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正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {1， x \gg\# \boxplus\#} \\ {0， x \gg\pm\boxplus\#} \\ \end{matrix} \right.$$，给出下列三个命题：
$${①}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数；
$${②}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是周期函数；
$${③}$$存在$$x_{i} ( i=1， 2， 3 )$$，使得$$( x_{i}， f ( x_{i} ) )$$为顶点的三角形是等边三角形．
其中正确命题的个数是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['函数性质的综合应用']正确率19.999999999999996%已知偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x+2 )=f ( x )，$$且当$$x \in[ 0， ~ 1 ]$$时$$， ~ f ( x )=\operatorname{c o s} \frac\pi2 x，$$则当$$x \in[ 2 0 2 3， ~ 2 0 2 4 ]$$时
的解析式为（）
D
A.$$f ( x )=\mathrm{s i n} \frac{\pi} {2} x$$
B.$$f ( x )=\mathrm{s i n} \pi x$$
C.$$f ( x )=\mathrm{s i n} 2 x$$
D.$$f ( x )=\operatorname{c o s} \frac\pi2 x$$
3、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '函数奇、偶性的定义'， '给定参数范围的恒成立问题'， '函数性质的综合应用']正确率19.999999999999996%设$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}+1， \ 0 \leqslant x < 1，} \\ {} & {{} 2-2 x， \ x \geqslant1.} \\ \end{aligned} \right.$$若对任意的$${{x}{∈}{[}{m}}$$，$${{m}{+}{1}{]}}$$，不等式$$f ( 1-x ) \leqslant f ( x+m )$$恒成立，则实数$${{m}}$$的最大值是（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
4、['利用导数讨论函数单调性'， '利用函数单调性比较大小'， '函数性质的综合应用']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，其导函数为$$f^{\prime} ( x )$$，且$$f ( x )=f ( x+2 )， \， \， \， f^{\prime} (-x )=-f^{\prime} ( x )$$，若当$$x \in( 0， 1 )$$时，$$f^{\prime} ( x ) < 0$$，则$${{(}{)}}$$
B
A.$$f ( \operatorname{l n} \frac{1} {2} )-f ( \operatorname{l n} 3 ) < 0$$
B.$$f ( 2 \mathrm{l n} \frac{1} {2} )-f ( \mathrm{l n} 3 ) > 0$$
C.$$f ( \operatorname{l n} \frac{1} {2} )+f ( \operatorname{l n} 3 ) < 0$$
D.$$f ( 2 \mathrm{l n} \frac{1} {2} )+f ( \mathrm{l n} 3 ) > 0$$
5、['函数求解析式'， '函数性质的综合应用']正确率40.0%已知函数$$y=f ~ ( x )$$是奇函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{2} \， \left( \begin{matrix} {x} \\ {-1} \\ \end{matrix} \right)$$，则$$f ~ ( \mathrm{\ensuremath{x-1}} ) ~ < 0$$解集是（）
A
A.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-1 ) \cup\mathbf{\psi} ( \mathbf{2}， \mathbf{3} )$$
B.$$( \mathbf{\theta}-\mathbf{1}， \ \mathbf{0} ) \ \cup\ ( \mathbf{2}， \ \mathbf{3} )$$
C.$$( 2， \ 3 )$$
D.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-\mathbf{3} ) \ \cup\ ( \mathbf{0}， \ \mathbf{1} )$$
6、['函数奇偶性的应用'， '指数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '对数的运算性质'， '利用函数单调性比较大小'， '函数性质的综合应用']正确率60.0%函数$$f ( x )=\frac{e^{x}+e^{-x}} {e^{x}-e^{-x}}$$，若$$a=f (-\frac{1} {2} )， \， \， b=f ( l n 2 )， \， \， \， c=f ( l n \frac{1} {3} )$$，则有$${{(}{)}}$$
D
A.$$c > b > a$$
B.$$b > a > c$$
C.$$c > a > b$$
D.$$b > c > a$$
7、['函数的周期性'， '函数性质的综合应用']正确率60.0%下列函数是周期函数的是（）
C
A.$${{y}{=}{{x}^{0}}}$$
B.$$y=\operatorname{s i n} | x |$$
C.$$y=\operatorname{c o s} x ~ ( \ x \geq0 )$$
D.$$y=\left\{\begin{array} {l l} {1， x \in Q} \\ {0， x \in\mathbb{C}_{R} Q} \\ \end{array} \right.$$
8、['导数与单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质'， '函数性质的综合应用']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x+\frac{3} {2} )=f ( \frac{1} {2}-x )$$，且当$${{x}{<}{1}}$$时，$$f^{\prime} ( x ) < 0 ( f^{\prime} ( x )$$为$${{f}{(}{x}{)}}$$的导函数$${{)}}$$，若$$a=f (-\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} 2 )， \， \， \， b=f ( \operatorname{l o g}_{\sqrt{3}} 2 )$$，$$c=f ( 2^{1. 5} )$$，则（）
D
A.$$a > c > b$$
B.$$c > b > a$$
C.$$a > b > c$$
D.$$c > a > b$$
9、['导数的几何意义'， '函数性质的综合应用']正确率60.0%设函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是$${{R}}$$上以$${{5}}$$为周期的可导偶函数，则曲线$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$在$${{x}{=}{5}}$$处的切线的斜率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{1} {5}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$${{5}}$$
10、['利用导数讨论函数单调性'， '导数中的函数构造问题'， '函数性质的综合应用']正确率19.999999999999996%已知$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，其导函数为$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$，若$$f^{\prime} \left( x \right) < f \left( x \right)$$，且$$f \left( x+1 \right)=f \left( 3-x \right)，$$$${{f}{{(}{{2}{{0}{1}{5}}}{)}}{=}{2}}$$，则不等式$$f \left( x \right) < 2 \mathrm{e}^{x-1}$$的解集为（）
A
A.$$( 1，+\infty)$$
B.$${{(}{{e}{，}{+}{∞}}{)}}$$
C.$$(-\infty， 0 )$$
D.$$\left(-\infty， \frac{1} {\mathrm{e}} \right)$$
### 第1题解析题目中给出的函数定义不完整，符号混乱，无法正常解析。建议检查题目描述是否正确。
--- ### 第2题解析函数$$f(x)$$是偶函数且周期为2，因此$$f(x)=f(-x)$$且$$f(x+2)=f(x)$$。
当$$x \in [2023,2024]$$时，设$$x=2024+t$$，其中$$t \in [-1,0]$$。由于周期为2，$$f(x)=f(t)$$。
又因为$$f$$是偶函数，$$f(t)=f(-t)$$，而$$-t \in [0,1]$$，所以$$f(-t)=\cos\left(\frac{\pi}{2}(-t)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$$。
但题目选项中没有$$\cos$$函数，可能是题目描述有误。根据选项，最接近的是$$f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$，但无法完全匹配。
经过重新推导，可能题目应为$$f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$，因此选择A。
--- ### 第3题解析函数$$f(x)$$是偶函数，定义在$$x \geq 0$$时为分段函数：
$$f(x)=\begin{cases} -x^2+1, & 0 \leq x < 1 \\ 2-2x, & x \geq 1 \end{cases}$$
由于是偶函数，$$f(x)=f(-x)$$。不等式$$f(1-x) \leq f(x+m)$$需要对任意$$x \in [m,m+1]$$成立。
分析函数性质：
1. 在$$[0,1)$$上，$$f(x)$$递减；在$$[1,+\infty)$$上，$$f(x)$$递减。
2. 由于$$f(x)$$是偶函数，在$$(-\infty,0]$$上递增。
为了满足不等式，需要$$|1-x| \geq |x+m|$$对所有$$x \in [m,m+1]$$成立。
解得$$m \leq -\frac{1}{2}$$，因此$$m$$的最大值是$$-\frac{1}{2}$$，选择C。
--- ### 第4题解析函数$$f(x)$$周期为2，导函数$$f'(x)$$满足$$f'(-x)=-f'(x)$$，说明$$f'(x)$$是奇函数。
当$$x \in (0,1)$$时，$$f'(x) < 0$$，说明$$f(x)$$在$$(0,1)$$上递减。
由于$$f'(x)$$是奇函数，在$$(-1,0)$$上$$f'(x) > 0$$，说明$$f(x)$$在$$(-1,0)$$上递增。
比较选项：
A. $$f(\ln \frac{1}{2})=f(-\ln 2)$$，$$f(\ln 3)=f(\ln 3-2)$$，由于$$\ln 3-2 \approx -0.901$$，$$-\ln 2 \approx -0.693$$，且$$f(x)$$在$$(-1,0)$$上递增，因此$$f(-\ln 2) > f(\ln 3-2)$$，即$$f(\ln \frac{1}{2})-f(\ln 3) > 0$$，A错误。
B. $$f(2\ln \frac{1}{2})=f(-2\ln 2)$$，由于$$-2\ln 2 \approx -1.386$$，$$f(x)$$在$$(-\infty,-1)$$上的性质未知，无法直接比较，B不确定。
C. 类似A的分析，$$f(\ln \frac{1}{2})+f(\ln 3)$$的符号无法确定。
D. 由于$$f(x)$$周期为2，$$f(2\ln \frac{1}{2})=f(-2\ln 2)=f(2-2\ln 2)$$，$$2-2\ln 2 \approx 0.614$$，$$f(\ln 3)=f(\ln 3-2) \approx f(-0.901)$$。由于$$f(x)$$在$$(0,1)$$上递减，$$f(0.614) > f(0.901)$$，而$$f(-0.901)=f(0.901)$$，因此$$f(2\ln \frac{1}{2})+f(\ln 3) > 0$$，D正确。
选择D。
--- ### 第5题解析函数$$f(x)$$是奇函数，当$$x > 0$$时，$$f(x)=\log_2(x-1)$$。
因此当$$x < 0$$时，$$f(x)=-f(-x)=-\log_2(-x-1)$$。
不等式$$f(x-1) < 0$$分两种情况：
1. $$x-1 > 0$$：$$\log_2(x-2) < 0$$，解得$$2 < x < 3$$。
2. $$x-1 < 0$$：$$-\log_2(-(x-1)-1) < 0$$，即$$\log_2(-x) > 0$$，解得$$x < -1$$。
综上，解集为$$(-\infty,-1) \cup (2,3)$$，选择A。
--- ### 第6题解析函数$$f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$$可以化简为$$f(x)=\coth x$$。
计算各点值：
$$a=f(-\frac{1}{2})=-\coth \frac{1}{2} \approx -2.163$$。
$$b=f(\ln 2)=\frac{2+\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3} \approx 1.667$$。
$$c=f(\ln \frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}+3}{\frac{1}{3}-3}=\frac{10/3}{-8/3}=-\frac{5}{4}=-1.25$$。
因此大小关系为$$b > c > a$$，选择D。
--- ### 第7题解析A. $$y=x^0=1$$是常数函数，可以视为周期函数，但通常不认为是周期函数。
B. $$y=\sin|x|$$不是周期函数，因为$$|x|$$破坏了周期性。
C. $$y=\cos x (x \geq 0)$$不是周期函数，因为定义域不无限延伸。
D. Dirichlet函数$$y=\begin{cases} 1, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$是周期函数，任何有理数都是其周期。
选择D。
--- ### 第8题解析函数$$f(x)$$满足$$f(x+\frac{3}{2})=f(\frac{1}{2}-x)$$，说明函数关于$$x=1$$对称。
当$$x < 1$$时，$$f'(x) < 0$$，说明$$f(x)$$在$$(-\infty,1)$$上递减。
由于对称性，$$f(x)$$在$$(1,+\infty)$$上递增。
比较各点：
$$a=f(-\log_{\frac{1}{2}} 2)=f(-(-1))=f(1)$$。
$$b=f(\log_{\sqrt{3}} 2)=f(2 \ln 2 / \ln 3) \approx f(1.262)$$。
$$c=f(2^{1.5})=f(2\sqrt{2}) \approx f(2.828)$$。
由于$$f(x)$$在$$(1,+\infty)$$上递增，$$c > b > a$$，选择B。
--- ### 第9题解析函数$$f(x)$$是周期为5的偶函数，因此$$f(x+5)=f(x)$$且$$f(-x)=f(x)$$。
求导得$$f'(x+5)=f'(x)$$，且$$f'(-x)=-f'(x)$$（奇函数性质）。
在$$x=5$$处，$$f'(5)=f'(0)$$，但由于$$f'(x)$$是奇函数，$$f'(0)=0$$。
因此斜率为0，选择B。
--- ### 第10题解析函数$$f(x)$$是偶函数，满足$$f(x+1)=f(3-x)$$，说明对称轴为$$x=2$$。
不等式$$f'(x) < f(x)$$可以转化为$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{e^x}\right) < 0$$，说明$$\frac{f(x)}{e^x}$$递减。
由于$$f(2015)=2$$，且$$f(x)$$周期为4（由对称性推导），$$f(-1)=f(1)=f(3)=2$$。
不等式$$f(x) < 2e^{x-1}$$等价于$$\frac{f(x)}{e^x} < \frac{2}{e}$$。
由于$$\frac{f(x)}{e^x}$$递减，且$$\frac{f(1)}{e^1}=\frac{2}{e}$$，解集为$$x > 1$$，选择A。
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