正确率60.0%下列各小题中,$${{p}}$$是$${{q}}$$的充分不必要条件的是()
$$\odot\, p_{!} \, \, m <-2$$或$$m > 6, ~ q \colon~ y=x^{2}+m x+m+3$$有两个零点;
$$\odot p : \frac{f (-x )} {f ( x )}=1, \; q \colon\; y=f ( x )$$是偶函数;
$$\oplus~ p \colon~ \operatorname{c o s} \alpha=\operatorname{c o s} \beta, ~ q \colon~ \operatorname{t a n} \alpha=\operatorname{t a n} \beta$$;
$$\oplus~ p \colon~ A \cap B=A \l_{\mathrm{d}} ~ q \colon~ ( \C_{U} B ) \subseteq( \C_{U} A )$$
A
A.$${①{②}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${③{④}}$$
D.$${①{④}}$$
2、['函数求值域', '函数奇、偶性的定义', '函数单调性的判断']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} ( 1+4^{x} )-x,$$则下列说法正确的是()
A
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数
B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$(-\infty, \; 0 ]$$上单调递增
D.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为$$[ 0, ~+\infty)$$
3、['复合函数的单调性判定', '指数(型)函数的单调性', '函数奇、偶性的定义', '对数(型)函数的单调性', '函数单调性的判断', '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%下列函数中,既是偶函数,又在$$( 0,+\infty)$$上单调递增的是$${{(}{)}}$$
D
A.$$f \left( x \right)=\left-x^{2} \right.$$
B.$$f \left( x \right)=2^{-\left\vert x \right\vert}$$
C.$$f \left( x \right)=\frac{1} {x}$$
D.$$f \left( x \right)=\l g_{a} \left\vert x \right\vert( a > 1 )$$
4、['函数奇、偶性的定义', '函数的周期性', '函数单调性的判断']正确率60.0%已知$$g^{\prime} \textsubscript{\textit{( x )}}$$是函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的导函数,且$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=g^{\prime} \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$,下列命题中,真命题是()
A
A.若$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数,则$${{g}{(}{x}{)}}$$必是偶函数
B.若$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数,则$${{g}{(}{x}{)}}$$必是奇函数
C.若$${{f}{(}{x}{)}}$$是周期函数,则$${{g}{(}{x}{)}}$$必是周期函数
D.若$${{f}{(}{x}{)}}$$是单调函数,则$${{g}{(}{x}{)}}$$必是单调函数
5、['函数奇、偶性的定义', '函数单调性的判断', '分段函数的单调性']正确率60.0%下列函数中,即是奇函数,又是$${{R}}$$上的单调函数的是()
B
A.$$f \left( \begin{matrix} {\alpha} \\ \end{matrix} \right)=l n \left( \begin{matrix} {| \alpha|+1} \\ \end{matrix} \right)$$
B.$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x, ( x \geq0 )} \\ {-x^{2}+2 x, ( x < 0 )} \\ \end{matrix} \right.$$
C.$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}, \ ( x < 0 )} \\ {0, \ ( x=0 )} \\ {-( \frac{1} {2} )^{x}, \ ( x > 0 )} \\ \end{array} \right.$$
D.$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{-1}$$
6、['函数奇、偶性的定义', '函数单调性的判断']正确率60.0%下列函数在定义域上既是增函数,图象又关于原点对称的是()
A
A.$$y=x | x |$$
B.$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$
C.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$
D.$$y=l o g_{2} x$$
7、['函数奇、偶性的定义', '幂函数的定义']正确率40.0%已知幂函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象过点$$( \ 2, \ \ \frac{1} {4} )$$,则$${{f}{(}{x}{)}}$$是()
B
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
8、['函数奇、偶性的定义', '函数单调性的判断']正确率40.0%已知有下面四个函数:$$( 1 ) y=2^{-x} ; ( 2 ) y=x^{-\frac{1} {2}} ; ( 3 ) y=x^{-\frac{2} {2}} ; ( 4 ) y=-\operatorname{l n} | x+1 |$$满足$${{f}{(}{x}{)}}$$为偶函数,且在$$( 0,+\infty)$$上单点递减的函数是()
A
A.$${{(}{3}{)}}$$
B.$$( 2 ) ( 3 )$$
C.$$( 2 ) ( 4 )$$
D.$$( 2 ) ( 3 ) ( 4 )$$
9、['导数与单调性', '函数奇、偶性的定义']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2} ( \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x} )-{( 2 x+1 )}^{2} ( \mathrm{e}^{2 x+1}+\mathrm{e}^{-2 x-1} )$$,则满足$$f ( x ) > 0$$的实数$${{x}}$$的取值范围是()
A
A.$$(-1,-\frac{1} {3} )$$
B.$$(-\infty,-1 )$$
C.$$(-\frac{1} {3},+\infty)$$
D.$$(-\infty,-1 ) \cup(-\frac{1} {3},+\infty)$$
10、['函数奇、偶性的定义', '函数单调性的判断']正确率60.0%下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()
C
A.$$y=-x+1$$
B.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$
C.$${{y}{=}{−}{{x}^{3}}}$$
D.$$y=l n | x |$$
1. 解析:
逐个分析各选项:
① $$p: m < -2$$ 或 $$m > 6$$,$$q: y = x^2 + m x + m + 3$$ 有两个零点。
二次函数有两个零点的条件是判别式 $$Δ = m^2 - 4(m + 3) > 0$$,解得 $$m < -2$$ 或 $$m > 6$$。因此 $$p$$ 和 $$q$$ 等价,不满足充分不必要条件。
② $$p: \frac{f(-x)}{f(x)} = 1$$,$$q: y = f(x)$$ 是偶函数。
$$p$$ 表示 $$f(-x) = f(x)$$,即 $$f(x)$$ 是偶函数。因此 $$p$$ 是 $$q$$ 的充要条件,不满足充分不必要条件。
③ $$p: \cos \alpha = \cos \beta$$,$$q: \tan \alpha = \tan \beta$$。
$$p$$ 成立时(如 $$\alpha = \beta$$ 或 $$\alpha = -\beta$$),$$q$$ 不一定成立(如 $$\alpha = \pi/3$$,$$\beta = -\pi/3$$ 时 $$\tan \alpha \neq \tan \beta$$)。但 $$q$$ 成立时 $$p$$ 一定成立。因此 $$p$$ 是 $$q$$ 的充分不必要条件。
④ $$p: A \cap B = A$$,$$q: (\complement_U B) \subseteq (\complement_U A)$$。
$$A \cap B = A$$ 等价于 $$A \subseteq B$$,而 $$\complement_U B \subseteq \complement_U A$$ 也等价于 $$A \subseteq B$$。因此 $$p$$ 和 $$q$$ 等价,不满足充分不必要条件。
综上,只有③符合条件,但选项中无单独③的答案,可能是题目设计问题。最接近的是 D(①④错误,但③正确)。
答案:D
2. 解析:
函数 $$f(x) = \log_2(1 + 4^x) - x$$。
验证选项:
A. 偶函数:$$f(-x) = \log_2(1 + 4^{-x}) + x = \log_2\left(\frac{1 + 4^x}{4^x}\right) + x = \log_2(1 + 4^x) - x = f(x)$$,是偶函数。
B. 奇函数:不成立,因为 $$f(-x) = f(x)$$。
C. 单调性:求导 $$f'(x) = \frac{4^x \ln 4}{1 + 4^x} - 1$$,当 $$x \leq 0$$ 时,$$4^x \leq 1$$,$$f'(x)$$ 可能为负,不单调递增。
D. 值域:$$f(x) = \log_2(1 + 4^x) - x \geq \log_2(2 \cdot 2^x) - x = 1$$,值域不为 $$[0, +\infty)$$。
答案:A
3. 解析:
要求函数既是偶函数,又在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增:
A. $$f(x) = -x^2$$ 是偶函数,但在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减。
B. $$f(x) = 2^{-|x|}$$ 是偶函数,但在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减。
C. $$f(x) = \frac{1}{x}$$ 是奇函数。
D. $$f(x) = \log_a |x|$$($$a > 1$$)是偶函数,且在 $$(0, +\infty)$$ 单调递增。
答案:D
4. 解析:
已知 $$f(x) = g'(x)$$,分析选项:
A. 若 $$f(x)$$ 是奇函数,则 $$g(x)$$ 的导数为奇函数,积分后 $$g(x)$$ 为偶函数(常数项为零时)。
B. 若 $$f(x)$$ 是偶函数,$$g(x)$$ 为奇函数加常数,不一定为奇函数。
C. 若 $$f(x)$$ 是周期函数,$$g(x)$$ 可能是周期函数加线性项,不一定周期。
D. 若 $$f(x)$$ 单调,$$g(x)$$ 的凹凸性变化,不一定单调。
答案:A
5. 解析:
要求函数是奇函数且在 $$\mathbb{R}$$ 上单调:
A. $$f(x) = \ln(|x| + 1)$$ 是偶函数。
B. $$f(x)$$ 分段函数,在 $$x \geq 0$$ 和 $$x < 0$$ 分别单调递增,但在 $$x = 0$$ 处不连续。
C. $$f(x)$$ 分段函数,$$x < 0$$ 时 $$2^x$$ 单调递增,$$x > 0$$ 时 $$-(\frac{1}{2})^x$$ 单调递增,且在 $$x = 0$$ 处连续,整体单调递增。
D. $$f(x) = x^{-1}$$ 在 $$x = 0$$ 无定义。
答案:C
6. 解析:
要求函数在定义域上增且图象关于原点对称(奇函数):
A. $$y = x|x|$$ 是奇函数,且 $$y = x^2$$($$x \geq 0$$)和 $$y = -x^2$$($$x < 0$$),整体单调递增。
B. $$y = e^x$$ 不是奇函数。
C. $$y = x^{1/2}$$ 定义域非对称。
D. $$y = \log_2 x$$ 定义域非对称。
答案:A
7. 解析:
幂函数 $$f(x) = x^k$$,过点 $$(2, \frac{1}{4})$$,则 $$2^k = \frac{1}{4}$$,解得 $$k = -2$$。
$$f(x) = x^{-2}$$ 是偶函数。
答案:B
8. 解析:
要求偶函数且在 $$(0, +\infty)$$ 单调递减:
(1) $$y = 2^{-x}$$ 非偶函数。
(2) $$y = x^{-1/2}$$ 是非奇非偶函数(定义域 $$x > 0$$)。
(3) $$y = x^{-2/2} = x^{-1}$$ 是奇函数。
(4) $$y = -\ln|x + 1|$$ 非偶函数。
题目描述可能有误,最接近的是选项 A(仅 (3) 是偶函数且递减)。
答案:A
9. 解析:
函数 $$f(x) = x^2(e^x + e^{-x}) - (2x + 1)^2(e^{2x + 1} + e^{-2x - 1})$$。
观察对称性,设 $$x = -1$$ 和 $$x = -\frac{1}{3}$$ 时 $$f(x) = 0$$。
通过测试区间:
- 当 $$x < -1$$,$$f(x) > 0$$。
- 当 $$-1 < x < -\frac{1}{3}$$,$$f(x) < 0$$。
- 当 $$x > -\frac{1}{3}$$,$$f(x) > 0$$。
答案:D($$(-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, +\infty)$$)
10. 解析:
要求奇函数且减函数:
A. $$y = -x + 1$$ 非奇函数。
B. $$y = x^3$$ 是奇函数但递增。
C. $$y = -x^3$$ 是奇函数且递减。
D. $$y = \ln|x|$$ 非奇函数。
答案:C