函数奇、偶性的证明-函数的基本性质知识点课后进阶自测题解析-上海市等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=4^{x}-\left( \frac{1} {4} \right)^{x}，$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$（）

A.是奇函数，且在$${{R}}$$上是增函数

B.是偶函数，且在$${{R}}$$上是增函数

C.是奇函数，且在$${{R}}$$上是减函数

D.是偶函数，且在$${{R}}$$上是减函数

2、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的定义']

正确率60.0%下列函数是偶函数的是（）

A.$${{y}{=}{x}{+}{{c}{o}{s}}{x}}$$

B.$${{y}{=}{x}{+}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$

C.$${{y}{=}{{x}^{2}}{+}{{c}{o}{s}}{x}}$$

D.$${{y}{=}{{x}^{2}}{+}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$

4、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义']

正确率19.999999999999996%已知定义在$${{R}}$$上的函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{| x+m |}-1 \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right)$$为实数）为偶函数，记$$a=f \ ( \mathbf{2}^{\frac{1} {3}} \mathbf{)} \， \，， \， \， \， b=f \ ( \mathit{l o g}_{\frac{1} {3}} \mathbf{2} ) \， \， \，， \， \， \， c=f \ ( \mathbf{m+1} )$$，则$${{a}{、}{b}{、}{c}}$$的大小关系为（）

A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

B.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$

C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

D.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

5、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%下列函数中，既是偶函数，又在区间$${（{0}{，}{3}{）}}$$内是减函数的是（）

A.$$y=2^{x}-2^{-x}$$

B.$${{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}}$$

C.$$y=l o g_{2}^{| x |}$$

D.$$y=x+x^{-1}$$

6、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的证明'， '函数求值域'， '函数求值']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{a}{{s}{i}{n}}{x}{−}{b}{l}{g}{（}{x}{+}{\sqrt {{x}^{2}{+}{1}}}{）}{+}{2}}$$，且$${{f}{（}{−}{1}{）}{=}{1}}$$，则$${{f}{（}{1}{）}{=}{（}}$$）

A.$${{4}{\sqrt {3}}{−}{1}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{3}}$$

7、['利用函数单调性解不等式'， '函数奇、偶性的证明'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+2^{| x |}$$，则满足$${{f}{(}{2}{x}{−}{1}{)}{<}{3}}$$的实数$${{x}}$$的取值范围是

A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$

8、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x \left( \begin{matrix} {2^{x}} \\ {-\frac{1} {2^{x}}} \\ \end{matrix} \right)$$，则$${{f}{（}{x}{）}{（}}$$）

A.为奇函数，在$${{R}}$$上是减函数

B.为奇函数，在$${{R}}$$上是增函数

C.为偶函数，在$${（{−}{∞}{，}{0}{）}}$$上是减函数

D.为偶函数，在$${（{−}{∞}{，}{0}{）}}$$上是增函数

9、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率60.0%下列函数中，是奇函数且在区间$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$上是增函数的是（）

A.$$f ( x )=\frac{1} {x}-x$$

B.$$f ( x )=( \frac{1} {2} )^{| x |}$$

C.$${{f}{（}{x}{）}{=}{−}{{x}^{3}}}$$

D.$$f ( x )=-l o g_{2} \frac{x+1} {x-1}$$

10、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%下列函数中，既是偶函数又在$${{(}{0}{{，}{+}{∞}}{)}}$$上单调递增的函数是$${{(}{　}{　}{)}}$$

A.$${{y}{=}{x}{+}{1}}$$

B.$${{y}{{=}{−}}{{x}^{2}}{{+}{1}}}$$

C.$${{y}{{=}{|}}{x}{{|}{+}}{1}}$$

D.$$\mathbf{y=1-{\frac{1} {x}}}$$

1. 解析：

函数$$f(x)=4^x-\left(\frac{1}{4}\right)^x=4^x-4^{-x}$$。验证奇偶性：$$f(-x)=4^{-x}-4^x=-(4^x-4^{-x})=-f(x)$$，故为奇函数。求导得$$f'(x)=\ln4\cdot4^x+\ln4\cdot4^{-x}>0$$，故在$$R$$上单调递增。答案为A。

2. 解析：

逐一验证选项： A. $$y(-x)=-x+\cos(-x)=-x+\cos x \neq y(x)$$，非偶函数； B. $$y(-x)=-x+\sin(-2x)=-x-\sin2x \neq y(x)$$，非偶函数； C. $$y(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cos x = y(x)$$，是偶函数； D. $$y(-x)=(-x)^2+\sin(-2x)=x^2-\sin2x \neq y(x)$$，非偶函数。答案为C。

4. 解析：

偶函数要求$$f(-x)=f(x)$$，即$$2^{|-x+m|}-1=2^{|x+m|}-1$$，故$$m=0$$。函数简化为$$f(x)=2^{|x|}-1$$，显然在$$[0,+\infty)$$上单调递增。计算： $$a=f(2^{1/3})=2^{2^{1/3}}-1$$， $$b=f(\log_{1/3}2)=2^{|\log_{1/3}2|}-1=2^{\log_3 2}-1$$， $$c=f(m+1)=f(1)=2^{1}-1=1$$。比较大小：$$2^{1/3}\approx1.26$$，$$2^{2^{1/3}}\approx2.41$$；$$\log_3 2\approx0.63$$，$$2^{\log_3 2}\approx1.55$$。因此$$c

5. 解析：

逐一分析选项： A. $$y=2^x-2^{-x}$$为奇函数，不符合； B. $$y=\cos x$$在$$(0,3)$$内非单调递减； C. $$y=\log_2|x|$$为偶函数，且在$$(0,3)$$内$$y=\log_2 x$$单调递增，不符合； D. $$y=x+x^{-1}$$为奇函数，不符合。无正确选项，但最接近的是B（题目可能有误）。

6. 解析：

设$$g(x)=f(x)-2=a\sin x-b\lg(x+\sqrt{x^2+1})$$，则$$g(-x)=-a\sin x-b\lg(-x+\sqrt{x^2+1})=-a\sin x+b\lg(x+\sqrt{x^2+1})$$。若$$g(x)$$为奇函数，则$$g(-1)=-g(1)$$。已知$$f(-1)=1$$，即$$g(-1)=-1$$，故$$g(1)=1$$，$$f(1)=g(1)+2=3$$。答案为D。

7. 解析：

函数$$f(x)=x^2+2^{|x|}$$为偶函数，且$$f(1)=1+2=3$$。不等式$$f(2x-1)<3$$等价于$$|2x-1|<1$$，解得$$0

8. 解析：

函数$$f(x)=x(2^x-2^{-x})$$。验证奇偶性：$$f(-x)=-x(2^{-x}-2^x)=x(2^x-2^{-x})=f(x)$$，为偶函数。求导得$$f'(x)=(2^x-2^{-x})+x\ln2(2^x+2^{-x})$$，当$$x<0$$时$$2^x-2^{-x}<0$$且$$x<0$$，故$$f'(x)<0$$，单调递减。答案为C。

9. 解析：

逐一分析选项： A. $$f(x)=\frac{1}{x}-x$$为奇函数，但在$$(1,+\infty)$$上$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-1<0$$，单调递减； B. 非奇函数； C. $$f(x)=-x^3$$为奇函数，但在$$(1,+\infty)$$上$$f'(x)=-3x^2<0$$，单调递减； D. $$f(x)=-\log_2\frac{x+1}{x-1}$$为奇函数，且$$\frac{x+1}{x-1}$$在$$(1,+\infty)$$单调递减，故$$f(x)$$单调递增。答案为D。

10. 解析：

逐一分析选项： A. $$y=x+1$$非偶函数； B. $$y=-x^2+1$$为偶函数，但在$$(0,+\infty)$$单调递减； C. $$y=|x|+1$$为偶函数，且在$$(0,+\infty)$$单调递增； D. 非偶函数。答案为C。

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