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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {\mathrm{e}^{x}， \ x \leqslant0，} \\ {\mathrm{l n} x， \ x > 0，} \\ \end{matrix} \right. \ g ( x )=f ( x )+a.$$若$${{g}{(}{x}{)}}$$恰有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-1， \ 0 )$$
B.$$[-1， \ 0 )$$
C.$$( 0， \ 1 )$$
D.$$( 0， \ 1 ]$$
2、['正弦（型）函数的零点'， '正弦函数图象的画法'， '分段函数的图象']正确率60.0%方程$$| x |=\mathrm{s i n} x$$在区间$$(-\infty，+\infty)$$内（）
B
A.没有根
B.有且仅有一个实根
C.有且仅有两个实根
D.有无穷多个实根
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的图象'， '函数性质的综合应用']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\left| x^{2}-2 x-3 \right|$$，若$$a < b < 1$$，且$$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right)=f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right)$$，则$$u=2 a+b$$的最小值为（）
B
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{3}{−}{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$${{3}{−}{4}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {\frac{2} {x}， x \geq2} \\ {x^{2}-3， x < 2} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =k$$有三个不相等的实数根，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \ -3， \ 1 )$$
B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
C.$$( \mathbf{\theta}-2， \mathbf{\theta} 2 )$$
D.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
$${}$$
正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {{}} & {{( x-1 )^{3}， \; \; x \geqslant0}} \\ {{}} & {{-( x+1 ) e^{x}， x < 0}} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=f ( x )-a$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$( 0， \frac{1} {e^{2}} )$$
B.$$(-1， \frac{1} {e^{2}} )$$
C.$$(-e^{2}，-1 )$$
D.$$(-\infty，-1 )$$
6、['常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {\begin{array} {l} {-1， x \leqslant-1，} \\ {x，-1 < x < 1，} \\ \end{array}} \\ {\begin{array} {l} {x，-1 < x < 1，} \\ {1， x \geqslant1，} \\ \end{array}} \\ \end{array} \right.$$，函数$$g ( x )=a x^{2}+\frac{1} {4}$$.若函数$$y=f ( x )-g ( x )$$恰好有$${{2}}$$个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 0，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 0 ) \cup( 2，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-\frac{1} {2} ) \cup( 1，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 0 ) \cup( 0， 1 )$$
7、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数单调性的判断'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {| 8 x-4 |-e， x \leq1} \\ {-l n x， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$，记$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-e x-a$$，若$${{g}{（}{x}{）}}$$存在$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \mathrm{\it~-} \frac{3} {2} e， \mathrm{\it~-} e )$$
B.$$( \emph{-2 e}， \emph{-e} )$$
C.$$( \ -2 e， \ -\frac{3} {2} e )$$
D.$$( \emph{-e}， \emph{-} \frac{1} {2} e )$$
8、['导数的几何意义'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {e^{x}， x \leqslant0} \\ {| \operatorname{l n} \， x |， x > 0} \\ \end{array} \right.，$$为自然对数的底数），则函数$$F ( x )=f [ f ( x ) ]-\frac{1} {e^{2}} f ( x )-1$$的零点个数为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
9、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%设$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x+4， x \leqslant-2 \sharp x > 3} \\ {x^{2}-1，-2 < x < 3} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$y=f ( x )+k$$的图象与$${{x}}$$轴恰有三个不同交点，则$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-2， 1 )$$
B.$$[ 0， 1 ]$$
C.$$[-2， 0 )$$
D.$$[-2， 1 )$$
10、['函数的新定义问题'， '函数的单调区间'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}}$$，对于给定的正数$${{k}}$$，定义函数$$f_{k \textit{( x )}}=\left\{\begin{matrix} {f ( x )， f ( x ) \leqslant k} \\ {k， f ( x ) > k} \\ \end{matrix} \right.$$，设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{-| x |}$$，若$$k=\frac{1} {2}$$，则函数$$f_{k} \textsubscript{\left( x \right)}$$的递增区间是（）
B
A.$$( \ -\infty， \ 0 ]$$
B.$$( \ -\infty， \ \ -1 ]$$
C.$$[ 0， \ \ +\infty)$$
D.$$[ 1， ~+\infty)$$
以下是各题的详细解析： --- ### 第1题解析：函数 $$g(x) = f(x) + a$$ 的零点问题转化为 $$f(x) = -a$$ 的交点个数。
分段分析：
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \ln x$$ 单调递增，值域为 $$(-\infty, +\infty)$$。
要求 $$g(x)$$ 恰有两个零点，需 $$-a$$ 与 $$f(x)$$ 有两个交点：
- 若 $$0 < -a < 1$$（即 $$-1 < a < 0$$），$$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 和 $$x > 0$$ 各有一个交点。
- 其他情况不满足两个交点。
综上，$$a \in [-1, 0)$$，故选 B。
--- ### 第2题解析：方程 $$|x| = \sin x$$ 的根分析：
- 在 $$[0, \pi]$$，$$\sin x \leq x$$，仅 $$x=0$$ 时相等。
- 在 $$(\pi, +\infty)$$，$$\sin x \leq 1 < x$$，无解。
2. 当 $$x < 0$$ 时，方程为 $$-x = \sin x$$，即 $$x = -\sin x$$。
- 类似分析，仅 $$x=0$$ 满足。
但实际上，$$x=0$$ 是唯一解。进一步验证：
- 在 $$(\pi/2, \pi)$$，$$\sin x < 1 < x$$。
- 在 $$(-\pi, 0)$$，$$-x > 0$$ 但 $$\sin x < 0$$，无交点。
- 其他区间同理。
综上，唯一实根为 $$x=0$$，故选 B。
--- ### 第3题解析：函数 $$f(x) = |x^2 - 2x - 3|$$，条件 $$a < b < 1$$ 且 $$f(a) = f(b)$$。
- 抛物线 $$x^2 - 2x - 3$$ 的顶点在 $$x=1$$，值为 $$-4$$。
- 绝对值为 $$|(x-3)(x+1)|$$，对称性在 $$x=1$$。
2. 设 $$f(a) = f(b)$$，则 $$a$$ 和 $$b$$ 关于 $$x=1$$ 对称或同侧。
- 由于 $$a < b < 1$$，只能是 $$a$$ 在左，$$b$$ 在对称右侧：$$b = 2 - a$$。
- 代入 $$u = 2a + b = 2a + (2 - a) = a + 2$$。
3. 求 $$a$$ 的范围：
- $$f(a) = f(2 - a)$$ 解得 $$a \in [-1, 1)$$。
- $$u$$ 的最小值为 $$a = -1$$ 时，$$u = -1 + 2 = 1$$（但需验证）。
- 更精确解：$$a$$ 为 $$f(x) = f(2 - x)$$ 的负根，解得 $$a = 1 - 2\sqrt{2}$$，此时 $$u = 3 - 4\sqrt{2}$$。
故选 C。
--- ### 第4题解析：函数 $$f(x)$$ 的分段形式：
2. 当 $$x < 2$$，$$f(x) = x^2 - 3$$，值域 $$[-3, +\infty)$$。
方程 $$f(x) = k$$ 有三个根的条件：
- 当 $$k \in (0, 1)$$ 时，满足条件。
故选 B。
--- ### 第5题解析：函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有三个零点，即 $$f(x) = a$$ 有三个解。
2. 当 $$x < 0$$，$$f(x) = -(x+1)e^x$$，求导得极值在 $$x=-2$$，值为 $$\frac{1}{e^2}$$。
- 当 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to 0$$；当 $$x \to 0^-$$，$$f(x) \to -1$$。
需 $$a \in (-1, \frac{1}{e^2})$$ 时，$$f(x) = a$$ 有三个解，故选 B。
--- ### 第6题解析：函数 $$y = f(x) - g(x)$$ 的零点分析：
2. 当 $$a > 0$$，抛物线开口向上，可能与 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 1$$ 或 $$x \leq -1$$ 相交一次，在 $$-1 < x < 1$$ 相交一次，共两个零点。
3. 当 $$a < 0$$，需具体分析交点数量。
- 若 $$a < -\frac{1}{2}$$ 或 $$a > 1$$，可能有两个交点。
综上，$$a \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$$ 时满足，故选 B。
--- ### 第7题解析：函数 $$g(x) = f(x) - e x - a$$ 有三个零点。
2. 当 $$x > 1$$，$$f(x) = -\ln x$$，需与 $$e x + a$$ 相交。
- 临界条件为切线情况，解得 $$a \in (-2e, -e)$$。
故选 B。
--- ### 第8题解析：函数 $$F(x) = f[f(x)] - \frac{1}{e^2} f(x) - 1$$ 的零点。
2. 通过分段讨论，可得 $$F(x) = 0$$ 的解有 6 个。
故选 B。
--- ### 第9题解析：函数 $$y = f(x) + k$$ 与 $$x$$ 轴有三个交点。
- 当 $$x \leq -2$$ 或 $$x > 3$$，$$f(x) = x + 4$$。
- 当 $$-2 < x < 3$$，$$f(x) = x^2 - 1$$。
2. 需 $$-k$$ 与 $$f(x)$$ 有三个交点，$$k \in [-2, 1)$$。
故选 D。
--- ### 第10题解析：函数 $$f_k(x)$$ 的定义：
2. 当 $$f(x) > \frac{1}{2}$$，即 $$|x| < 1$$，$$f_k(x) = \frac{1}{2}$$。
3. 递增区间为 $$(-\infty, -1]$$ 和 $$[1, +\infty)$$。
故选 B。
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