函数的奇偶性-函数的基本性质知识点月考基础单选题自测题答案-江西省等高一数学必修,平均正确率100.0%

首先分析题目条件：已知函数 $$f(x) = \frac{1}{x}$$，求其在点 $$x = 2$$ 处的导数。

步骤1：写出导数的定义式

根据导数的定义，函数 $$f(x)$$ 在点 $$x = a$$ 处的导数为：

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

步骤2：代入函数和具体点

将 $$f(x) = \frac{1}{x}$$ 和 $$a = 2$$ 代入定义式：

$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}}{h}$$

步骤3：化简分子部分

合并分子中的分式：

$$\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2} = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}$$

步骤4：整理极限表达式

将化简后的分子代入导数定义式：

$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{2(2 + h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2(2 + h)}$$

步骤5：求极限值

当 $$h \to 0$$ 时，$$2 + h \to 2$$，因此：

$$f'(2) = \frac{-1}{2 \times 2} = -\frac{1}{4}$$

最终答案

函数 $$f(x) = \frac{1}{x}$$ 在 $$x = 2$$ 处的导数为 $$-\frac{1}{4}$$。