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正确率60.0%若$$\forall x_{1}， ~ x_{2} \in(-1， ~ 2 )，$$且$$x_{1} \neq x_{2}，$$则以下式子可以说明函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$(-1， ~ 2 )$$上单调递减的是（）
B
A.$$[ f ( x_{1} )-f ( x_{2} ) ] ( x_{1}-x_{2} ) > 0$$
B.$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0$$
C.$$f ( x_{1} )-f ( x_{2} ) < 0$$
D.$$f ( x_{1} ) > f ( x_{2} )$$
2、['抽象函数的应用'， '单调性的定义与证明'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']正确率60.0%定义在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，满足$$f \left( \begin{matrix} {m n} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) ~+f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right) ~ ~ ( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} ) ~ n > 0 )$$，且当$${{x}{>}{1}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > 0$$．
$$\oplus f \left( {\bf1} \right) \ =0$$；
$$\odot f ~ ( \frac{m} {n} ) ~=f ~ ( \textit{m} ) ~-f ~ ( \textit{n} )$$；
$${③}$$若$$f \ ( \ 2 ) \ =1$$，不等式$$f \left( \begin{matrix} {x+2} \\ \end{matrix} \right)-f \left( \begin{matrix} {2 x} \\ \end{matrix} \right) > 2$$的解集为$$( \ 0， \ \ \frac{2} {7} )$$；
$$\textcircled{4} \textit{f} ( \textbf{x} )$$在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递减；
$$\odot f ( \frac{m+n} {2} ) \ge\frac{f ( m )+f ( n )} {2}$$．
以上说法正确的个数是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['单调性的定义与证明'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若函数$$f ( x )=-x^{2}+2 a x$$在区间$$[ 1， 2 ]$$上都是减函数，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-1，+\infty)$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$(-\infty， 0 ]$$
D.$$(-\infty， 1 ]$$
4、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '单调性的定义与证明'， '对数（型）函数的单调性'， '分段函数的单调性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {l o g_{a} x， 0 < x < 1} \\ {( 4 a-1 ) x+2 a， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$满足对任意$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 0， ~ \frac{1} {6} )$$
B.$$( 0， ~ ~ \frac{1} {6} ]$$
C.$$( 0， ~ \frac{1} {4} )$$
D.$$( 1， ~+\infty)$$
5、['单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断']正确率60.0%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$$[ 0， \ \ +\infty)$$上的函数，根据下列条件，可以断定$${{f}{（}{x}{）}}$$是增函数的是（）
D
A.对任意$${{x}{>}{0}}$$，都有$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > f \left( \begin{matrix} {0} \\ \end{matrix} \right)$$
B.对任意$${{x}{⩾}{0}}$$，都有$$f \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right) > f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$
C.对任意$$x_{1}， ~ x_{2} \in[ 0， ~+\infty)$$，且$${{x}_{1}{⩾}{{x}_{2}}}$$，都有$$f \left( \begin{array} {c} {x_{1}} \\ \end{array} \right) \ge f \left( \begin{array} {c} {x_{2}} \\ \end{array} \right)$$
D.对任意$$x_{1}， ~ x_{2} \in[ 0， ~+\infty)$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0$$
7、['指数（型）函数的单调性'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=| 2^{x}-\frac{a} {2^{x}} |$$，其在区间$$[ 0， 1 ]$$上单调递增，则$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 0， 1 ]$$
B.$$[-1， 0 ]$$
C.$$[-1， 1 ]$$
D.$$[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} ]$$
9、['平均变化率与函数的单调性'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断']正确率60.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$对任意两个不相等的实数$${{a}{，}{b}{，}}$$总有$$\frac{f ( a )-f ( b )} {a-b} > 0$$成立，则必有 （）
A
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上是增函数
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上是减函数
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上先增加后减少
D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上先减少后增加
10、['单调性的定义与证明']正确率80.0%函数$$y=x^{2}-6 x+1 0$$在区间$${{(}{2}}$$，$${{4}{)}}$$上（）
C
A.单调递减
B.单调递增
C.先减后增
D.先增后减
1. 题目要求判断哪个式子可以说明函数 $$f(x)$$ 在区间 $$(-1, 2)$$ 上单调递减。单调递减的定义是：对于任意 $$x_1 < x_2$$，有 $$f(x_1) > f(x_2)$$。
A 选项：$$[f(x_1) - f(x_2)](x_1 - x_2) > 0$$，表示 $$f(x_1) - f(x_2)$$ 和 $$x_1 - x_2$$ 同号，即 $$x_1 < x_2$$ 时 $$f(x_1) < f(x_2)$$，说明函数单调递增，不符合题意。
B 选项：$$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0$$，表示差商为负，即 $$x_1 < x_2$$ 时 $$f(x_1) > f(x_2)$$，符合单调递减的定义。
C 选项：$$f(x_1) - f(x_2) < 0$$，仅表示 $$f(x_1) < f(x_2)$$，无法确定单调性。
D 选项：$$f(x_1) > f(x_2)$$，未明确 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 的大小关系，无法确定单调性。
因此，正确答案是 B。
2. 题目给出函数 $$f(x)$$ 的定义和性质，要求判断哪些说法是正确的。
$$\oplus$$：令 $$m = n = 1$$，则 $$f(1) = f(1) + f(1)$$，解得 $$f(1) = 0$$，正确。
$$\odot$$：令 $$m = \frac{m}{n} \cdot n$$，由性质 $$f(m) = f\left(\frac{m}{n}\right) + f(n)$$，整理得 $$f\left(\frac{m}{n}\right) = f(m) - f(n)$$，正确。
$$③$$：由 $$f(2) = 1$$，且 $$f(x)$$ 满足 $$f(mn) = f(m) + f(n)$$，可知 $$f(x)$$ 是对数函数。不等式 $$f(x+2) - f(2x) > 2$$ 化为 $$\log\left(\frac{x+2}{2x}\right) > 2$$，解得 $$0 < x < \frac{2}{7}$$，正确。
$$\textcircled{4}$$：当 $$x > 1$$ 时 $$f(x) > 0$$，结合对数函数的性质，$$f(x)$$ 是单调递增的，而非递减，错误。
$$\odot$$：由对数函数的性质，$$f\left(\frac{m+n}{2}\right) \ge \frac{f(m) + f(n)}{2}$$ 表示 $$f(x)$$ 是凹函数，但对数函数是凹函数，正确。
综上，正确的说法有 4 个，但选项只到 D（4），因此正确答案是 D。
3. 函数 $$f(x) = -x^2 + 2a x$$ 在区间 $$[1, 2]$$ 上单调递减，求 $$a$$ 的取值范围。
函数 $$f(x)$$ 是开口向下的抛物线，对称轴为 $$x = a$$。在 $$[1, 2]$$ 上单调递减，需满足对称轴 $$a \le 1$$。
因此，$$a$$ 的取值范围是 $$(-\infty, 1]$$，正确答案是 D。
4. 分段函数 $$f(x)$$ 满足对任意 $$x_1 \neq x_2$$，差商 $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0$$，即函数单调递减。
对于 $$0 < x < 1$$，$$f(x) = \log_a x$$ 单调递减需 $$0 < a < 1$$。
对于 $$x \ge 1$$，$$f(x) = (4a - 1)x + 2a$$ 单调递减需 $$4a - 1 < 0$$，即 $$a < \frac{1}{4}$$。
在 $$x = 1$$ 处，需满足 $$\log_a 1 \ge (4a - 1) \cdot 1 + 2a$$，即 $$0 \ge 6a - 1$$，解得 $$a \le \frac{1}{6}$$。
综上，$$a$$ 的取值范围是 $$(0, \frac{1}{6}]$$，正确答案是 B。
5. 判断哪个条件可以断定 $$f(x)$$ 是增函数。
A：仅说明 $$f(x) > f(0)$$，无法断定单调性。
B：仅说明 $$f(x+1) > f(x)$$，无法断定任意两点之间的单调性。
C：说明 $$f(x)$$ 是单调不减的，但不一定是严格增函数。
D：差商 $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} > 0$$ 说明 $$f(x)$$ 是严格增函数，符合题意。
因此，正确答案是 D。
7. 函数 $$f(x) = |2^x - \frac{a}{2^x}|$$ 在 $$[0, 1]$$ 上单调递增，求 $$a$$ 的取值范围。
设 $$t = 2^x$$，则 $$t \in [1, 2]$$，函数化为 $$f(t) = |t - \frac{a}{t}|$$。
要求 $$f(t)$$ 在 $$[1, 2]$$ 上单调递增，需满足：
1. 当 $$a \le 0$$ 时，$$f(t) = t - \frac{a}{t}$$ 单调递增。
2. 当 $$a > 0$$ 时，需 $$f(t)$$ 在 $$[1, 2]$$ 上不出现极小值，即 $$a \le 1$$。
综合得 $$a \in [0, 1]$$，正确答案是 A。
9. 函数 $$f(x)$$ 对任意 $$a \neq b$$，有 $$\frac{f(a) - f(b)}{a - b} > 0$$，说明差商为正，即 $$f(x)$$ 是严格增函数。
因此，正确答案是 A。
10. 函数 $$y = x^2 - 6x + 10$$ 是开口向上的抛物线，对称轴为 $$x = 3$$。
在区间 $$(2, 4)$$ 上，函数在 $$(2, 3)$$ 单调递减，在 $$(3, 4)$$ 单调递增。
因此，正确答案是 C（先减后增）。