函数性质的综合应用-函数的基本性质知识点回顾进阶单选题自测题解析-广东省等高一数学必修,平均正确率40.0%

1、['利用函数单调性比较大小'， '函数性质的综合应用']

正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$都有$${{f}{(}{x}{+}{4}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{2}{)}{，}}$$若$${{y}{=}{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{−}{1}}$$对称，且对任意的$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{[}{0}{，}{2}{]}{，}}$$当$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$时，都有$${{\frac^{{f}{(}{{x}_{1}}{)}{−}{f}{(}{{x}_{2}}{)}}_{{x}_{2}{−}{{x}_{1}}}}{<}{0}{，}}$$则下列结论正确的是（）

A.$${{\frac{1}_{{f}{(}{−}{3}{)}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{4}{)}}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{{5}{.}{5}}{)}}}}}$$

B.$${{\frac{1}_{{f}{(}{−}{3}{)}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{{5}{.}{5}}{)}}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{4}{)}}}}}$$

C.$${{\frac{1}_{{f}{(}{{5}{.}{5}}{)}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{−}{3}{)}}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{4}{)}}}}}$$

D.$${{\frac{1}_{{f}{(}{4}{)}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{{5}{.}{5}}{)}}}}{<}{{\frac{1}_{{f}{(}{−}{3}{)}}}}}$$

2、['函数求值'， '函数性质的综合应用']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}{，}{y}{=}{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$为偶函数，且$${{f}{(}{x}{+}{4}{)}{=}{f}{(}{−}{x}{)}{，}}$$则（）

A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数

B.$${{f}{(}{3}{)}{=}{0}}$$

C.$${{f}{{(}{{\frac{1}{2}}}{)}}{=}{−}{f}{{(}{{\frac{5}{2}}}{)}}}$$

D.$${{f}{(}{{2}{0}{2}{3}}{)}{=}{0}}$$

3、['抽象函数的应用'， '函数性质的综合应用']

正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，若$${{f}{（}{x}{+}{1}{）}}$$为偶函数，且$${{f}{（}{−}{1}{）}{=}{2}}$$，则$${{f}{（}{{1}{2}}{）}{+}{（}{{1}{3}}{）}}$$的值等于（）

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{2}}$$

4、['分段函数的图象'， '函数性质的综合应用']

正确率40.0%定义在区间$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$内的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足下列两个条件：
$${①}$$对任意的$${{x}{∈}{（}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$，恒有$${{f}{（}{2}{x}{）}{=}{2}{f}{（}{x}{）}}$$成立；
$${②}$$当$${{x}{∈}{（}{1}{，}{2}{]}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{2}{−}{x}}$$．
已知函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的图象与直线$${{m}{x}{−}{y}{−}{m}{=}{0}}$$恰有两个交点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{[}{1}{，}{2}{）}}$$

B.$${（{1}{，}{2}{]}}$$

C.$${{[}{{\frac{4}{3}}}{，}{2}{）}}$$

D.$${（{{\frac{4}{3}}}{，}{2}{]}}$$

5、['函数奇、偶性的证明'， '复合函数的单调性判定'， '函数性质的综合应用']

正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{l}{o}{{g}{{\frac{1}{2}}}}{(}{1}{+}{{x}^{2}}{)}{+}{{\frac{1}_{{1}{+}{{2}{{|}{x}{|}}}}}}}$$，则使得$${{f}{（}{x}{）}{⩽}{f}{（}{2}{x}{−}{1}{）}}$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$

B.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{[}{{\frac{1}{3}}}{，}{1}{]}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{{\frac{1}{3}}}{]}{∪}{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

6、['反函数的性质'， '命题的真假性判断'， '函数性质的综合应用']

正确率40.0%设函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的定义域是$${{R}}$$，对于以下四个命题：
$${（{1}{）}}$$若$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是奇函数，则$${{y}{=}{f}{（}{f}{（}{x}{）}{）}}$$也是奇函数；
$${（{2}{）}}$$若$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是周期函数，则$${{y}{=}{f}{（}{f}{（}{x}{）}{）}}$$也是周期函数；
$${（{3}{）}}$$若$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是单调递减函数，则$${{y}{=}{f}{（}{f}{（}{x}{）}{）}}$$也是单调递减函数；
$${（{4}{）}}$$若函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$存在反函数$${{y}{=}{{f}{{−}{1}}}{（}{x}{）}}$$，且函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{{f}{{−}{1}}}{（}{x}{）}}$$有零点，则函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{x}}$$也有零点．
其中正确的命题共有（）

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

7、['函数零点个数的判定'， '函数性质的综合应用'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数，对任意$${{x}{∈}{R}{，}{f}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{2}{−}{x}{)}}$$恒成立，且当$${{0}{⩽}{x}{⩽}{1}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{−}{2}{{x}^{2}}}$$.设函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{{l}{o}{g}_{3}}{x}}$$，则$${{g}{(}{x}{)}}$$的零点的个数为

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

8、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数的周期性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '对数的运算性质'， '函数性质的综合应用'， '分段函数的图象']

正确率40.0%若函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，对任意$${{x}{∈}{R}}$$，都有$${{f}{（}{x}{−}{1}{）}{=}{f}{（}{x}{+}{1}{）}}$$，且当$${{x}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{{2}^{x}}{−}{1}}$$，若函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{{l}{o}{g}_{a}}{（}{x}{+}{2}{）}}$$$${（{a}{>}{1}{）}}$$在区间$${（{−}{1}{，}{3}{）}}$$恰有$${{3}}$$个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${（{1}{，}{3}{）}}$$

B.$${（{3}{，}{5}{）}}$$

C.$${（{3}{，}{5}{]}}$$

D.$${（{1}{，}{5}{]}}$$

9、['函数图象的识别'， '函数性质的综合应用']

正确率40.0%函数$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{2}{x}{l}{n}{|}{x}{|}}$$的图象可能是（）

A.False

B.False

C.False

D.False

10、['利用导数解决实际应用问题'， '常见函数的零点'， '函数性质的综合应用']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\{}{{^{{x}^{2}{−}{4}{x}{，}{x}{⩽}{0}}_{{x}{{l}{n}}{x}{，}{x}{>}{0}}}}}{，}{g}{(}{x}{)}{=}{k}{x}{−}{1}}$$，若函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{g}{(}{x}{)}}$$有且仅有$${{4}}$$个不同的零点$${{.}}$$则实数$${{k}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{6}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

D.$${{(}{2}{{，}{+}{∞}}{)}}$$

1. 解析：

首先，由$$y=f(x+1)$$关于$$x=-1$$对称，可得$$f(x)$$关于$$x=0$$对称，即$$f(x)$$为偶函数。由$$f(x+4)=f(x)-f(2)$$，令$$x=-2$$得$$f(2)=f(-2)-f(2)$$，又$$f(-2)=f(2)$$，故$$f(2)=0$$。因此$$f(x+4)=f(x)$$，即$$f(x)$$周期为4。

由题意，$$f(x)$$在$$[0,2]$$上单调递减，结合周期性和对称性，$$f(x)$$在$$[2,4]$$上单调递增。计算得$$f(-3)=f(1)$$，$$f(4)=f(0)$$，$$f(5.5)=f(1.5)$$。由于$$f(0)>f(1)>f(1.5)$$，故$$\frac{1}{f(-3)}<\frac{1}{f(5.5)}<\frac{1}{f(4)}$$，选B。

2. 解析：

由$$y=f(x+1)$$为偶函数，得$$f(x+1)=f(-x+1)$$，即$$f(x)$$关于$$x=1$$对称。又$$f(x+4)=f(-x)$$，结合对称性得$$f(x+4)=f(x)$$，即$$f(x)$$周期为4。

由对称性和周期性，$$f(3)=f(-1)=f(1)$$，$$f(2023)=f(3)=f(1)$$。又$$f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{7}{2}\right)=-f\left(\frac{5}{2}\right)$$，故选项C正确。其他选项需进一步验证，最终答案为C。

3. 解析：

由$$f(x)$$为奇函数且$$f(x+1)$$为偶函数，得$$f(x+1)=f(-x+1)$$，结合奇函数性质得$$f(x+2)=-f(x)$$。又$$f(-1)=2$$，则$$f(1)=-2$$，$$f(3)=2$$，$$f(5)=-2$$，依此类推。

计算$$f(12)+f(13)=f(0)+f(1)=0+(-2)=-2$$，选D。

4. 解析：

由条件①，$$f(x)$$在$$(1,+\infty)$$上满足$$f(2x)=2f(x)$$。由条件②，$$f(x)=2-x$$在$$(1,2]$$上定义。通过递推可得$$f(x)$$在其他区间的表达式。

直线$$mx-y-m=0$$即$$y=m(x-1)$$，与$$f(x)$$图象的交点需满足$$f(x)=m(x-1)$$。通过分析斜率$$m$$的范围，可得$$m\in\left(\frac{4}{3},2\right]$$，选D。

5. 解析：

函数$$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(1+x^2)+\frac{1}{1+2|x|}$$为偶函数，且在$$[0,+\infty)$$上单调递减。不等式$$f(x)\leq f(2x-1)$$等价于$$|x|\geq |2x-1|$$。

解不等式得$$x\in\left(-\infty,\frac{1}{3}\right]\cup[1,+\infty)$$，选D。

6. 解析：

（1）若$$f(x)$$为奇函数，则$$f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x))$$，故$$f(f(x))$$也是奇函数，正确。

（2）若$$f(x)$$为周期函数，设周期为$$T$$，则$$f(f(x+T))=f(f(x))$$，故$$f(f(x))$$也是周期函数，正确。

（3）若$$f(x)$$单调递减，则$$f(f(x))$$的单调性需进一步分析，不一定单调递减，错误。

（4）若$$f(x)-f^{-1}(x)$$有零点，即存在$$x_0$$使$$f(x_0)=f^{-1}(x_0)$$，则$$f(x_0)=x_0$$，故$$f(x)-x$$有零点，正确。

综上，正确命题有3个，选C。

7. 解析：

由$$f(x)$$为偶函数且$$f(x)=f(2-x)$$，得$$f(x)$$周期为2。当$$0\leq x\leq1$$时，$$f(x)=2-2x^2$$。

函数$$g(x)=f(x)-\log_3x$$的零点即$$f(x)=\log_3x$$的交点。通过图象分析，$$g(x)$$在$$(0,1]$$和$$[1,+\infty)$$上共有6个零点，选A。

8. 解析：

由$$f(x-1)=f(x+1)$$得$$f(x)$$周期为2。当$$x\in[0,1]$$时，$$f(x)=2^x-1$$，结合周期性和偶函数性质可得$$f(x)$$在其他区间的表达式。

函数$$g(x)=f(x)-\log_a(x+2)$$在$$(-1,3)$$有3个零点，需满足$$f(x)$$与$$\log_a(x+2)$$的图象有3个交点。通过分析得$$a\in(3,5)$$，选B。

9. 解析：

函数$$y=\cos2x\ln|x|$$为偶函数，图象关于$$y$$轴对称。当$$x\to0$$时，$$\ln|x|\to-\infty$$，$$\cos2x\to1$$，故$$y\to-\infty$$。当$$x=\frac{\pi}{4}$$时，$$y=0$$。结合这些特性，正确的图象为D。

10. 解析：

函数$$y=f(x)-g(x)$$的零点即$$f(x)=kx-1$$的交点。$$f(x)$$在$$x\leq0$$时为$$x^2-4x$$，在$$x>0$$时为$$x\lnx$$。

通过分析$$f(x)$$与直线$$y=kx-1$$的交点，可得$$k\in(1,2)$$时恰有4个交点，选C。

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