函数奇、偶性的证明-函数的基本性质知识点课后进阶选择题自测题答案-吉林省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中，既是偶函数，又是$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上的减函数的是（）

A.$${{y}{=}{{\frac{1}{x}}}}$$

B.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$

C.$${{y}{=}{l}{n}{|}{x}{|}}$$

D.$${{y}{=}{−}{{x}^{2}}{+}{1}}$$

2、['函数奇、偶性的证明'， '利用函数单调性解不等式'， '在给定区间上恒成立问题'， '函数奇、偶性的图象特征'， '利用导数讨论函数单调性']

正确率40.0%设$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，且$${{f}{{(}{1}{)}}{=}{0}}$$，当$${{x}{>}{0}}$$时，有$${{f}{{(}{x}{)}}{>}{x}{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$恒成立，则不等式$${{x}{f}{{(}{x}{)}}{>}{0}}$$的解集为（）

A.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}{∪}{(}{0}{，}{1}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}{∪}{(}{0}{，}{1}{)}}$$

C.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}{∪}{(}{0}{，}{1}{)}}$$

3、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为（）

A.$${{y}{=}{−}{{\frac{1}{x}}}}$$

B.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

C.$${{y}{=}{x}{+}{{\frac{1}{x}}}}$$

D.$${{y}{=}{−}{x}{|}{x}{|}}$$

4、['函数奇、偶性的证明'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中既是奇函数，又在区间$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$上单调递增的是（）

A.$${{y}{=}{−}{{x}^{2}}}$$

B.$${{y}{=}{x}{+}{{\frac{1}{x}}}}$$

C.$${{y}{=}{{l}{g}}{（}{{2}^{x}}{）}}$$

D.$${{y}{=}{{e}{{|}{x}{|}}}}$$

5、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中是偶函数，且在区间$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上为单调增函数的是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{l}{n}{{x}^{2}}}$$

B.$${{y}{=}{{e}^{x}}{−}{{e}{{−}{x}}}}$$

C.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

D.$${{y}{=}{{x}^{3}}{+}{x}}$$

6、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数的最大(小)值'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数的对称性'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{{x}^{2}}{−}{2}{a}{x}{+}{b}{|}}$$$${{x}{∈}{R}}$$，则（）

A.$${{f}{(}{x}{)}}$$必是偶函数

B.当$${{f}{(}{0}{)}{=}{f}{(}{2}{)}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$对称

C.$${{f}{(}{x}{)}}$$有最大值$${^{_{∣}_{∣}}{{a}^{2}}{−}{b}^{_{∣}_{∣}}}$$

D.若$${{a}^{2}{−}{b}{⩽}{0}}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{[}{a}{，}{+}{∞}{)}}$$上是增函数

7、['函数奇、偶性的证明'， '利用函数奇偶性求值']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac^{{s}{i}{n}{x}{+}{2}{{c}{o}{s}}{x}{+}{2}{{x}^{2}}{+}{x}}_{{c}{o}{s}{x}{+}{{x}^{2}}}}}}$$，若$${{f}{(}{m}{)}{=}{3}}$$，则$${{f}{(}{−}{m}{)}{=}}$$

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

8、['函数奇、偶性的证明']

正确率60.0%下列函数在定义域内为奇函数的是（）

A.$${{y}{=}{x}{+}{{\frac{1}{x}}}}$$

B.$${{y}{=}{x}{{s}{i}{n}}{x}}$$

C.$${{y}{=}{|}{x}{|}}$$

D.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

9、['函数奇、偶性的证明'， '函数的新定义问题']

正确率60.0%定义运算：$${{a}{⊕}{b}{=}{\sqrt {{a}^{2}{−}{{b}^{2}}}}{，}{a}{⊗}{b}{=}{\sqrt {{(}{a}{−}{b}{)}^{2}}}}$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac^{{2}{⊕}{x}}_{{(}{x}{⊗}{2}{)}{−}{2}}}}}$$为$${{(}{)}}$$

A.奇函数

B.偶函数

C.奇函数且为偶函数

D.非奇函数且非偶函数

10、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的图象特征']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac^{\sqrt {{3}{−}{{x}^{2}}}}{x}}}}$$的图象关于$${{(}{)}}$$

A.$${{x}}$$轴对称

B.原点对称

C.$${{y}}$$轴对称

D.直线$${{y}{=}{x}}$$对称

1. 解析：

偶函数需满足 $$f(-x) = f(x)$$，且在 $$(0, +\infty)$$ 上为减函数。

A. $$y = \frac{1}{x}$$ 是奇函数，不符合。

B. $$y = 2^x$$ 非偶函数，不符合。

C. $$y = \ln|x|$$ 是偶函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上是增函数，不符合。

D. $$y = -x^2 + 1$$ 是偶函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上是减函数，符合。

答案：D

2. 解析：

由 $$f(x)$$ 为奇函数且 $$f(1) = 0$$，得 $$f(-1) = 0$$。

当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) > x f'(x)$$ 可变形为 $$\frac{f'(x)}{f(x)} < \frac{1}{x}$$，积分得 $$\ln f(x) < \ln x + C$$，即 $$f(x) < kx$$。

结合 $$f(1) = 0$$，知 $$f(x)$$ 在 $$(0,1)$$ 上为正，在 $$(1, +\infty)$$ 上为负。

由奇函数性质，$$f(x)$$ 在 $$(-1,0)$$ 上为负，在 $$(-\infty,-1)$$ 上为正。

不等式 $$x f(x) > 0$$ 的解集为 $$(-1,0) \cup (0,1)$$。

答案：D

3. 解析：

奇函数需满足 $$f(-x) = -f(x)$$，且单调函数需严格单调。

A. $$y = -\frac{1}{x}$$ 是奇函数，但在定义域内不单调（$$x > 0$$ 和 $$x < 0$$ 分别单调增）。

B. $$y = x^2$$ 是偶函数，不符合。

C. $$y = x + \frac{1}{x}$$ 是奇函数，且在 $$x \neq 0$$ 时单调增，符合。

D. $$y = -x|x|$$ 是奇函数且单调减，不符合。

答案：C

4. 解析：

奇函数需满足 $$f(-x) = -f(x)$$，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调增。

A. $$y = -x^2$$ 是偶函数，不符合。

B. $$y = x + \frac{1}{x}$$ 是奇函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调增，符合。

C. $$y = \lg(2^x) = x \lg 2$$ 是奇函数且单调增，但题目描述为 $$(0, +\infty)$$，需验证。

D. $$y = e^{|x|}$$ 是偶函数，不符合。

答案：B

5. 解析：

偶函数需满足 $$f(-x) = f(x)$$，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调增。

A. $$y = \ln x^2$$ 是偶函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上单调增，符合。

B. $$y = e^x - e^{-x}$$ 是奇函数，不符合。

C. $$y = \cos x$$ 是偶函数，但不单调，不符合。

D. $$y = x^3 + x$$ 是奇函数，不符合。

答案：A

6. 解析：

A. $$f(x)$$ 不一定是偶函数，除非 $$a = 0$$。

B. 当 $$f(0) = f(2)$$ 时，对称轴为 $$x = 1$$，正确。

C. $$f(x)$$ 的最大值为 $$|a^2 - b|$$，但不一定是 $$a^2 - b$$。

D. 若 $$a^2 - b \leq 0$$，则 $$f(x) = x^2 - 2a x + b$$ 在 $$[a, +\infty)$$ 上单调增，正确。

答案：B、D

7. 解析：

设 $$f(x) = \frac{\sin x + 2 \cos x + 2x^2 + x}{\cos x + x^2}$$。

观察到 $$f(x) - 2 = \frac{\sin x + x}{\cos x + x^2}$$，记 $$g(x) = \frac{\sin x + x}{\cos x + x^2}$$。

$$g(-x) = \frac{-\sin x - x}{\cos x + x^2} = -g(x)$$，故 $$g(x)$$ 为奇函数。

由 $$f(m) = 3$$ 得 $$g(m) = 1$$，则 $$g(-m) = -1$$，故 $$f(-m) = 2 + g(-m) = 1$$。

答案：C

8. 解析：

奇函数需满足 $$f(-x) = -f(x)$$。

A. $$y = x + \frac{1}{x}$$ 满足 $$f(-x) = -f(x)$$，是奇函数。

B. $$y = x \sin x$$ 满足 $$f(-x) = -f(x)$$，是奇函数。

C. $$y = |x|$$ 是偶函数，不符合。

D. $$y = \cos x$$ 是偶函数，不符合。

答案：A、B

9. 解析：

定义 $$a \oplus b = \sqrt{a^2 - b^2}$$，$$a \otimes b = \sqrt{(a - b)^2}$$。

函数 $$f(x) = \frac{2 \oplus x}{(x \otimes 2) - 2} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{|x - 2| - 2}$$。

验证 $$f(-x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{|-x - 2| - 2} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{|x + 2| - 2} \neq -f(x)$$，非奇非偶。

答案：D

10. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{\sqrt{3 - x^2}}{x}$$ 定义域为 $$x \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$$ 且 $$x \neq 0$$。

验证 $$f(-x) = \frac{\sqrt{3 - x^2}}{-x} = -f(x)$$，故关于原点对称。

答案：B

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