函数奇、偶性的定义-3.2 函数的基本性质知识点月考进阶选择题自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['对数（型）函数的单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的单调区间']

正确率60.0%若$$f ( x )=\frac{a} {\mathrm{e}^{x}+1}-1$$为奇函数，则$$g ( x )=\operatorname{l n} [ ( x-1 ) ( x-a ) ]$$的单调递增区间是（）

A.$$( 0， \ 1 )$$

B.$$( 1， ~+\infty)$$

C.$$\left( \frac{3} {2}， ~+\infty\right)$$

D.$$( 2， ~+\infty)$$

2、['函数奇、偶性的定义'， '余弦（型）函数的奇偶性']

正确率60.0%下列函数是奇函数的是（）

A.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

B.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

C.$$y=\operatorname{l n} \vert x \vert$$

D.$$y=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}$$

3、['函数奇、偶性的定义'， '函数求定义域']

正确率60.0%下列函数中，与函数$$y=\frac{1} {2^{x}}-2^{x}$$的定义域$${、}$$奇偶性均一致的函数是（）

A.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

B.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

C.$$y=\frac{1} {x}$$

D.$$y=\left\{\begin{array} {l l} {-x^{2} ( x \geq0 )} \\ {x^{2} ( x < 0 )} \\ \end{array} \right.$$

4、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%下列函数中，既是偶函数又在$$( 0，+\infty)$$上是减函数的是$${{(}{)}}$$

A.$$y=x-1$$

B.$${{y}{=}{{l}{n}}{{x}^{2}}}$$

C.$$y=\frac{\operatorname{c o s} x} {x}$$

D.$${{y}{=}{−}{{x}^{2}}}$$

5、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的定义']

正确率60.0%给出下列四个函数$$\odot y=\frac{1} {x} ; ~ \odot y=| x |$$；$$\odot\， y=\l g x$$；$$\oplus y=x^{3}+1$$，其中奇函数的序号是（）

A.$${①}$$

B.$${②}$$

C.$${③}$$

D.$${④}$$

6、['函数奇、偶性的定义']

正确率60.0%下列函数中为偶函数的是（）

A.$$y=x^{2} \operatorname{s i n} x$$

B.$$y=2^{-x}$$

C.$$y=\frac{\operatorname{s i n} x} {x}$$

D.$$y=| \operatorname{l o g}_{0. 5} x |$$

7、['利用函数单调性解不等式'， '函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\left| \boldsymbol{x} \right| ~ ( \begin{matrix} {1 0^{x}-1 0^{-x}} \\ \end{matrix} )$$，不等式$$f \left( 1-2 x \right) ~+f \left( 3 \right) ~ > 0$$的解集为（）

A. $\text{[math]}$

B.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$

C.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$

D.$$( 1， ~+\infty)$$

8、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性'， '函数的对称性']

正确率60.0%已知函数$$y=f ( \， x \， )$$的定义域为$${{R}}$$，满足$$f ( \， x \， )+f ( \，-x \， )=0， \， \， \， f ( \， x+6 \， )-f ( \， x \， )=3 f ( \， 3 \， )$$，当$$x \in( \:-3 \:， \: 0 \: )$$时，$$f ( \， x \， )=x ( \， x+3 \， )$$，则 $\text{[math]}$ ）

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

9、['函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%下列函数是偶函数且在区间$$(-\infty， 0 )$$上为减函数的是（）

A.$${{y}{=}{2}{x}}$$

B.$$y=\frac{1} {x}$$

C.$${{y}{=}{{|}{x}{|}}}$$

D.$${{y}{=}{−}{{x}^{2}}}$$

10、['复合函数的单调性判定'， '函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%下列函数中是奇函数且在区间$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调的是（）

A.$$y=\frac{x} {1+x^{2}}$$

B.$${{y}{=}{{t}{a}{n}}{x}}$$

C.$$y=\operatorname{l o g}_{2} ~ ( \ n+\sqrt{x^{2}+1} )$$

D.$$y=x^{\frac{2} {3}}$$

1. 解析：

首先确定 $$f(x)$$ 为奇函数，利用奇函数性质 $$f(-x) = -f(x)$$：

$$f(-x) = \frac{a}{e^{-x} + 1} - 1 = \frac{a e^x}{1 + e^x} - 1$$

$$-f(x) = -\left( \frac{a}{e^x + 1} - 1 \right) = -\frac{a}{e^x + 1} + 1$$

令两者相等：

$$\frac{a e^x}{1 + e^x} - 1 = -\frac{a}{e^x + 1} + 1$$

化简得 $$a e^x - (1 + e^x) = -a + (1 + e^x)$$

解得 $$a = 2$$。

因此 $$g(x) = \ln[(x-1)(x-2)]$$，定义域为 $$x < 1$$ 或 $$x > 2$$。

求导数 $$g'(x) = \frac{2x - 3}{(x-1)(x-2)}$$，令 $$g'(x) > 0$$，解得 $$x > \frac{3}{2}$$ 且 $$x > 2$$，即 $$x > 2$$。

故单调递增区间为 $$(2, +\infty)$$，选 D。

2. 解析：

奇函数需满足 $$f(-x) = -f(x)$$：

A. $$y = \cos x$$ 是偶函数。

B. $$y = x^2$$ 是偶函数。

C. $$y = \ln |x|$$ 定义域不对称，非奇非偶。

D. $$y = e^x - e^{-x}$$ 满足 $$f(-x) = -f(x)$$，是奇函数。

选 D。

3. 解析：

函数 $$y = \frac{1}{2^x} - 2^x$$ 定义域为 $$x \neq 0$$，且为奇函数。

A. $$y = \cos x$$ 是偶函数。

B. $$y = x^2$$ 是偶函数。

C. $$y = \frac{1}{x}$$ 是奇函数，定义域为 $$x \neq 0$$，符合。

D. 分段函数为奇函数，但定义域为全体实数，不符合。

选 C。

4. 解析：

偶函数需满足 $$f(-x) = f(x)$$，且在 $$(0, +\infty)$$ 上减函数：

A. $$y = x - 1$$ 非偶函数。

B. $$y = \ln x^2$$ 是偶函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上增函数。

C. $$y = \frac{\cos x}{x}$$ 非偶函数。

D. $$y = -x^2$$ 是偶函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上减函数。

选 D。

5. 解析：

奇函数需满足 $$f(-x) = -f(x)$$：

① $$y = \frac{1}{x}$$ 是奇函数。

② $$y = |x|$$ 是偶函数。

③ $$y = \lg x$$ 定义域不对称，非奇非偶。

④ $$y = x^3 + 1$$ 非奇函数。

选 A。

6. 解析：

偶函数需满足 $$f(-x) = f(x)$$：

A. $$y = x^2 \sin x$$ 非偶函数。

B. $$y = 2^{-x}$$ 非偶函数。

C. $$y = \frac{\sin x}{x}$$ 是奇函数。

D. $$y = |\log_{0.5} x|$$ 定义域不对称，非偶函数。

无正确选项，题目可能有误。

7. 解析：

函数 $$f(x) = |x| (10^x - 10^{-x})$$ 为奇函数，因为 $$f(-x) = -f(x)$$。

不等式 $$f(1-2x) + f(3) > 0$$ 可化为 $$f(1-2x) > -f(3) = f(-3)$$。

由于 $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上增函数，故 $$1-2x > -3$$，解得 $$x < 2$$。

选 A。

8. 解析：

由 $$f(x) + f(-x) = 0$$ 知 $$f(x)$$ 为奇函数。

由 $$f(x+6) - f(x) = 3f(3)$$，令 $$x = -3$$ 得 $$f(3) - f(-3) = 3f(3)$$，即 $$f(3) = -f(3)$$，故 $$f(3) = 0$$。

因此 $$f(x+6) = f(x)$$，周期为 6。

当 $$x \in (-3, 0)$$ 时，$$f(x) = x(x+3)$$，故 $$f(-1) = -2$$。

由奇函数性质 $$f(1) = -f(-1) = 2$$。

选 C。

9. 解析：

偶函数需满足 $$f(-x) = f(x)$$，且在 $$(-\infty, 0)$$ 上减函数：

A. $$y = 2x$$ 非偶函数。

B. $$y = \frac{1}{x}$$ 是奇函数。

C. $$y = |x|$$ 是偶函数，且在 $$(-\infty, 0)$$ 上减函数。

D. $$y = -x^2$$ 是偶函数，但在 $$(-\infty, 0)$$ 上增函数。

选 C。

10. 解析：

奇函数需满足 $$f(-x) = -f(x)$$，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调：

A. $$y = \frac{x}{1+x^2}$$ 是奇函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上不单调。

B. $$y = \tan x$$ 是奇函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上不连续。

C. $$y = \log_2 (x + \sqrt{x^2 + 1})$$ 是奇函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上增函数。

D. $$y = x^{\frac{2}{3}}$$ 非奇函数。

选 C。

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