函数的最大(小)值-3.2 函数的基本性质知识点月考进阶单选题自测题解析-青海省等高一数学必修,平均正确率46.0%

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{array} {l} {{\frac{2 x^{3}} {x+1}}， \ \ x \in\left( {\frac{1} {2}}， \ 1 \right]} \\ {-{\frac{1} {3}} x+{\frac{1} {6}}， \ x \in\left[ 0， \ \ {\frac{1} {2}} \right]} \\ \end{array} \right.$$，函数$$g^{\ (} \， x ) \ =a \operatorname{s i n} \ ( \， \frac{\pi} {6} x ) \ -2 a+2 \ ( \， a > 0 )$$，若存在$$x_{1}， ~ x_{2} \in[ 0， ~ 1 ]$$，使得$$f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~=g ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

C

A.$$[ \frac{2} {3}， \ \frac{4} {3} ]$$

B.$$[ \frac{1} {2}， ~ 1 ]$$

C.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{4} {3} ]$$

D.$$( 0， ~ \frac{1} {2} ]$$

正确率60.0%已知$$f ( x )=\frac{1} {x}，$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ 2， ~ 8 ]$$上的最小值与最大值分别为（）

A

A.$$\frac{1} {8}， ~ \frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {3}， ~ 1$$

C.$$\frac{1} {9}， ~ \frac{1} {3}$$

D.$$\frac{1} {8}， ~ \frac{1} {3}$$

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{a}}$$的正三角形，且$$\overrightarrow{A M}=\lambda\overrightarrow{A B}， \， \， \， \overrightarrow{A N}=( 1-\lambda) \overrightarrow{A C} ( \lambda\in R )，$$设$$f ( \lambda)=\overrightarrow{B N} \cdot\overrightarrow{C M}$$，当函数$${{f}{(}{λ}{)}}$$的最大值为$${{−}{2}}$$时，$${{a}{=}{(}{)}}$$

C

A.$$\frac{4 \sqrt{2}} {3}$$

B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

C.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$

D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\operatorname{s i n} \omega x$$在$$[ 0， ~ \frac{\pi} {4} ]$$上单调递增且在这个区间上的最大值为$$\frac{\sqrt3} {2}，$$则实数$${{ω}}$$的值是（）

C

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{8} {2}$$

C.$$\frac{4} {3}$$

D.$$\frac{1 0} {3}$$

正确率60.0%已知函数$$y=\operatorname{c o s} ( 2 x+\varphi) ( | \varphi| < \frac{\pi} {2} )$$在$$x=\frac{\pi} {3}$$处取得最小值，则函数$$y=\operatorname{s i n} ( 2 x+\varphi)$$的图象$${{(}{)}}$$

A

A.关于点$$( \frac{\pi} {3}， 0 )$$对称

B.关于点$$( \frac{\pi} {6}， 0 )$$对称

C.关于直线$$x=\frac{\pi} {3}$$对称

D.关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称

正确率60.0%关于函数$$f \ ( \ x ) \ =2 \cos^{2} {\frac{x} {2}}+\sqrt{3} \sin x \ ( \ x \in[ 0， \ \pi] )$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值与最小值之差为（）

A

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{−}{2}}$$

正确率60.0%某购物网站在$${{2}{0}{1}{3}}$$年$${{1}{1}}$$月开展$${{“}}$$全场$${{6}}$$折$${{”}}$$促销活动，在$${{1}{1}}$$日当天购物还可以再享受$${{“}}$$每张订单金额$${（{6}}$$折后）满$${{3}{0}{0}}$$元时可减免$${{1}{0}{0}}$$元$${{”}}$$．某人在$${{1}{1}}$$日当天欲购入原价$${{4}{8}}$$元（单价）的商品共$${{4}{2}}$$件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（）

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{=}{{l}{n}}}$$ $${{x}}$$$$- \frac{x} {a} ($$ $${{a}}$$$${{>}{0}{)}}$$，若$${{∃}}$$ $${{x}}$$$${{∈}{R}{，}}$$使得$${{∀}}$$ $${{x}}$$$$\i\in[ 1， 2 ]$$都有 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${_{1}{)}{<}}$$ $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}}$$，则实数 $${{a}}$$的取值范围是（）

D

A.$$( 0， 1 )$$

B.$$( 1， 2 )$$

C.$$( 2，+\infty)$$

D.$$( 0， 1 ) \cup( 2，+\infty)$$

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=x \operatorname{l n} x$$，则（）

C

A.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$( 0，+\infty)$$上是增函数

B.svg异常

C.当$$x \in( 0， 1 )$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}}$$有最小值$$- \frac{1} {e}$$

D.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在定义域内无极值

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=( x-1 )^{3}+3^{x-1}-3^{-x+1}+2$$，实数$${{a}}$$，$${{b}}$$满足$$f ( a )+f ( b )=4$$，则$$a+( b-1 )^{2}$$的最小值为 （）

D

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

1. 首先分析函数 $$f(x)$$ 的值域：

正确答案：$$A$$

2. 函数 $$f(x) = \frac{1}{x}$$ 在区间 $$[2, 8]$$ 上是减函数，因此最小值为 $$f(8) = \frac{1}{8}$$，最大值为 $$f(2) = \frac{1}{2}$$。

正确答案：$$A$$

3. 设正三角形 $$ABC$$ 的边长为 $$a$$，建立坐标系计算向量点积： $$\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = \left(\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC}\right)$$。 代入 $$\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AN} = (1-\lambda) \overrightarrow{AC}$$，化简得： $$f(\lambda) = a^2 \left(\lambda^2 - \lambda - \frac{1}{2}\right)$$。 求最大值 $$f(\lambda)_{\text{max}} = -2$$，解得 $$a = \frac{4\sqrt{2}}{3}$$。

正确答案：$$A$$

4. 函数 $$f(x) = \sin(\omega x)$$ 在 $$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$ 上单调递增且最大值为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$，需满足： $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}$$ 且 $$\sin\left(\omega \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。 解得 $$\omega = \frac{4}{3}$$。

正确答案：$$C$$

5. 函数 $$y = \cos(2x + \varphi)$$ 在 $$x = \frac{\pi}{3}$$ 处取得最小值，说明 $$2 \cdot \frac{\pi}{3} + \varphi = \pi + 2k\pi$$，取 $$\varphi = \frac{\pi}{3}$$。 函数 $$y = \sin(2x + \varphi) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$$，验证对称性： $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 0$$，关于点 $$\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$$ 对称。

正确答案：$$B$$

6. 函数 $$f(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + \sqrt{3}\sin x$$ 化简为： $$f(x) = 1 + \cos x + \sqrt{3}\sin x = 1 + 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$。 在 $$x \in [0, \pi]$$ 上，最大值为 $$3$$，最小值为 $$0$$，差为 $$3$$。

正确答案：$$A$$

7. 原价总金额为 $$48 \times 42 = 2016$$ 元，6折后为 $$1209.6$$ 元。每张订单满 $$300$$ 元可减 $$100$$ 元，最优策略为分 $$3$$ 张订单，每张 $$403.2$$ 元，减免 $$300$$ 元，实际支付 $$909.6$$ 元。

正确答案：$$C$$

8. 函数 $$f(x) = \ln x - \frac{x}{a}$$ 存在 $$x_1$$ 使得对 $$x \in [1, 2]$$ 有 $$f(x_1) < f(x)$$，即 $$f(x_1)$$ 为极小值点。求导得极值点 $$x = a$$，需满足 $$a \in (0, 1) \cup (2, +\infty)$$。

正确答案：$$D$$

9. 函数 $$f(x) = x \ln x$$ 的导数为 $$f'(x) = \ln x + 1$$，在 $$x = \frac{1}{e}$$ 处取得极小值 $$-\frac{1}{e}$$。在 $$(0, +\infty)$$ 上不单调，但在 $$(0, 1)$$ 内有最小值。

正确答案：$$C$$

10. 函数 $$f(x) = (x-1)^3 + 3^{x-1} - 3^{-x+1} + 2$$ 是奇函数关于 $$(1, 2)$$ 对称。由 $$f(a) + f(b) = 4$$ 可得 $$a + b = 2$$。设 $$b = 2 - a$$，则 $$a + (b - 1)^2 = a + (1 - a)^2 = a^2 - a + 1$$，最小值为 $$\frac{3}{4}$$。

正确答案：$$D$$