函数单调性的判断-3.2 函数的基本性质知识点专题进阶选择题自测题解析-云南省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['正弦（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%下列函数在区间$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$为增函数的是（）

A.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{-x}$$

B.$$f ~ ( \mathrm{\ensuremath{x}} ) ~=x^{-3}$$

C.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 \operatorname{s i n} x$$

D.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{l o g}_{2} x$$

2、['函数奇偶性的应用'， '数列的函数特征'， '函数单调性的判断'， '等差数列的性质']

正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且当$${{x}{>}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$单调递增，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，且$${{a}_{3}{>}{0}}$$，则$$f ( a_{1} )+f ( a_{2} )+f ( a_{3} )+f ( a_{4} )+f ( a_{5} )$$的值（）

A.恒为正数

B.恒为负数

C.恒为$${{0}}$$

D.可正可负

3、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '函数单调性的判断'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%已知函数$$y=f ( x )$$的定义域为$$( 0，+\infty)$$，当$${{x}{>}{1}}$$时$$f ( x ) > 0$$，对任意的$$x， \， \， y \in( 0，+\infty)， \， \， \， f ( x )+f ( y )=f ( x \cdot y )$$成立，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{)}}$$满足$$a_{1}=f ( 1 )$$，且$$f ( a_{n+1} )=f ( 2 a_{n}+1 )， \， \， \， n \in N^{*}$$，则$$a_{2 0 1 7}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$2^{2 0 1 4}-1$$

B.$$2^{2 0 1 5}-1$$

C.$$2^{2 0 1 6}-1$$

D.$$2^{2 0 1 7}-1$$

4、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%下列函数中，既是偶函数又在$$( 0，+\infty)$$上是减函数的是$${{(}{)}}$$

A.$$y=x-1$$

B.$${{y}{=}{{l}{n}}{{x}^{2}}}$$

C.$$y=\frac{\operatorname{c o s} x} {x}$$

D.$${{y}{=}{−}{{x}^{2}}}$$

5、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率60.0%下列函数中，既是奇函数又在区间$$( 0，+\infty)$$单调递减的是

A.$$y=\operatorname{l g} (-x^{2}+1 )$$

B.$$y=\operatorname{s i n} 2 x$$

C.$$y=\frac{1} {x}$$

D.$$y=( \frac{1} {2} )^{x}$$

6、['函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率60.0%设$$f ( x ) \!=\! \operatorname{l n} \! \left( 2 \!+\! x \right) \!-\! \operatorname{l n} \! \left( 2 \!-\! x \right)$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$是（）

A.奇函数，且在$$(-2， 0 )$$上是减函数

B.奇函数，且在$$(-2， 0 )$$上是增函数

C.有零点，且在$$(-2， 0 )$$上是减函数

D.没有零点，且是奇函数

7、['抽象函数的应用'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {2+x} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {2-x} \\ \end{matrix} \right)$$，且$${{f}{（}{x}{）}}$$在$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$上单调递增，则（）

A.$$f ~ ( \textit{-1} ) ~ < f ~ ( \textit{3} ) ~ < f ~ ( \textit{6} )$$

B.$$f ~ ( \bf3 ) ~ < f ~ ( \psi-1 ) ~ < f ~ ( \psi)$$

C.$$f ~ ( \textbf{6} ) ~ < f ~ ( \textbf{l}-1 ) ~ < f ~ ( \textbf{3} )$$

D.$$f \ ( \textbf{6} ) \ < f \ ( \textbf{3} ) \ < f \ ( \textbf{-1} )$$

8、['复合函数的单调性判定'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%函数$$y=\sqrt{x^{2}+2 x-3}$$的单调减区间为（）

A.$$( \ -\infty， \ \ -3 ]$$

B.$$( \ -\infty， \ \ -1 ]$$

C.$$[ 1， ~+\infty)$$

D.$$[-3， ~-1 ]$$

9、['指数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的判断'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%函数$$f ( x )=2^{x}-\frac{3} {x}-m$$的一个零点在区间$$( 1， 3 )$$内，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$(-1， 7 )$$

B.$$( 0， 5 )$$

C.$$(-7， 1 )$$

D.$$( 1， 5 )$$

10、['函数单调性的判断'， '函数求解析式'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$$( 0，+\infty)$$上的单调函数，$$\forall x \in( 0，+\infty)， f \left[ f ( x )-\operatorname{l n} x \right]=e+1$$，则函数$$g ( x )=f ( x )-f^{\prime} ( x )-e ($$其中$${{e}}$$为自然对数的底数)的零点所在的区间是（）

A.$$( 2， 3 )$$

B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$

C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$

D.$$( 1， 2 )$$

1. 解析：

选项A：$$f(x)=2^{-x}$$是指数函数，底数为$$\frac{1}{2}$$，在$$(0, +\infty)$$上是减函数。

选项B：$$f(x)=x^{-3}$$是幂函数，在$$(0, +\infty)$$上是减函数。

选项C：$$f(x)=2\sin x$$是三角函数，在$$(0, +\infty)$$上周期性变化，不是单调函数。

选项D：$$f(x)=\log_2 x$$是对数函数，底数为2，在$$(0, +\infty)$$上是增函数。

正确答案是D。

2. 解析：

函数$$f(x)$$是奇函数，且当$$x>0$$时单调递增，因此当$$x<0$$时也单调递增。

数列$$\{a_n\}$$是等差数列，且$$a_3>0$$，说明公差$$d \geq 0$$。

若$$d=0$$，则所有$$a_n$$相等且为正，$$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_5)=5f(a_1)>0$$。

若$$d>0$$，则$$a_1 < a_2 < \cdots < a_5$$，且$$a_1$$可能为负。由于$$f(x)$$是奇函数，$$f(a_1)=-f(-a_1)$$，而$$-a_1>0$$且$$f(x)$$在$$x>0$$时递增，因此$$f(a_1)+f(a_5)=f(a_5)-f(-a_1)>0$$（因为$$a_5 > -a_1$$）。同理，$$f(a_2)+f(a_4)>0$$，加上$$f(a_3)>0$$，总和恒为正。

正确答案是A。

3. 解析：

由题意，$$f(x)+f(y)=f(xy)$$，说明$$f(x)$$是对数函数形式，设$$f(x)=\log_a x$$。

由$$a_1=f(1)=\log_a 1=0$$。

递推关系$$f(a_{n+1})=f(2a_n+1)$$，即$$\log_a a_{n+1}=\log_a (2a_n+1)$$，因此$$a_{n+1}=2a_n+1$$。

解递推关系：$$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$$，数列$$\{a_n+1\}$$是等比数列，首项$$a_1+1=1$$，公比为2，因此$$a_n+1=2^{n-1}$$，即$$a_n=2^{n-1}-1$$。

所以$$a_{2017}=2^{2016}-1$$。

正确答案是C。

4. 解析：

选项A：$$y=x-1$$是非奇非偶函数。

选项B：$$y=\ln x^2$$是偶函数，但在$$(0, +\infty)$$上是增函数。

选项C：$$y=\frac{\cos x}{x}$$是奇函数。

选项D：$$y=-x^2$$是偶函数，且在$$(0, +\infty)$$上是减函数。

正确答案是D。

5. 解析：

选项A：$$y=\lg(-x^2+1)$$是偶函数。

选项B：$$y=\sin 2x$$是奇函数，但在$$(0, +\infty)$$上周期性变化，不是单调函数。

选项C：$$y=\frac{1}{x}$$是奇函数，且在$$(0, +\infty)$$上是减函数。

选项D：$$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$是非奇非偶函数。

正确答案是C。

6. 解析：

函数定义域为$$-2 < x < 2$$。

验证奇偶性：$$f(-x)=\ln(2-x)-\ln(2+x)=-f(x)$$，是奇函数。

求导数：$$f'(x)=\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2-x}=\frac{4}{4-x^2}>0$$，因此在$$(-2, 0)$$上是增函数。

正确答案是B。

7. 解析：

由$$f(2+x)=f(2-x)$$，说明函数关于$$x=2$$对称。

$$f(x)$$在$$(2, +\infty)$$上单调递增，因此在$$(-\infty, 2)$$上单调递减。

比较函数值：$$f(-1)=f(5)$$，$$f(3)=f(1)$$，$$f(6)$$直接取值。

由于$$1 < 3 < 5 < 6$$，且$$f(x)$$在$$(2, +\infty)$$上递增，因此$$f(1) > f(3)$$，$$f(5) < f(6)$$。

综合得$$f(6) > f(-1) > f(3)$$。

正确答案是C。

8. 解析：

函数定义域为$$x^2+2x-3 \geq 0$$，即$$x \leq -3$$或$$x \geq 1$$。

函数$$y=\sqrt{x^2+2x-3}$$的单调性与$$x^2+2x-3$$一致。

$$x^2+2x-3$$在$$(-\infty, -3]$$上递减，在$$[1, +\infty)$$上递增。

因此$$y$$的单调减区间为$$(-\infty, -3]$$。

正确答案是A。

9. 解析：

函数$$f(x)=2^x-\frac{3}{x}-m$$在$$(1, 3)$$上连续。

若$$f(x)$$在$$(1, 3)$$上有零点，则$$f(1)f(3) < 0$$。

计算：$$f(1)=2-3-m=-1-m$$，$$f(3)=8-1-m=7-m$$。

因此$$(-1-m)(7-m) < 0$$，解得$$-1 < m < 7$$。

正确答案是A。

10. 解析：

由题意，$$f(x)$$是单调函数，且$$f[f(x)-\ln x]=e+1$$，说明$$f(x)-\ln x$$为常数。

设$$f(x)-\ln x=C$$，则$$f(C)=e+1$$。

又$$f(C)=C+\ln C=e+1$$，解得$$C=e$$（因为$$e+\ln e=e+1$$）。

因此$$f(x)=\ln x+e$$。

$$g(x)=f(x)-f'(x)-e=\ln x+e-\frac{1}{x}-e=\ln x-\frac{1}{x}$$。

计算$$g(1)=-1 < 0$$，$$g(2)=\ln 2-\frac{1}{2} \approx 0.693-0.5 > 0$$，因此零点在$$(1, 2)$$。

正确答案是D。

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