函数单调性的判断-3.2 函数的基本性质知识点课后进阶单选题自测题答案-山西省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '绝对值的概念与几何意义'， '常见函数的零点'， '对数的运算性质'， '函数单调性的判断'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是方程$$\mathrm{e}^{-x}+2=\left| \operatorname{l n} x \right|$$的两个解，则（）

A.$$0 < x_{1} x_{2} < \frac1 \mathrm{e}$$

B.$$\frac{1} {\mathrm{e}} < x_{1} x_{2} < 1$$

C.$$1 < x_{1} x_{2} < \mathrm{e}$$

D.$$x_{1} x_{2} > \mathrm{e}$$

2、['在给定区间上恒成立问题'， '函数的最大(小)值'， '函数单调性的判断']

正确率19.999999999999996%若对$$\forall x_{1} \in( 0， 2 ]， \exists x_{2} \in[ 1， 2 ]，$$使$$4 x_{1} \operatorname{l n} x_{1}-{x_{1}}^{2}+3+$$$$4 x_{1} x_{2}^{\， 2}+8 a x_{1} x_{2}-1 6 x_{1}$$$${{⩾}{0}}$$成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-\frac{1} {8}，+\infty)$$

B.$$( \frac{2 5-8 \mathrm{l n} 2} {1 6}，+\infty)$$

C.$$[-\frac{1} {8}， \frac{5} {4} ]$$

D.$$[-\infty， \frac{5} {4} ]$$

3、['函数单调性的判断'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=-x^{2} \!+\! 2 ( a \!-\! 1 ) x \!+\! 2$$的递增区间是$$(-\infty， 4 )$$，则实数$${{a}}$$的值是（）

A.$${{a}{=}{5}}$$

B.$${{a}{=}{3}}$$

C.$${{a}{{=}{−}}{3}}$$

D.$${{a}{{=}{−}}{5}}$$

4、['函数奇偶性的应用'， '一元二次不等式的解法'， '利用函数奇偶性求值'， '函数单调性的判断'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%幂函数$$y=x^{a^{2}-2 a-3}$$是偶函数，且在$$( 0，+\infty)$$是减函数，则整数$${{a}}$$的值是（）

A.$${{0}}$$或$${{1}}$$

B.$${{1}}$$或$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

5、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '函数的单调区间']

正确率60.0%下列函数中既是偶函数，又在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递减的为（）

A.$$y=x^{-\frac{1} {2}}$$

B.$$y=x^{-2}$$

C.$$y=x^{\frac{1} {2}}$$

D.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

6、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是$${{(}{)}}$$

A.$$f ( x )=x^{3}$$

B.$$f ( x )=x+1$$

C.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} | x |$$

D.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x$$

7、['单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$$[ 0， \ \ +\infty)$$上的函数，根据下列条件，可以断定$${{f}{（}{x}{）}}$$是增函数的是（）

A.对任意$${{x}{>}{0}}$$，都有$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > f \left( \begin{matrix} {0} \\ \end{matrix} \right)$$

B.对任意$${{x}{⩾}{0}}$$，都有$$f \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right) > f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$

C.对任意$$x_{1}， ~ x_{2} \in[ 0， ~+\infty)$$，且$${{x}_{1}{⩾}{{x}_{2}}}$$，都有$$f \left( \begin{array} {c} {x_{1}} \\ \end{array} \right) \ge f \left( \begin{array} {c} {x_{2}} \\ \end{array} \right)$$

D.对任意$$x_{1}， ~ x_{2} \in[ 0， ~+\infty)$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0$$

8、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中，既是奇函数又在区间$$( 0， 1 )$$上递减的函数是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{{t}{a}{n}}{x}}$$

B.$$y=x^{-3}$$

C.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

D.$$y=( \frac{1} {3} )^{| x |}$$

9、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '导数的四则运算法则'， '函数单调性的判断'， '函数中的恒成立问题']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{e^{x}} {x}-2 a x， \， \， \， x \in( 0，+\infty)$$，当$${{x}_{2}{>}{{x}_{1}}}$$时，不等式$$\frac{f \left( x_{1} \right)} {x_{2}}-\frac{f \left( x_{2} \right)} {x_{1}} < 0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$(-\infty， e ]$$

B.$$(-\infty， \frac{e} {2} ]$$

C.$$\left(-\infty， \; \frac{e} {2} \right)$$

D.$$(-\infty， \frac{e} {4} ]$$

10、['对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是偶函数，且对任意$$x_{1} > 0， x_{2} > 0$$且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right)} {x_{1}-x_{2}} > 0$$.设$$a=f \left( \frac{3} {2} \right)$$，$${{b}{=}{f}{{(}{{l}{o}{g}_{3}}{7}{)}}}$$，$$c=f \left(-0. 8^{3} \right)$$，则（）

A.$$b < a < c$$

B.$$c < a < b$$

C.$$c < b < a$$

D.$$a < c < b$$

1. 解析：

设方程 $$e^{-x} + 2 = |\ln x|$$ 的两个解为 $$x_1$$ 和 $$x_2$$。首先分析函数 $$y = e^{-x} + 2$$ 和 $$y = |\ln x|$$ 的图像交点：

- 当 $$x \in (0, 1)$$ 时，$$|\ln x| = -\ln x$$，函数单调递减，值域为 $$(0, +\infty)$$。

- 当 $$x \in [1, +\infty)$$ 时，$$|\ln x| = \ln x$$，函数单调递增，值域为 $$[0, +\infty)$$。

而 $$y = e^{-x} + 2$$ 单调递减，值域为 $$(2, 3]$$。因此，方程在 $$(0, 1)$$ 和 $$(1, +\infty)$$ 各有一个解。

设 $$x_1 \in (0, 1)$$，$$x_2 \in (1, +\infty)$$，则 $$x_1 x_2 < x_2$$。由于 $$e^{-x_2} + 2 = \ln x_2$$，当 $$x_2 = e$$ 时，$$e^{-e} + 2 \approx 2 < 1 = \ln e$$ 不成立；当 $$x_2 = 1$$ 时，$$e^{-1} + 2 \approx 2.37 > 0 = \ln 1$$。因此 $$x_2 \in (1, e)$$，且 $$x_1 < \frac{1}{e}$$（因为 $$e^{-x_1} + 2 = -\ln x_1 > 2$$，故 $$x_1 < e^{-2} < \frac{1}{e}$$）。综上，$$x_1 x_2 < \frac{1}{e} \cdot e = 1$$，且 $$x_1 x_2 > 0$$。故选 A。

2. 解析：

将不等式整理为 $$4x_1 \ln x_1 - x_1^2 + 3 + 4x_1 x_2^2 + 8a x_1 x_2 - 16x_1 \geq 0$$，即 $$4x_1 (\ln x_1 + x_2^2 + 2a x_2 - 4) - x_1^2 + 3 \geq 0$$。由于 $$x_1 \in (0, 2]$$，$$x_2 \in [1, 2]$$，需对 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 进行讨论。

设 $$g(x_2) = \ln x_1 + x_2^2 + 2a x_2 - 4$$，需存在 $$x_2 \in [1, 2]$$ 使得 $$g(x_2) \geq \frac{x_1^2 - 3}{4x_1}$$。对 $$x_1 \in (0, 2]$$，$$\frac{x_1^2 - 3}{4x_1}$$ 的最小值为 $$-\frac{1}{8}$$（当 $$x_1 = 1$$ 时）。因此，$$g(x_2) \geq -\frac{1}{8}$$ 对某些 $$x_2$$ 成立。

由于 $$g(x_2)$$ 是开口向上的抛物线，最小值为 $$g(-a)$$（若 $$-a \in [1, 2]$$）。若 $$-a \leq 1$$，则 $$g(1) = \ln x_1 + 1 + 2a - 4 \geq -\frac{1}{8}$$；若 $$-a \geq 2$$，则 $$g(2) = \ln x_1 + 4 + 4a - 4 \geq -\frac{1}{8}$$。综合可得 $$a \geq -\frac{1}{8}$$。故选 A。

3. 解析：

函数 $$f(x) = -x^2 + 2(a-1)x + 2$$ 是开口向下的抛物线，其对称轴为 $$x = a - 1$$。题目要求递增区间为 $$(-\infty, 4)$$，因此对称轴必须满足 $$a - 1 = 4$$，即 $$a = 5$$。故选 A。

4. 解析：

幂函数 $$y = x^{a^2 - 2a - 3}$$ 是偶函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上递减，需满足：

1. 指数 $$a^2 - 2a - 3$$ 为偶数（因为偶函数要求定义域对称且 $$f(-x) = f(x)$$）；

2. 指数为负数（递减性）。

解 $$a^2 - 2a - 3 < 0$$ 得 $$a \in (-1, 3)$$，整数解为 $$a = 0, 1, 2$$。验证：

- $$a = 0$$：指数为 $$-3$$（奇数），不满足偶函数；

- $$a = 1$$：指数为 $$-4$$（偶数），满足；

- $$a = 2$$：指数为 $$-3$$（奇数），不满足。故选 C。

5. 解析：

选项分析：

A. $$y = x^{-\frac{1}{2}}$$ 是非奇非偶函数；

B. $$y = x^{-2}$$ 是偶函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上递减；

C. $$y = x^{\frac{1}{2}}$$ 是非奇非偶函数；

D. $$y = x^2$$ 是偶函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上递增。故选 B。

6. 解析：

选项分析：

A. $$f(x) = x^3$$ 是奇函数且增函数；

B. $$f(x) = x + 1$$ 不是奇函数；

C. $$f(x) = \log_2 |x|$$ 是偶函数；

D. $$f(x) = \log_2 x$$ 定义域不对称，非奇非偶。故选 A。

7. 解析：

增函数的定义为：对任意 $$x_1, x_2 \in [0, +\infty)$$，若 $$x_1 > x_2$$，则 $$f(x_1) > f(x_2)$$。选项 D 表示差商为正，符合定义。故选 D。

8. 解析：

选项分析：

A. $$y = \tan x$$ 在 $$(0, 1)$$ 上递增；

B. $$y = x^{-3}$$ 是奇函数且在 $$(0, 1)$$ 上递减；

C. $$y = \cos x$$ 是偶函数；

D. $$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}$$ 是偶函数。故选 B。

9. 解析：

不等式 $$\frac{f(x_1)}{x_2} - \frac{f(x_2)}{x_1} < 0$$ 可整理为 $$\frac{x_1 f(x_1) - x_2 f(x_2)}{x_1 x_2} < 0$$。由于 $$x_2 > x_1 > 0$$，需 $$x_1 f(x_1) > x_2 f(x_2)$$，即 $$x f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上递减。

设 $$g(x) = x f(x) = e^x - 2a x^2$$，则 $$g'(x) = e^x - 4a x \leq 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。当 $$x \to 0^+$$，$$g'(x) \to 1$$，故需 $$a \geq \frac{e^x}{4x}$$ 的最小值。由导数法，$$\frac{e^x}{4x}$$ 在 $$x = 1$$ 处取最小值 $$\frac{e}{4}$$。因此 $$a \leq \frac{e}{4}$$。故选 D。

10. 解析：

题目条件表明 $$f(x)$$ 是偶函数且在 $$(0, +\infty)$$ 上递增。比较 $$a = f\left(\frac{3}{2}\right)$$，$$b = f(\log_3 7)$$，$$c = f(-0.8^3) = f(0.8^3)$$。

由于 $$\log_3 7 \approx 1.77$$，$$0.8^3 = 0.512$$，$$\frac{3}{2} = 1.5$$，故 $$0.512 < 1.5 < 1.77$$。由单调性，$$c < a < b$$。故选 B。

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