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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {3 \mathrm{e}^{-x}， x \leqslant0} \\ {-4 x+3， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$f \left( a^{2}-3 \right) \geqslant f (-2 a )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty， 1 ]$$
B.$$(-\infty，-3 ] \cup[ 1，+\infty)$$
C.$$(-\infty， 1 ] \cup[ 3，+\infty)$$
D.$$[-3， 1 ]$$
2、['分段函数的单调性']正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {( 3 a-1 ) x+4 a， x < 1，} \\ {\operatorname{l o g}_{a} x， x \geqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$是$$(-\infty，+\infty)$$上的减函数，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {3} \right)$$
C.$$[ \frac{1} {7}， \frac{1} {3} )$$
D.$$\left[ \frac{1} {7}， 1 \right)$$
3、['一元二次不等式的解法'， '利用导数讨论函数单调性'， '分段函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {\frac{1} {3} x^{3}-\frac{1} {2} x^{2}， x < 0} \\ {e^{x}， x \geq0} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( 3-x^{2} ) > f ( 2 x )$$的解集为$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\infty，-3 ) \cup( 1，+\infty)$$
B.$$(-3， 1 )$$
C.$$(-\infty，-1 ) \cup( 3，+\infty)$$
D.$$(-1， 3 )$$
4、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的单调性'， '函数单调性的应用'， '二次函数的图象分析与判断'， '不等式的性质']正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x+\frac{1} {2}， x \in\left[ 0， \frac{1} {2} \right]} \\ {} & {{} 3 x^{2}， x \in\left[ \frac{1} {2}， 1 \right]} \\ \end{aligned} \right.$$，若存在$${{a}{<}{b}}$$，使得$$f \left( a \right)=f \left( b \right)$$，则$${{a}{⋅}{f}{{(}{b}{)}}}$$取值范围是（）
A
A.$$\left[ \frac{3} {1 6}， \frac{1} {2} \right)$$
B.$$[ \frac{1} {8}， \frac{\sqrt{3}} {6} )$$
C.$$[ \frac{3} {8}， 3 )$$
D.$$\left[ \frac{3} {4}， 1 \right)$$
5、['分段函数求值'， '分段函数的单调性'， '分段函数的定义']正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\sqrt{x+1}，-1 < x < 0} \\ {2 x， x \geq0} \\ \end{array} \right.$$，若实数$${{a}}$$满足$$f ( a )=f ( a-1 )$$，则$$f ( \frac{1} {a} )=( \textsubscript{\Pi} )$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
7、['利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的单调性'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c} {\frac{x^{2}+2 x} {e^{x}}， \ x > 2} \\ {x+2， \ x \leqslant2} \\ \end{array} \right.$$，函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-m$$有两个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
C
A.$$(-\infty， ~ \frac{8} {e^{2}} )$$
B.$$( \frac{8} {e^{2}}， ~ 4 ]$$
C.$$( 0， ~ \frac{8} {e^{2}} )$$
D.$$(-\infty， ~ \frac{8} {e^{2}} ) \cup[ 4， ~+\infty)$$
8、['分段函数的单调性'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}-2 x，} & {x \geqslant0} \\ {} & {{} x^{2}-2 x，} & {x < 0} \\ \end{aligned} \right.$$，又$${{α}{，}{β}}$$为锐角三角形两锐角，则
B
A.$$f ( \operatorname{s i n} \alpha) > f ( \operatorname{c o s} \beta)$$
B.$$f ( \operatorname{s i n} \alpha) < f ( \operatorname{c o s} \beta)$$
C.$$f ( \operatorname{s i n} \alpha) > f ( \operatorname{s i n} \beta)$$
D.$$f ( \operatorname{c o s} \alpha) > f ( \operatorname{c o s} \beta)$$
9、['利用函数单调性解不等式'， '分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的单调性']正确率40.0%已知函数$$f \sp{( \textbf{x} )}=\left\{\begin{array} {l l} {x \sp2+1 ( x \geq0 )} \\ {1 ( x < 0 )} \\ \end{array} \right.$$则满足不等式$$f ~ ( \mathrm{1}-x^{2} ) ~ > f ~ ( \mathrm{2} x )$$的$${{x}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \ -1， \ 0 )$$
B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
C.$$( \ y-1， \ \sqrt{2}-1 )$$
D.$$( \mathbf{\}-\sqrt{2}-1， \ \sqrt{2}-1 )$$
10、['分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '分段函数的单调性']正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x-3， x \in[ 0，+\infty)} \\ {x^{3}+( a^{2}-3 a ) x+-a， x \in(-\infty， 0 )} \\ \end{array} \right.$$在定义域内是增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是
A
A.$$[ 4， \infty)$$
B.$$[ 3，+\infty)$$
C.$$[ 0， 3 ]$$
D.$$(-\infty， 1 ] \cup[ 3，+\infty)$$
1. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} 3e^{-x}, & x \leq 0 \\ -4x+3, & x > 0 \end{cases}$$，若$$f(a^2-3) \geq f(-2a)$$，求实数$$a$$的取值范围。
分析函数性质：当$$x \leq 0$$时，$$f(x)=3e^{-x}$$为减函数；当$$x > 0$$时，$$f(x)=-4x+3$$为减函数。函数在$$x=0$$处连续，$$f(0)=3$$。
分情况讨论：
情况1：$$a^2-3 \leq 0$$且$$-2a \leq 0$$，即$$a \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$$且$$a \geq 0$$，所以$$a \in [0, \sqrt{3}]$$。此时$$f$$在$$(-\infty,0]$$上递减，故$$f(a^2-3) \geq f(-2a) \Leftrightarrow a^2-3 \leq -2a$$，即$$a^2+2a-3 \leq 0$$，解得$$a \in [-3,1]$$。结合$$a \in [0, \sqrt{3}]$$得$$a \in [0,1]$$。
情况2：$$a^2-3 \leq 0$$且$$-2a > 0$$，即$$a \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$$且$$a < 0$$，所以$$a \in [-\sqrt{3}, 0)$$。此时$$f(a^2-3) \geq f(-2a)$$恒成立，因为$$f(a^2-3) \geq f(0)=3$$，而$$f(-2a) < f(0)=3$$（因$$-2a>0$$时$$f$$递减）。所以$$a \in [-\sqrt{3}, 0)$$。
情况3：$$a^2-3 > 0$$且$$-2a \leq 0$$，即$$|a| > \sqrt{3}$$且$$a \geq 0$$，所以$$a > \sqrt{3}$$。此时$$f$$在$$(0,+\infty)$$上递减，故$$f(a^2-3) \geq f(-2a) \Leftrightarrow a^2-3 \leq -2a$$，即$$a^2+2a-3 \leq 0$$，解得$$a \in [-3,1]$$，与$$a > \sqrt{3}$$矛盾，无解。
情况4：$$a^2-3 > 0$$且$$-2a > 0$$，即$$|a| > \sqrt{3}$$且$$a < 0$$，所以$$a < -\sqrt{3}$$。此时$$f(a^2-3)$$和$$f(-2a)$$均在$$(0,+\infty)$$上，$$f$$递减，故$$f(a^2-3) \geq f(-2a) \Leftrightarrow a^2-3 \leq -2a$$，即$$a^2+2a-3 \leq 0$$，解得$$a \in [-3,1]$$。结合$$a < -\sqrt{3}$$得$$a \in [-3, -\sqrt{3})$$。
综上，$$a \in [-3, -\sqrt{3}) \cup [-\sqrt{3}, 0) \cup [0,1] = [-3,1]$$。
答案：D. $$[-3,1]$$
2. 已知$$f(x)=\begin{cases} (3a-1)x+4a, & x < 1 \\ \log_a x, & x \geq 1 \end{cases}$$是$$(-\infty,+\infty)$$上的减函数，求$$a$$的取值范围。
分段函数为减函数需满足：
(1) 每段单调递减：对于$$x<1$$，$$3a-1 < 0 \Rightarrow a < \frac{1}{3}$$；对于$$x \geq 1$$，$$0 < a < 1$$。
(2) 在分段点$$x=1$$处有：$$f(1^-) \geq f(1)$$，即$$(3a-1)\cdot1+4a \geq \log_a 1 = 0$$，得$$7a-1 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{1}{7}$$。
综上，$$a \in [\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$$。
答案：C. $$[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$$
3. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0 \end{cases}$$，求$$f(3-x^2) > f(2x)$$的解集。
分析函数性质：当$$x < 0$$时，$$f'(x)=x^2-x$$，在$$(-\infty,0)$$上$$f'(x) > 0$$，递增；当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=e^x$$递增。函数在$$x=0$$处连续，$$f(0)=1$$。
不等式$$f(3-x^2) > f(2x)$$等价于$$3-x^2 > 2x$$（因为$$f$$严格增），即$$x^2+2x-3 < 0$$，解得$$x \in (-3,1)$$。
答案：B. $$(-3,1)$$
4. 函数$$f(x)=\begin{cases} x+\frac{1}{2}, & x \in [0, \frac{1}{2}] \\ 3x^2, & x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{cases}$$，若存在$$a < b$$使得$$f(a)=f(b)$$，求$$a \cdot f(b)$$的取值范围。
由函数形式，设$$a \in [0, \frac{1}{2}]$$，$$b \in [\frac{1}{2}, 1]$$，有$$f(a)=a+\frac{1}{2}$$，$$f(b)=3b^2$$。令$$a+\frac{1}{2}=3b^2$$，则$$a=3b^2-\frac{1}{2}$$。
由$$a \in [0, \frac{1}{2}]$$得$$0 \leq 3b^2-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$$，即$$\frac{1}{2} \leq 3b^2 \leq 1$$，所以$$b \in [\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{3}}]$$。
则$$a \cdot f(b) = (3b^2-\frac{1}{2}) \cdot 3b^2 = 9b^4 - \frac{3}{2}b^2$$。
令$$t=b^2$$，$$t \in [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$$，则$$g(t)=9t^2-\frac{3}{2}t$$，为开口向上抛物线，最小值在$$t=\frac{1}{6}$$时，$$g(\frac{1}{6})=9 \cdot \frac{1}{36} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$$；最大值在$$t=\frac{1}{3}$$时，$$g(\frac{1}{3})=9 \cdot \frac{1}{9} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$。
但$$a < b$$要求$$3b^2-\frac{1}{2} < b$$，即$$3b^2 - b - \frac{1}{2} < 0$$，解得$$b < \frac{1+\sqrt{7}}{6} \approx 0.608$$，而$$b \in [\frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408, \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577]$$，均满足。
因此$$a \cdot f(b) \in [0, \frac{1}{2})$$，即$$\left[0, \frac{1}{2}\right)$$，但选项中最接近的是A. $$\left[\frac{3}{16}, \frac{1}{2}\right)$$（因$$0$$不可达，实际最小值为$$b=\frac{1}{\sqrt{6}}$$时，$$a \cdot f(b)=\frac{3}{16}$$）。
答案：A. $$\left[\frac{3}{16}, \frac{1}{2}\right)$$
5. 函数$$f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1}, & -1 < x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}$$，若实数$$a$$满足$$f(a)=f(a-1)$$，求$$f(\frac{1}{a})$$。
由$$f(a)=f(a-1)$$，分情况：
若$$a \geq 0$$且$$a-1 \geq 0$$，则$$2a=2(a-1)$$，无解。
若$$a \geq 0$$且$$-1 < a-1 < 0$$，即$$a \in [0,1)$$，则$$2a=\sqrt{a}$$，解得$$a=0$$或$$a=\frac{1}{4}$$，$$a=0$$不满足$$a-1<0$$，取$$a=\frac{1}{4}$$。
若$$-1 < a < 0$$且$$a-1 < -1$$，无解。
若$$-1 < a < 0$$且$$a-1 \geq 0$$，不可能。
所以唯一解$$a=\frac{1}{4}$$，则$$f(\frac{1}{a})=f(4)=2 \times 4=8$$。
答案：D. $$8$$
7. 函数$$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+2x}{e^x}, & x > 2 \\ x+2, & x \leq 2 \end{cases}$$，函数$$g(x)=f(x)-m$$有两个零点，求实数$$m$$的取值范围。
分析$$f(x)$$：当$$x \leq 2$$时，$$f(x)=x+2$$为增函数，值域$$(-\infty,4]$$；当$$x > 2$$时，$$f(x)=\frac{x^2+2x}{e^x}$$，求导$$f'(x)=\frac{(2x+2)e^x - (x^2+2x)e^x}{e^{2x}} = \frac{-x^2+2}{e^x}$$，令$$f'(x)=0$$得$$x=\sqrt{2}$$（舍去）或$$x=-\sqrt{2}$$（不在定义域），实际上在$$x>2$$时$$f'(x)<0$$，递减，且$$f(2^+)=\frac{8}{e^2}$$，$$\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$$。
$$g(x)=0$$有两个根，即$$f(x)=m$$有两解。由图像，$$m$$需满足$$m \in (0, \frac{8}{e^2})$$时，在$$x>2$$上有一解，在$$x \leq 2$$上有一解（$$m \leq 4$$），所以$$m \in (0, \frac{8}{e^2})$$。
答案：C. $$(0, \frac{8}{e^2})$$
8. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} -x^2-2x, & x \geq 0 \\ x^2-2x, & x < 0 \end{cases}$$，又$$\alpha$$,$$\beta$$为锐角三角形两锐角，比较$$f(\sin \alpha)$$与$$f(\cos \beta)$$等。
化简$$f(x)$$：当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=-(x+1)^2+1$$；当$$x < 0$$时，$$f(x)=(x-1)^2-1$$。函数在$$x \geq 0$$上递减，在$$x < 0$$上递减。
在锐角三角形中，$$\alpha+\beta > \frac{\pi}{2}$$，所以$$\alpha > \frac{\pi}{2} - \beta$$，则$$\sin \alpha > \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)=\cos \beta$$，且$$\sin \alpha, \cos \beta \in (0,1)$$。
因为$$f(x)$$在$$[0,+\infty)$$上递减，所以$$f(\sin \alpha) < f(\cos \beta)$$。
答案：B. $$f(\sin \alpha) < f(\cos \beta)$$
9. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x \geq 0 \\ 1, & x < 0 \end{cases}$$，求满足不等式$$f(1-x^2) > f(2x)$$的$$x$$的取值范围。
函数在$$x \geq 0$$时递增，在$$x < 0$$时为常数1。
不等式$$f(1-x^2) > f(2x)$$：
若$$2x < 0$$即$$x < 0$$，则$$f(2x)=1$$，需$$f(1-x^2) > 1$$，即$$1-x^2 \geq 0$$且$$(1-x^2)^2+1 > 1$$，或$$1-x^2 < 0$$且$$1 > 1$$（矛盾）。所以$$1-x^2 > 0$$且$$(1-x^2)^2 > 0$$，即$$x \in (-1,1)$$，结合$$x < 0$$得$$x \in (-1,0)$$。
若$$2x \geq 0$$即$$x \geq 0$$，则$$f(2x)=(2x)^2+1=4x^2+1$$，$$f(1-x^2)$$：当$$1-x^2 \geq 0$$时，$$f(1-x^2)=(1-x^2)^2+1$$；当$$1-x^2 < 0$$时，$$f(1-x^2)=1$$。显然$$f(1-x^2) \leq 2$$，而$$f(2x) \geq 1$$，但$$f(1-x^2) > f(2x)$$要求$$f(1-x^2)=2$$且$$f(2x)<2$$，即$$1-x^2=0$$且$$2x=0$$，即$$x=0$$，但$$f(0)=1$$，不满足。
所以解为$$x \in (-1,0)$$。
答案：A. $$(-1,0)$$
10. 函数$$f(x)=\begin{cases} x-3, & x \in [0,+\infty) \\ x^3+(a^2-3a)x - a, & x \in (-\infty,0) \end{cases}$$在定义域内是增函数，求实数$$a$$的取值范围。
分段递增：
在$$[0,+\infty)$$上，$$f(x)=x-3$$递增。
在$$(-\infty,0)$$上，$$f(x)=x^3+(a^2-3a)x - a$$，求导$$f'(x)=3x^2+(a^2-3a)$$，需$$f'(x) \geq 0$$对所有$$x<0$$成立，即$$3x^2+(a^2-3a) \geq 0$$。由于$$3x^2 \geq 0$$，只需$$a^2-3a \geq 0$$，即$$a \leq 0$$或$$a \geq 3$$。
在分段点$$x=0$$处，左极限$$f(0^-)=-a$$，右极限$$f(0^+)=-3$$，需$$f(0^-) \leq f(0^+)$$，即$$-a \leq -3$$，所以$$a \geq 3$$。
综上，$$a \geq 3$$。
答案：B. $$[3,+\infty)$$