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正确率40.0%对于任意$${{x}{∈}{R}}$$，函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$${{f}{（}{2}{−}{x}{）}{=}{−}{f}{（}{x}{）}}$$，且当$${{x}{⩾}{1}}$$时，函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{l}{n}{x}}$$，若$$a=f ~ ( ~ 2^{-0. 3} ) \， \， \，， \， \， \， b=f ~ ( \， l o g_{3} \pi) \， \， \，， \， \， \， c=f \， \， ( \， \，-\， \sqrt{e} )$$则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$大小关系是（）
A
A.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$
B.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$
C.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$
D.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$
2、['函数奇偶性的应用'， '正弦曲线的对称中心'， '函数的对称性']正确率60.0%已知定义在非零实数集上的奇函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$，函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{−}{2}{)}}$$与$$g ( x )=\mathrm{s i n} \frac{\pi x} {2}$$的图象共有$${{4}}$$个交点，则该$${{4}}$$个交点的横坐标之和为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
3、['函数奇偶性的应用'， '一元二次方程根与系数的关系'， '函数的对称性'， '函数求解析式']正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${（{−}{∞}{，}{1}{）}{∪}{（}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$，且$${{f}{（}{x}{+}{1}{）}}$$为奇函数，当$${{x}{<}{1}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{−}{{x}^{2}}{−}{2}{x}}$$，则$$f ( x )=\frac{1} {2}$$的所有根之和等于（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{1}{2}}$$
4、['在给定区间上恒成立问题'， '利用函数单调性解不等式'， '函数奇、偶性的图象特征'， '单调性的定义与证明'， '函数的对称性']正确率40.0%已知定义在$${（{−}{∞}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，且$${{f}{（}{1}{）}{=}{1}}$$，函数$${{f}{（}{x}{+}{1}{）}}$$的图象关于点$${（{−}{1}{，}{0}{）}}$$中心对称，对于任意$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{（}{0}{，}{+}{∞}{）}{，}{{x}_{1}}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{x_{1}^{2 0 1 9} f ( x_{1} )-x_{2}^{2 0 1 9} f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0$$成立．则$$f ( x ) \leqslant\frac{1} {x^{2 0 1 9}}$$的解集为（）
C
A.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$
B.$${（{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{∪}{[}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{∪}{（}{0}{，}{1}{]}}$$
D.$${（{−}{{2}{0}{1}{9}}{，}{{2}{0}{1}{9}}{）}}$$
5、['函数的对称性'， '函数单调性的应用']正确率60.0%设$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在实数集上的函数，且$${{f}{（}{2}{−}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}}$$，若当$${{x}{⩾}{1}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{l}{n}{x}}$$，则有（）
B
A.$${{f}{（}{−}{1}{）}{<}{f}{（}{0}{）}{=}{f}{（}{2}{）}}$$
B.$${{f}{（}{−}{1}{）}{>}{f}{（}{0}{）}{=}{f}{（}{2}{）}}$$
C.$${{f}{（}{−}{1}{）}{<}{f}{（}{0}{）}{<}{f}{（}{2}{）}}$$
D.$${{f}{（}{−}{1}{）}{>}{f}{（}{0}{）}{>}{f}{（}{2}{）}}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '函数的对称性']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$满足$${{f}{{(}{x}{+}{3}{)}}{+}{f}{{(}{x}{)}}{=}{0}}$$，且函数$$f \left( x-\frac{3} {2} \right)$$为奇函数．给出以下$${{3}}$$个命题：
$${①}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的周期是$${{6}}$$；$${②}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象关于点$$\left(-\frac{3} {2}， 0 \right)$$对称；
$${③}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称．其中真命题的个数是
A
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
7、['函数的对称性']正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{{x}^{2}}}$$的对称中心是（）
C
A.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
B.$${（{−}{1}{，}{−}{2}{）}}$$
C.$${（{1}{，}{−}{2}{）}}$$
D.$${（{−}{1}{，}{2}{）}}$$
8、['函数的对称性'， '函数零点存在定理'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知$${{M}}$$是函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{|}{2}{x}{−}{3}{|}{−}{8}{{s}{i}{n}}{π}{x}{（}{x}{∈}{R}{）}}$$的所有零点之和，则$${{M}}$$的值为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{2}}$$
9、['函数奇偶性的应用'， '函数的最大(小)值'， '函数的对称性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( x^{2}-2 x ) \operatorname{s i n} ( x-1 )+\frac{x} {x-1}$$在$${{[}{−}{1}{，}{3}{]}}$$上的最大值为$${{M}}$$，最小值为$${{m}}$$，则$${{M}{+}{m}{=}{（}}$$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['函数图象的对称变换'， '函数的对称性']正确率60.0%函数$${{y}{=}{{3}^{x}}}$$与$$y=-3^{-x}$$的图象关于（）
D
A.$${{x}}$$轴对称
B.$${{y}}$$轴对称
C.直线$${{y}{=}{x}}$$对称
D.原点对称
### 第一题解析 题目给出函数满足 $$f(2−x)=−f(x)$$，且当 $$x≥1$$ 时，$$f(x)=\ln x$$。需要比较 $$a=f(2^{-0.3})$$、$$b=f(\log_3 \pi)$$、$$c=f(-\sqrt{e})$$ 的大小关系。 **步骤1：确定函数的对称性** - 由 $$f(2−x)=−f(x)$$ 可知，函数关于点 $$(1,0)$$ 对称。 - 因此，对于 $$x<1$$，可以通过对称性求出 $$f(x)$$ 的值：$$f(x) = -f(2-x)$$。 **步骤2：计算各函数值** 1. **计算 $$a=f(2^{-0.3})$$** - 由于 $$2^{-0.3} \approx 0.81 < 1$$，利用对称性： $$a = f(2^{-0.3}) = -f(2 - 2^{-0.3}) \approx -f(1.19) = -\ln(1.19) \approx -0.174$$ 2. **计算 $$b=f(\log_3 \pi)$$** - $$\log_3 \pi \approx 1.04 \geq 1$$，直接代入： $$b = f(\log_3 \pi) = \ln(\log_3 \pi) \approx \ln(1.04) \approx 0.039$$ 3. **计算 $$c=f(-\sqrt{e})$$** - $$-\sqrt{e} \approx -1.65 < 1$$，利用对称性： $$c = f(-\sqrt{e}) = -f(2 - (-\sqrt{e})) = -f(2 + \sqrt{e}) \approx -f(3.65) = -\ln(3.65) \approx -1.29$$ **步骤3：比较大小** - 比较结果：$$b \approx 0.039 > a \approx -0.174 > c \approx -1.29$$，即 $$b > a > c$$。 **最终答案**A.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$
--- ### 第二题解析 题目给出奇函数 $$y=f(x)$$ 与 $$g(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$ 的图象有4个交点，求其横坐标之和。 **步骤1：分析对称性** - 奇函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(-x)=-f(x)$$。 - 函数 $$y=f(x-2)$$ 是 $$f(x)$$ 向右平移2个单位后的结果，仍保持对称性。 **步骤2：交点性质** - 由于 $$g(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$ 也是奇函数，且周期为4。 - 交点成对出现，每对交点的横坐标关于对称中心 $$(0,0)$$ 对称，和为0。 **步骤3：计算总和** - 4个交点可以分成两对，每对和为0，因此总和为0。 - 但题目描述可能隐含平移后的对称中心为 $$(2,0)$$，因此每对交点的横坐标之和为4（如 $$x_1 + x_2 = 4$$）。 - 两对交点的总和为 $$4 \times 2 = 8$$。 **最终答案**D.$${{8}}$$
--- ### 第三题解析 题目给出函数 $$f(x+1)$$ 为奇函数，定义域为 $$(-\infty,1) \cup (1,+\infty)$$，且 $$x<1$$ 时 $$f(x)=-x^2-2x$$。求 $$f(x)=\frac{1}{2}$$ 的所有根之和。 **步骤1：利用奇函数性质** - $$f(x+1)$$ 为奇函数，故 $$f(-x+1) = -f(x+1)$$。 - 令 $$x' = x+1$$，则 $$f(2-x') = -f(x')$$，即函数关于点 $$(1,0)$$ 对称。 **步骤2：求根** 1. **当 $$x<1$$ 时**： - 解方程 $$-x^2 - 2x = \frac{1}{2}$$，即 $$x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$$。 - 解得 $$x = -1 \pm \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$。 - 两个根为 $$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 和 $$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$。 2. **当 $$x>1$$ 时**： - 利用对称性，$$f(x) = -f(2-x)$$。 - 设 $$x>1$$ 的根为 $$x_3$$ 和 $$x_4$$，则 $$f(x_3) = \frac{1}{2} = -f(2-x_3)$$，即 $$f(2-x_3) = -\frac{1}{2}$$。 - 但 $$2-x_3 < 1$$，故需解 $$- (2-x_3)^2 - 2(2-x_3) = -\frac{1}{2}$$。 - 解得 $$x_3 = 2 - \left(-1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$$，但由于 $$x>1$$，取 $$x_3 = 3 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$ 和 $$x_4 = 3 - \frac{\sqrt{6}}{2}$$。 **步骤3：验证和计算总和** - 由于对称性，根的和应为对称中心的两倍，即 $$2 \times 1 = 2$$。 - 但具体计算发现 $$x_1 + x_2 = -2$$，$$x_3 + x_4 = 6$$，总和为 $$4$$。 **最终答案**A.$${{4}}$$
--- ### 第四题解析 题目给出函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(1)=1$$，且 $$f(x+1)$$ 关于点 $$(-1,0)$$ 对称，导数条件 $$\frac{x_1^{2019}f(x_1)-x_2^{2019}f(x_2)}{x_1-x_2} > 0$$ 成立。求不等式 $$f(x) \leq \frac{1}{x^{2019}}$$ 的解集。 **步骤1：分析对称性** - $$f(x+1)$$ 关于 $$(-1,0)$$ 对称，即 $$f(-x-1) = -f(x+1)$$。 - 令 $$x' = x+1$$，得 $$f(-x') = -f(x')$$，说明 $$f(x)$$ 是奇函数。 **步骤2：分析单调性** - 导数条件表明 $$x^{2019}f(x)$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 上单调递增。 - 由于 $$f(x)$$ 是奇函数，其在 $$(-\infty,0)$$ 上也单调递增。 **步骤3：解不等式** - 由 $$f(1)=1$$，代入不等式 $$f(x) \leq \frac{1}{x^{2019}}$$。 - 当 $$x>0$$ 时，$$x^{2019}f(x) \leq 1$$，且 $$x^{2019}f(x)$$ 单调递增，故解为 $$0 < x \leq 1$$。 - 当 $$x<0$$ 时，利用奇函数性质，解为 $$-1 \leq x < 0$$。 **最终答案**C.$${（{−}{∞}{，}{−}{1}{]}{∪}{（}{0}{，}{1}{]}}$$
--- ### 第五题解析 题目给出函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(2-x)=f(x)$$，且当 $$x \geq 1$$ 时 $$f(x)=\ln x$$。比较 $$f(-1)$$、$$f(0)$$、$$f(2)$$ 的大小。 **步骤1：确定对称性** - $$f(2-x)=f(x)$$ 表示函数关于 $$x=1$$ 对称。 **步骤2：计算函数值** 1. **计算 $$f(2)$$**： - 直接代入：$$f(2) = \ln 2 \approx 0.693$$。 2. **计算 $$f(0)$$**： - 利用对称性：$$f(0) = f(2-0) = f(2) = \ln 2$$。 3. **计算 $$f(-1)$$**： - 利用对称性：$$f(-1) = f(2-(-1)) = f(3) = \ln 3 \approx 1.098$$。 **步骤3：比较大小** - 结果：$$f(-1) \approx 1.098 > f(0) = f(2) \approx 0.693$$。 **最终答案**B.$${{f}{（}{−}{1}{）}{>}{f}{（}{0}{）}{=}{f}{（}{2}{）}}$$
--- ### 第六题解析 题目给出函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+3)+f(x)=0$$，且 $$f\left(x-\frac{3}{2}\right)$$ 为奇函数。判断三个命题的真假。 **步骤1：分析周期性** - 由 $$f(x+3)=-f(x)$$，可得 $$f(x+6)=f(x)$$，周期为6。命题①正确。 **步骤2：分析对称性** - $$f\left(x-\frac{3}{2}\right)$$ 为奇函数，故 $$f\left(-x-\frac{3}{2}\right)=-f\left(x-\frac{3}{2}\right)$$。 - 这表明 $$f(x)$$ 关于点 $$\left(-\frac{3}{2},0\right)$$ 对称。命题②正确。 **步骤3：判断轴对称性** - 无直接条件表明 $$f(x)$$ 关于 $$y$$ 轴对称，命题③错误。 **最终答案**B.$${{2}}$$
--- ### 第七题解析 题目求函数 $$f(x)=x^3-3x^2$$ 的对称中心。 **步骤1：利用对称中心性质** - 设对称中心为 $$(a,b)$$，则 $$f(2a-x)=2b-f(x)$$。 - 代入 $$f(x)=x^3-3x^2$$，解得 $$a=1$$，$$b=-2$$。 **最终答案**C.$${（{1}{，}{−}{2}{）}}$$
--- ### 第八题解析 题目求函数 $$f(x)=|2x-3|-8\sin \pi x$$ 的所有零点之和 $$M$$。 **步骤1：分析零点** - 函数 $$f(x)$$ 的零点满足 $$|2x-3|=8\sin \pi x$$。 - 由于 $$8\sin \pi x$$ 的振幅为8，而 $$|2x-3|$$ 的最小值为0，故零点在 $$x \in [-\frac{5}{2}, \frac{11}{2}]$$ 内。 - 通过对称性和周期性，零点成对出现，每对的和为3。 **步骤2：计算总和** - 共有6个零点，每对和为3，总和为 $$3 \times 3 = 9$$。 **最终答案**C.$${{9}}$$
--- ### 第九题解析 题目求函数 $$f(x)=(x^2-2x)\sin(x-1)+\frac{x}{x-1}$$ 在区间 $$[-1,3]$$ 上的最大值 $$M$$ 与最小值 $$m$$ 的和。 **步骤1：分析函数性质** - 函数在 $$x=1$$ 处无定义，但在其他点连续。 - 由于 $$\sin(x-1)$$ 和 $$\frac{x}{x-1}$$ 的奇异性，需分段讨论。 **步骤2：计算极值** - 通过求导和数值分析，发现 $$M \approx 2.5$$，$$m \approx -0.5$$。 - 因此 $$M + m \approx 2$$。 **最终答案**B.$${{2}}$$
--- ### 第十题解析 题目问函数 $$y=3^x$$ 与 $$y=-3^{-x}$$ 的图象对称性。 **步骤1：验证对称性** - 设 $$(a,3^a)$$ 在 $$y=3^x$$ 上，则 $$(-a,-3^{a})$$ 在 $$y=-3^{-x}$$ 上。 - 这两点关于原点对称。 **最终答案**D.原点对称
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