函数的最大(小)值-3.2 函数的基本性质知识点月考进阶单选题自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['一元二次方程根与系数的关系'， '函数的最大(小)值'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系']

正确率60.0%若关于$${{x}}$$的不等式$$a x^{2}+b x+2 > 0$$的解集为$$\{x |-2 < x < 1 \}$$，则二次函数$$f ( x )=2 b x^{2}+4 x+a$$在区间$$[ 0， \ 3 ]$$上的最大值、最小值分别为（）

A.$$- 1， ~-7$$

B.$${{0}{，}{−}{8}}$$

C.$${{1}{，}{−}{1}}$$

D.$${{1}{，}{−}{7}}$$

2、['函数的最大(小)值'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}-6 x+8$$，且函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 1， a ]$$上的最小值为$${{f}{(}{a}{)}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， 2 ]$$

B.$$( 1， 3 ]$$

C.$$( 1， 4 ]$$

D.$$( 1， 5 ]$$

3、['函数的最大(小)值'， '建立函数模型解决实际问题']

正确率40.0%把长为$${{1}{2}{c}{m}}$$的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）

A.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2} c m^{2}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}{c}{{m}^{2}}}$$

C.$${{3}{\sqrt {2}}{c}{{m}^{2}}}$$

D.$${{4}{c}{{m}^{2}}}$$

4、['一元二次方程的解集'， '函数的最大(小)值']

正确率40.0%设实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$x^{2}+x y+y^{2}=x+y-\frac4 {1 3}$$，则代数式$$\frac{x y+y^{2}} {x+y-\frac{4} {1 3}}$$）

A.有最小值$$\frac{6} {3 1}$$

B.有最小值$$\frac{4} {1 3}$$

C.有最大值$${{1}}$$

D.有最大值$$\frac{2 0} {2 1}$$

5、['象限角'， '正弦定理及其应用'， '函数的最大(小)值'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%下列四个命题中，正确命题的个数为（）
$${{(}{1}{)}}$$若角$$\frac{\theta} {2}$$为第二象限角，则角$${{θ}}$$必为第三或第四象限角．
$${{(}{2}{)}}$$若$${{Δ}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形，则必有$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{c o s} B.$$
$${{(}{3}{)}}$$可以证明：$$\frac{1-\operatorname{c o s} \alpha} {\operatorname{s i n} \alpha}=\operatorname{t a n} \frac\alpha2$$．
$${{(}{4}{)}}$$函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} x \operatorname{c o s} x+\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x$$的最大值为$$\sqrt{2}+1.$$

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

6、['函数的最大(小)值'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x+\frac{4} {x} \; \; \;， \; x < 0} \\ {-2^{x}+a \;， \; x \geq0} \\ \end{matrix} \right.$$的最大值为$${{−}{4}}$$，则实数$${{a}}$$的最大值为（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{−}{4}}$$

7、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的单调性'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知函数$$f \mid x \mid\ =\l g \ ( 4^{x}-\frac{1} {3^{x}}-m )$$．若对任意的$$x \in[-1， ~ 1 ]$$使得$$f \ ( \textbf{x} ) \ \geq0$$成立，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-\frac{1 1} {3} )$$

B.$$( ~-\infty， ~-\frac{8} {3} )$$

C.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-\frac{1 1} {4} )$$

D.$$( ~-\infty， ~ ~-\frac{1 5} {4} ]$$

8、['函数的最大(小)值'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x+\frac{1} {2}， \， \， \， x \in[ 0， \， \， \， \frac{1} {2} )} \\ {2^{x-1}， \， \， \， x \in[ \frac{1} {2}， \， \， 2 )} \\ \end{array} \right.$$，若存在$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，当$$0 \leqslant x_{1} < x_{2} < 2$$时，$$f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~=f ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$，则$$x_{1} f ~ ( \textbf{x}_{2} ) ~-f ~ ( \textbf{x}_{2} )$$的取值范围为（）

A.$$( 0， \mathrm{~} \frac{2-3 \sqrt{2}} {4} )$$

B.$$[-\frac{9} {1 6}， ~ \frac{2-3 \sqrt{2}} {4} )$$

C.$$[ \frac{2-3 \sqrt{2}} {4}， ~-\frac{1} {2} )$$

D.$$[-\frac{9} {1 6}， ~-\frac{1} {2} )$$

9、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数的最大(小)值'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}+3 x-2， x \leqslant1} \\ {\operatorname{l n} x， x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$，若$$| f ( x ) | \geqslant a ( x-1 )$$，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 1 ]$$

B.$$(-\infty，-1 ]$$

C.$$[-1， 0 ]$$

D.$$[-2， 0 ]$$

10、['函数的最大(小)值'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=e^{x}-e^{-x}， \ \b g ( x )=e^{x}+e^{-x}$$则以下结论正确的是（）

A.任意的$$x_{1}， x_{2} \backslash\mathrm{i n} \， R$$且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0$$

B.任意的$$x_{1}， x_{2} \backslash\mathrm{i n} \， R$$且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{\mathbf{g} \left( \mathbf{x}_{1} \right) \mathbf{-g} \left( \mathbf{x}_{2} \right)} {\mathbf{x}_{1} \mathbf{-x}_{2}} < 0$$

C.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$有最小值，无最大值

D.$${{g}{{(}{x}{)}}}$$有最小值，无最大值

1. 解析：

由不等式 $$a x^{2}+b x+2 > 0$$ 的解集为 $$\{x |-2 < x < 1 \}$$，可知其对应二次函数的零点为 $$x=-2$$ 和 $$x=1$$，且开口向下（$$a < 0$$）。根据根与系数的关系：

$$-2 + 1 = -\frac{b}{a} \Rightarrow b = a$$

$$-2 \times 1 = \frac{2}{a} \Rightarrow a = -1$$

因此 $$b = -1$$。二次函数 $$f(x) = 2bx^{2}+4x+a = -2x^{2}+4x-1$$，其对称轴为 $$x = 1$$。在区间 $$[0, 3]$$ 上，最大值在顶点处取得：$$f(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = 1$$；最小值在 $$x=3$$ 处取得：$$f(3) = -2(3)^2 + 4(3) - 1 = -7$$。故选 D。

2. 解析：

函数 $$f(x) = x^{2}-6x+8$$ 的对称轴为 $$x=3$$，开口向上。在区间 $$[1, a]$$ 上，若最小值为 $$f(a)$$，则需满足 $$a \leq 3$$（否则最小值在顶点处取得）。同时 $$a > 1$$（区间长度不为零）。因此 $$a \in (1, 3]$$，故选 B。

3. 解析：

设两段长度分别为 $$x$$ 和 $$12-x$$，围成的正三角形边长为 $$\frac{x}{3}$$ 和 $$\frac{12-x}{3}$$。面积和为：

$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \left( \frac{x}{3} \right)^2 + \left( \frac{12-x}{3} \right)^2 \right) = \frac{\sqrt{3}}{18}(x^2 -12x +72)$$

求导得极小值点 $$x=6$$，此时 $$S = \frac{\sqrt{3}}{18}(36-72+72) = 2\sqrt{3}$$。故选 B。

4. 解析：

设 $$x+y = s$$，$$xy = t$$，原式化简为 $$s^2 - t = s - \frac{4}{13}$$。所求代数式为 $$\frac{t + (s^2 - s - t)}{s - \frac{4}{13}} = \frac{s^2 - s}{s - \frac{4}{13}} = s$$。由约束条件 $$s^2 - t = s - \frac{4}{13}$$ 和 $$t \leq \frac{s^2}{4}$$，解得 $$s \in \left[ \frac{4}{13}, \frac{20}{21} \right]$$。因此 $$s$$ 的最大值为 $$\frac{20}{21}$$，故选 D。

5. 解析：

(1) 错误，例如 $$\theta = 500^\circ$$ 时 $$\frac{\theta}{2} = 250^\circ$$ 为第三象限角，但 $$\theta$$ 为第二象限角。

(2) 正确，锐角三角形中 $$\sin A > \cos B$$ 等价于 $$\sin A > \sin(90^\circ - B)$$，由单调性得证。

(3) 正确，利用半角公式可证明。

(4) 错误，函数 $$f(x)$$ 的最大值为 $$\sqrt{2}+1$$ 是正确的。综上，正确命题有 3 个，故选 B。

6. 解析：

对于 $$x < 0$$，$$f(x) = x + \frac{4}{x} \leq -4$$（当且仅当 $$x=-2$$ 时取等）。对于 $$x \geq 0$$，$$f(x) = -2^x + a \leq a-1$$。由题意最大值为 $$-4$$，需 $$a-1 \leq -4$$，即 $$a \leq -3$$。故选 C。

7. 解析：

问题转化为 $$4^x - \frac{1}{3^x} - m \geq 1$$ 对 $$x \in [-1, 1]$$ 恒成立。设 $$g(x) = 4^x - 3^{-x}$$，求导得 $$g(x)$$ 在 $$[-1, 1]$$ 上单调递增，最小值为 $$g(-1) = \frac{1}{4} - 3 = -\frac{11}{4}$$。因此 $$m \leq -\frac{15}{4}$$，故选 D。

8. 解析：

函数 $$f(x)$$ 在 $$[0, \frac{1}{2})$$ 上为直线，在 $$[\frac{1}{2}, 2)$$ 上为指数函数。由 $$f(x_1) = f(x_2)$$ 可得 $$x_1 = 2^{x_2-1} - \frac{1}{2}$$。所求表达式为 $$x_1 f(x_2) - f(x_2) = (x_1 - 1)f(x_2)$$。通过分析 $$x_2 \in [\frac{1}{2}, 2)$$，可得取值范围为 $$[-\frac{9}{16}, -\frac{1}{2})$$，故选 D。

9. 解析：

分段讨论：

(1) 当 $$x \leq 1$$ 时，$$|f(x)| = | -x^2 + 3x -2 | = (x-1)(2-x)$$，需 $$(x-1)(2-x) \geq a(x-1)$$。对 $$x < 1$$，化简为 $$2-x \leq a$$；对 $$x=1$$ 恒成立。

(2) 当 $$x > 1$$ 时，$$|\ln x| \geq a(x-1)$$。分析极限和导数可得 $$a \leq 1$$。综上 $$a \in (-\infty, 1]$$，故选 A。

10. 解析：

$$f(x) = e^x - e^{-x}$$ 为奇函数且单调递增，故 $$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0$$，A 错误。

$$g(x) = e^x + e^{-x}$$ 为偶函数且在 $$x \geq 0$$ 时单调递增，故 $$\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}$$ 符号不定，B 错误。

$$f(x)$$ 无最值，C 错误。

$$g(x)$$ 最小值为 2（当 $$x=0$$ 时取得），无最大值，D 正确。故选 D。

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