=1$$，即$$|x-1|=0$$，得$$x=1$$。
所以$$f(x)=1$$有3个根：$$x=-2, 0, 1$$。
要使原方程有7个根，则$$f(x)=-a$$必须有4个不同的根，且这4个根与$$f(x)=1$$的3个根互不相等。
设$$t=-a$$，则$$f(x)=t$$应有4个根。
分析$$f(x)$$的值域和单调区间：
在$$x \leqslant 0$$上，$$f(x)$$在$$(-\infty, -1]$$上递增（从$$-\infty$$到2），在$$[-1, 0]$$上递减（从2到1）。所以$$x \leqslant 0$$部分，$$f(x)$$的值域为$$(-\infty, 2]$$，且每个$$y \in (1,2)$$对应两个$$x$$（一个小于-1，一个在(-1,0)），$$y=2$$对应$$x=-1$$一个，$$y=1$$对应$$x=0$$和$$x=-2$$（但$$y=1$$的根已计入$$f(x)=1$$，需避免重复），$$y<1$$时对应一个$$x$$（在$$(-\infty,-1)$$上）。
在$$x>0$$上，$$f(x)$$在$$(0,1)$$上从3递减到1，在$$[1,+\infty)$$上从1递增到$$+\infty$$。所以$$x>0$$部分，$$f(x)$$的值域为$$[1,+\infty)$$，且每个$$y>1$$（除$$y=3$$外）对应两个$$x$$（一个在(0,1)，一个在(1,+\infty)），$$y=1$$对应$$x=1$$一个，$$y=3$$对应$$x=0^{+}$$（但$$x=0$$不在$$x>0$$内，实际上$$x \to 0^{+}$$时$$f(x) \to 3$$，但$$x=0$$是边界，属于$$x \leqslant 0$$部分，且$$f(0)=1$$，所以$$y=3$$在$$x>0$$上只有一个根？仔细看：在$$(0,1)$$上，$$f(x)=3^{1-x}$$，当$$f(x)=3$$时，$$3^{1-x}=3$$，得$$1-x=1$$，$$x=0$$，但$$x=0$$不在定义域$$x>0$$内，所以实际上在$$x>0$$上，$$f(x)$$取不到3，因为当$$x \to 0^{+}$$时$$f(x) \to 3$$，但这是极限值，不是函数值。所以$$x>0$$上值域为$$(1,3) \cup [1,+\infty)$$，即$$[1,3) \cup [1,+\infty) = [1,+\infty)$$，但$$y=3$$不在值域内（是左端点极限）。因此，对于$$y>1$$且$$y \neq 3$$，在$$x>0$$上有两个根；对于$$y=1$$，有一个根$$x=1$$；对于$$y=3$$，无根。
现在要求$$f(x)=t$$有4个不同的根。
考虑$$t$$的取值：
若$$t=1$$，则$$f(x)=1$$已有3个根（-2,0,1），但这是$$f(x)=1$$的情况，我们现在考虑的是$$f(x)=t$$作为$$f(x)=-a$$的方程，如果$$t=1$$即$$a=-1$$，那么$$f(x)=1$$的根会与$$f(x)=1$$的根重复？实际上，原方程是$$f(x)=1$$或$$f(x)=-a$$，如果$$-a=1$$，那么两个方程相同，总根数就是$$f(x)=1$$的根数3个，不是7个。所以$$t \neq 1$$。
要使$$f(x)=t$$有4个根，必须使得在$$x \leqslant 0$$上有两个根，在$$x>0$$上有两个根。
在$$x \leqslant 0$$上有两个根要求$$t \in (1,2)$$（因为$$t=2$$时只有一个根$$x=-1$$，$$t>2$$时在 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱