函数单调性的判断-3.2 函数的基本性质知识点回顾进阶选择题自测题答案-湖南省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中，在区间$$( 0， 1 )$$上为减函数的是$${{(}{)}}$$

A.$$y=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {3}} ( 1-x )$$

B.$$y=2^{2 x-x^{2}}$$

C.$$y=\left( \frac{1} {3} \right)^{1-x}$$

D.$$y=\frac{1} {3} ( 1-x^{2} )$$

2、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '函数单调性的判断'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%已知函数$$y=f ( x )$$的定义域为$$( 0，+\infty)$$，当$${{x}{>}{1}}$$时$$f ( x ) > 0$$，对任意的$$x， \， \， y \in( 0，+\infty)， \， \， \， f ( x )+f ( y )=f ( x \cdot y )$$成立，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{)}}$$满足$$a_{1}=f ( 1 )$$，且$$f ( a_{n+1} )=f ( 2 a_{n}+1 )， \， \， \， n \in N^{*}$$，则$$a_{2 0 1 7}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$2^{2 0 1 4}-1$$

B.$$2^{2 0 1 5}-1$$

C.$$2^{2 0 1 6}-1$$

D.$$2^{2 0 1 7}-1$$

3、['函数奇偶性的应用'， '绝对值不等式的解法'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} \， ( 1+x^{2} )+\frac{1} {1+2^{| x |}}$$，则使得$$f ( x ) \leqslant f ( 2 x-2 )$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 1 ]$$

B.$$[ 1，+\infty)$$

C.$$[ \frac{2} {3}， 2 ]$$

D.$$(-\infty， \frac{1} {3} ] \cup[ 1，+\infty)$$

4、['抽象函数的应用'， '函数的周期性'， '函数单调性的判断'， '命题的真假性判断']

正确率40.0%设$$f \left( \textbf{x} \right) \， \ g \left( \textbf{x} \right) \， \ h \left( \textbf{x} \right)$$是定义域为$${{R}}$$的三个函数，对于命题：$${①}$$若$$f \ ( \textbf{x} ) \ +g \ ( \textbf{x} ) \， \ f \ ( \textbf{x} ) \ +h \ ( \textbf{x} ) \， \ g \ ( \textbf{x} ) \ +h \ ( \textbf{x} )$$均是增函数，则$$f \left( \textbf{x} \right) \， \ g \left( \textbf{x} \right) \， \ h \left( \textbf{x} \right)$$均是增函数；$${②}$$若$$f \ ( \textbf{x} ) \ +g \ ( \textbf{x} ) \， \ f \ ( \textbf{x} ) \ +h \ ( \textbf{x} ) \， \ g \ ( \textbf{x} ) \ +h \ ( \textbf{x} )$$均是以$${{T}}$$为周期的函数，则$$f \left( \textbf{x} \right) \， \ g \left( \textbf{x} \right) \， \ h \left( \textbf{x} \right)$$均是以$${{T}}$$为周期的函数，下列判断正确的是（）

A.$${①}$$和$${②}$$均为真命题

B.$${①}$$和$${②}$$均为假命题

C.$${①}$$为真命题，$${②}$$为假命题

D.$${①}$$为假命题，$${②}$$为真命题

5、['函数的最大(小)值'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=4-x^{2}+a \operatorname{l n} x$$满足$${{∀}{x}{>}{0}}$$，有$$f ( x ) \leq3$$成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{\{}{2}{\}}}$$

B.$$\left( \frac{3} {2}， 2 \right]$$

C.$$[ 2， 3 )$$

D.$$( 1， 2 ]$$

6、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中是偶函数，且在区间$$( 0，+\infty)$$上为单调增函数的是$${{(}{)}}$$

A.$$y=l n x^{2}$$

B.$$y=e^{x}-e^{-x}$$

C.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

D.$$y=x^{3}+x$$

7、['导数与单调性'， '函数图象的识别'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$图象上的任意两点$$P_{1} \left( x_{1}， f ( x_{1} ) \right)， \ P_{2} \left( x_{2}， f ( x_{2} ) \right)$$满足$$\frac{f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right)} {x_{1}-x_{2}} > 0，$$则以下图象中，不可能是$$f^{\prime} ( x )$$图象的是（）

A.svg异常

B.svg异常

C.svg异常

D.svg异常

8、['函数奇偶性的应用'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$满足$$f \left( \sqrt{x^{2}+1}-x \right)=| x |$$，则下列函数中为增函数的是（）

A.$$y=f \left( \frac{1} {x^{2}} \right)$$

B.$$y=f \left( \left| x-\frac{1} {x} \right| \right)$$

C.$$y=f \left( \frac{1} {2^{x}+1} \right)$$

D.$$y=f \left( \operatorname{l g} \vert x \vert+1 \right)$$

9、['函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数在$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$上为增函数的是（）

A.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$

B.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

C.$$y=| x |$$

D.$$y=\textsubscript{( \frac{1} {3} )}^{x}$$

10、['函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%下列幂函数中，既是奇函数，又在区间$${{(}{−}{∞}}$$，$${{0}{)}}$$上单调递减的是（）

A.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$

B.$$y=x^{\frac{1} {3}}$$

C.$$y=x^{\frac{2} {3}}$$

D.$$y=x^{-\frac{1} {3}}$$

1. 解析：

对于选项A，$$y=\log_{\frac{1}{3}}(1-x)$$，由于底数为$$\frac{1}{3}<1$$，且$$1-x$$在$$(0,1)$$上递减，故复合函数$$y$$在$$(0,1)$$上递增，不符合要求。

对于选项B，$$y=2^{2x-x^2}$$，指数部分$$2x-x^2$$在$$(0,1)$$上先增后减，整体函数不单调，不符合要求。

对于选项C，$$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}$$，底数为$$\frac{1}{3}<1$$，且指数$$1-x$$在$$(0,1)$$上递减，故复合函数$$y$$在$$(0,1)$$上递增，不符合要求。

对于选项D，$$y=\frac{1}{3}(1-x^2)$$，二次函数$$1-x^2$$在$$(0,1)$$上递减，乘以正系数后仍递减，符合要求。因此正确答案是D。

2. 解析：

由题意，函数$$f(x)$$满足$$f(x)+f(y)=f(xy)$$，这是对数函数的性质，猜测$$f(x)=\log_a x$$。由$$f(a_{n+1})=f(2a_n+1)$$，可得$$a_{n+1}=2a_n+1$$。解递推关系： $$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$$，故$$a_n+1=2^n(a_1+1)$$。由$$a_1=f(1)=0$$（因为$$f(1)+f(1)=f(1)$$，得$$f(1)=0$$），所以$$a_n=2^n-1$$。因此$$a_{2017}=2^{2017}-1$$，正确答案是D。

3. 解析：

函数$$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(1+x^2)+\frac{1}{1+2^{|x|}}$$。注意到$$f(x)$$是偶函数，且在$$x\geq0$$时，$$1+x^2$$递增，$$\log_{\frac{1}{2}}$$递减，故$$f(x)$$在$$x\geq0$$上递减。不等式$$f(x)\leq f(2x-2)$$等价于$$|x|\geq |2x-2|$$。解得$$x\leq1$$或$$x\geq\frac{2}{3}$$，因此正确答案是D。

4. 解析：

命题①：反例：设$$f(x)=x$$，$$g(x)=-x$$，$$h(x)=x$$，则$$f+g=0$$，$$f+h=2x$$，$$g+h=0$$均为增函数，但$$g(x)$$不是增函数，故①为假。

命题②：若$$f+g$$、$$f+h$$、$$g+h$$均为周期$$T$$的函数，则$$f+g+f+h-g-h=2f$$也是周期$$T$$的函数，故$$f$$是周期$$T$$的函数，同理$$g$$和$$h$$也是。因此②为真。正确答案是D。

5. 解析：

函数$$f(x)=4-x^2+a\ln x\leq3$$对所有$$x>0$$成立。求导得$$f'(x)=-2x+\frac{a}{x}$$，令$$f'(x)=0$$，得$$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$$。在$$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$$处取得最大值，代入不等式： $$4-\frac{a}{2}+a\ln\sqrt{\frac{a}{2}}\leq3$$，化简得$$a\ln\sqrt{\frac{a}{2}}\leq\frac{a}{2}-1$$。解得$$a=2$$时成立，且$$a\in(1,2]$$时满足。因此正确答案是D。

6. 解析：

选项A：$$y=\ln x^2$$是偶函数，但在$$(0,+\infty)$$上单调递增，符合要求。

选项B：$$y=e^x-e^{-x}$$是奇函数，不符合。

选项C：$$y=\cos x$$是偶函数，但在$$(0,+\infty)$$上不单调，不符合。

选项D：$$y=x^3+x$$是奇函数，不符合。因此正确答案是A。

7. 解析：

由题意，$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$$说明$$f(x)$$单调递增，故$$f'(x)\geq0$$。选项中不可能的是$$f'(x)$$为负的函数图像，因此正确答案是D（假设D为递减图像）。

8. 解析：

设$$u=\sqrt{x^2+1}-x$$，则$$x=\frac{1-u^2}{2u}$$，$$f(u)=\left|\frac{1-u^2}{2u}\right|$$。分析$$f(u)$$的单调性：

对于选项C，$$y=f\left(\frac{1}{2^x+1}\right)$$，令$$t=\frac{1}{2^x+1}$$，$$t$$随$$x$$增大而减小，而$$f(t)$$在$$t\in(0,1)$$上递减，故$$y$$随$$x$$增大而递增，是增函数。因此正确答案是C。

9. 解析：

选项A：$$y=x^3$$在$$(-\infty,0)$$上递增，符合要求。

选项B：$$y=x^2$$在$$(-\infty,0)$$上递减，不符合。

选项C：$$y=|x|$$在$$(-\infty,0)$$上递减，不符合。

选项D：$$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$在$$(-\infty,0)$$上递减，不符合。因此正确答案是A。

10. 解析：

选项A：$$y=x^{\frac{1}{2}}$$不是奇函数，不符合。

选项B：$$y=x^{\frac{1}{3}}$$是奇函数，在$$(-\infty,0)$$上递增，不符合。

选项C：$$y=x^{\frac{2}{3}}$$是偶函数，不符合。

选项D：$$y=x^{-\frac{1}{3}}$$是奇函数，在$$(-\infty,0)$$上递减，符合要求。因此正确答案是D。

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