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正确率60.0%若$$f ( x )=\frac{a} {\mathrm{e}^{x}+1}-1$$为奇函数，则$$g ( x )=\operatorname{l n} [ ( x-1 ) ( x-a ) ]$$的单调递增区间是（）
D
A.$$( 0， \ 1 )$$
B.$$( 1， ~+\infty)$$
C.$$\left( \frac{3} {2}， ~+\infty\right)$$
D.$$( 2， ~+\infty)$$
3、['二次函数模型的应用'， '函数的最大(小)值'， '等比中项'， '函数的单调区间']正确率19.999999999999996%设$$a， \， \， b \in R$$，关于$${{x}}$$的方程$$( \ x^{2}-a x+1 ) \ \ ( \ x^{2}-b x+1 ) \ =0$$的四个实根构成以$${{q}}$$为公比的等比数列，若$$q \in[ \frac{1} {3}， \ 2 ]$$，则$${{a}{b}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ \frac{1} {9}， ~ 4 ]$$
B.$$[ 4， ~ \frac{1 1 2} {9} ]$$
C.$$[ 4， ~ 6 ]$$
D.$$( \frac{5} {2}， ~ 4 ]$$
4、['函数的单调区间'， '余弦（型）函数的单调性']正确率60.0%函数$$y=2 \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( x \in[ 0， \pi] )$$的单调递减区间是$${{(}{)}}$$
B
A.$$[ 0， \frac{\pi} {2} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {1 2}， \frac{7 \pi} {1 2} ]$$
C.$$[ \frac{7 \pi} {1 2}， \pi]$$
D.$$[ 0， \frac{\pi} {1 2} ]$$
5、['复合函数的单调性判定'， '一元二次不等式的解法'， '函数的单调区间'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%函数$$y=\sqrt{-x^{2}+2 x}$$的单调增区间是（）
A
A.$$[ 0， 1 ]$$
B.$$(-\infty， 1 ]$$
C.$$[ 1，+\infty)$$
D.$$[ 1， 2 ]$$
6、['函数的单调区间'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%函数$$f ( x )=a x^{2}-x+a+1$$在$$(-\infty， \ 2 )$$上单调递减，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[ 0， 4 ]$$
B.$$[ 2， ~+\infty)$$
C.$$[ 0， ~ \frac{1} {4} ]$$
D.$$( 0， ~ \frac{1} {4} ]$$
7、['函数的基本性质'， '函数的奇偶性'， '函数的单调区间']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=3^{x}-3^{-x}$$，则$${{(}{)}}$$
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$为奇函数，且在$$( 0，+\infty)$$是增函数
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数，且在$$( 0，+\infty)$$是增函数
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$为奇函数，且在$$( 0，+\infty)$$是减函数
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数，且在$$( 0，+\infty)$$是减函数
8、['函数单调性的判断'， '函数的单调区间']正确率60.0%下列函数在区间$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上为减函数的是（）
D
A.$$y=-| x-1 |$$
B.$$y=x^{2}-2 x+4$$
C.$$y=l n ~ ( \emph{} x+2 )$$
D.$$y=~ ( \frac{1} {2} ) ~^{x}$$
10、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']正确率60.0%下列函数中，既是偶函数又在$$( 0，+\infty)$$内单调递减的函数是$${{(}{)}}$$．
C
A.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$
B.$$y=| x |+1$$
C.$$y=-\operatorname{l g} \vert x \vert$$
D.$$y=2^{| x |}$$
1. 首先确定函数 $$f(x)$$ 为奇函数的条件。奇函数满足 $$f(-x) = -f(x)$$，代入得： $$f(-x) = \frac{a}{e^{-x} + 1} - 1 = \frac{a e^x}{1 + e^x} - 1$$ 而 $$-f(x) = -\left( \frac{a}{e^x + 1} - 1 \right) = -\frac{a}{e^x + 1} + 1$$ 令两者相等： $$\frac{a e^x}{1 + e^x} - 1 = -\frac{a}{e^x + 1} + 1$$ 整理得： $$\frac{a e^x + a}{e^x + 1} = 2 \Rightarrow a = 2$$ 因此，$$g(x) = \ln[(x-1)(x-2)]$$，定义域为 $$x < 1$$ 或 $$x > 2$$。求导数： $$g'(x) = \frac{2x - 3}{(x-1)(x-2)}$$ 当 $$x > 2$$ 时，$$g'(x) > 0$$，故单调递增区间为 $$(2, +\infty)$$，选 D。
3. 设四个实根为 $$x_1, x_2, x_3, x_4$$，构成等比数列，公比为 $$q$$。假设排列为 $$x_1, x_1 q, x_1 q^2, x_1 q^3$$。由韦达定理： $$x_1 x_4 = x_1^2 q^3 = 1 \Rightarrow x_1 = q^{-3/2}$$ $$x_2 x_3 = x_1^2 q^3 = 1$$（与上式一致） 对于方程 $$x^2 - a x + 1 = 0$$，两根为 $$x_1, x_4$$，故： $$a = x_1 + x_4 = q^{-3/2} + q^{3/2}$$ 对于方程 $$x^2 - b x + 1 = 0$$，两根为 $$x_2, x_3$$，故： $$b = x_2 + x_3 = q^{-1/2} + q^{1/2}$$ 因此： $$ab = (q^{-3/2} + q^{3/2})(q^{-1/2} + q^{1/2}) = q^{-2} + q^{-1} + q + q^2$$ 设 $$t = q + q^{-1}$$，则 $$t \in [2, \frac{10}{3}]$$（因为 $$q \in [\frac{1}{3}, 2]$$），且： $$ab = t^2 + t - 2$$ 当 $$t = 2$$ 时，$$ab = 4$$；当 $$t = \frac{10}{3}$$ 时，$$ab = \frac{112}{9}$$。故 $$ab \in [4, \frac{112}{9}]$$，选 B。
4. 函数 $$y = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$$ 的单调递减区间对应于 $$\cos \theta$$ 的递减区间，其中 $$\theta = \frac{\pi}{6} - 2x$$。$$\cos \theta$$ 递减当 $$\theta \in [2k\pi, \pi + 2k\pi]$$。解： $$2k\pi \leq \frac{\pi}{6} - 2x \leq \pi + 2k\pi$$ 取 $$k = 0$$： $$0 \leq \frac{\pi}{6} - 2x \leq \pi \Rightarrow -\frac{\pi}{6} \leq -2x \leq \frac{5\pi}{6}$$ 即： $$-\frac{5\pi}{12} \leq x \leq \frac{\pi}{12}$$ 结合定义域 $$x \in [0, \pi]$$，递减区间为 $$[\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}]$$，选 B。
5. 函数 $$y = \sqrt{-x^2 + 2x}$$ 的定义域为 $$-x^2 + 2x \geq 0 \Rightarrow x \in [0, 2]$$。令 $$u = -x^2 + 2x$$，则 $$y = \sqrt{u}$$ 随 $$u$$ 增大而增大。$$u$$ 的顶点在 $$x = 1$$，开口向下，故 $$u$$ 在 $$[0, 1]$$ 上递增，$$y$$ 也随之递增。选 A。
6. 函数 $$f(x) = a x^2 - x + a + 1$$ 在 $$(-\infty, 2)$$ 上单调递减，需满足： - 若 $$a > 0$$，抛物线开口向上，对称轴 $$x = \frac{1}{2a} \geq 2 \Rightarrow a \leq \frac{1}{4}$$； - 若 $$a = 0$$，$$f(x) = -x + 1$$ 单调递减，符合条件。 综上，$$a \in [0, \frac{1}{4}]$$，选 C。
7. 函数 $$f(x) = 3^x - 3^{-x}$$ 满足 $$f(-x) = -f(x)$$，为奇函数。其导数 $$f'(x) = \ln 3 (3^x + 3^{-x}) > 0$$，故在 $$(0, +\infty)$$ 上为增函数。选 A。
8. 在区间 $$(0, +\infty)$$ 上： - A：$$y = -|x - 1|$$ 在 $$x > 1$$ 时为 $$y = -(x - 1)$$，单调递减； - B：$$y = x^2 - 2x + 4$$ 在 $$x > 1$$ 时单调递增； - C：$$y = \ln(x + 2)$$ 单调递增； - D：$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$ 单调递减。 但 A 在 $$0 < x < 1$$ 时为 $$y = x - 1$$，单调递增，不满足整体递减。只有 D 在整个区间递减，选 D。
10. 偶函数且在 $$(0, +\infty)$$ 内单调递减： - A：$$y = x^2$$ 单调递增； - B：$$y = |x| + 1$$ 单调递增； - C：$$y = -\lg |x|$$ 单调递减； - D：$$y = 2^{|x|}$$ 单调递增。 选 C。
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