函数图象的翻折变换-3.2 函数的基本性质知识点专题进阶单选题自测题答案-天津市等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1. 题目描述不完整，无法提供解析。

2. 函数为分段函数：$$f(x)=\begin{cases} |2^{x+1}-2|, & x \leq 2 \\ x^2-11x+30, & x > 2 \end{cases}$$

分析函数图像：

当$$x \leq 2$$时，$$f(x)=|2^{x+1}-2|$$，该函数在$$x=0$$处取得最小值0，在$$x=2$$处值为$$|2^3-2|=6$$

当$$x > 2$$时，$$f(x)=x^2-11x+30=(x-5)(x-6)$$，为开口向上的抛物线，顶点在$$x=5.5$$处

设$$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=k$$，则$$k$$的取值范围为$$(0,6)$$

当$$k \in (0,6)$$时，方程$$f(x)=k$$有4个不等实根：

- 在$$x \leq 2$$区间有2个根$$a,b$$（关于$$x=0$$对称）

- 在$$x > 2$$区间有2个根$$c,d$$（关于$$x=5.5$$对称）

由对称性可得：$$2^a+2^b=2$$，$$c+d=11$$

设$$c=5.5-t$$，$$d=5.5+t$$（$$t > 0$$）

则$$2^c+2^d=2^{5.5-t}+2^{5.5+t}=2^{5.5}(2^{-t}+2^t)$$

令$$u=2^t+2^{-t} \geq 2$$，当$$t=0$$时取最小值2

当$$k \to 0^+$$时，$$t \to \infty$$，$$u \to \infty$$

当$$k \to 6^-$$时，$$t \to 0$$，$$u \to 2$$

因此$$2^c+2^d \in (2^{5.5} \times 2, +\infty) = (64\sqrt{2}, +\infty)$$

所以$$2^a+2^b+2^c+2^d \in (64\sqrt{2}+2, +\infty)$$

又因为$$k \in (0,6)$$，当$$k=6$$时，$$x=2$$为三重根，不符合题意

但题目选项上限为146或266，说明$$k$$不能无限接近0

实际上，当$$k \to 0^+$$时，$$c,d$$分别趋近于5和6，$$2^c+2^d \to 2^5+2^6=32+64=96$$

所以$$2^a+2^b+2^c+2^d \to 2+96=98$$

综上，取值范围为$$(98, 64\sqrt{2}+2)$$，但$$64\sqrt{2} \approx 90.5$$，$$64\sqrt{2}+2 \approx 92.5 < 98$$

重新分析：当$$k \to 0^+$$时，$$c \to 5$$，$$d \to 6$$，$$2^c+2^d=32+64=96$$

$$2^a+2^b=2$$，总和为98

当$$k$$增大时，$$c,d$$向5.5靠近，$$2^c+2^d$$减小

当$$k=6$$时（但取不到），$$c=d=5.5$$，$$2^c+2^d=2 \times 2^{5.5}=2 \times 32\sqrt{2}=64\sqrt{2} \approx 90.5$$

所以$$2^a+2^b+2^c+2^d \in (64\sqrt{2}+2, 98)$$

但选项A为$$(64\sqrt{2}+2, 146)$$，需要验证上限

实际上，当$$k$$很小时，$$c,d$$接近5和6，和为98

当$$k$$增大时，$$c,d$$靠近5.5，和减小

所以最大值趋近于98（但取不到），最小值趋近于$$64\sqrt{2}+2$$（也取不到）

因此取值范围为$$(64\sqrt{2}+2, 98)$$

但选项中没有此区间，最接近的是A: $$(64\sqrt{2}+2, 146)$$

可能题目有误或理解有偏差，根据选项特征，选择A

3. 函数$$f(x)=|\lg x|-(\frac{1}{2})^x$$有两个零点$$x_1,x_2$$

分析函数性质：

$$f(x)=0$$即$$|\lg x|=(\frac{1}{2})^x$$

由于$$(\frac{1}{2})^x > 0$$，所以$$|\lg x| > 0$$，即$$x \neq 1$$

当$$x > 1$$时，$$\lg x > 0$$，方程化为$$\lg x=(\frac{1}{2})^x$$

当$$0 < x < 1$$时，$$\lg x < 0$$，方程化为$$-\lg x=(\frac{1}{2})^x$$

设$$x_1 < 1 < x_2$$，则$$x_1 x_2 < 1$$

且由函数对称性，$$|\lg x_1|=|\lg x_2|$$，即$$\lg x_1=-\lg x_2$$

所以$$\lg(x_1 x_2)=0$$，即$$x_1 x_2=1$$

故选B

4. 函数$$f(x)=|2^x-2|+b$$有两个零点$$x_1,x_2(x_1 > x_2)$$

令$$f(x)=0$$，则$$|2^x-2|=-b$$

由于左边$$\geq 0$$，所以$$-b \geq 0$$，即$$b \leq 0$$

又因为有两个零点，所以$$-b > 0$$，即$$b < 0$$

$$|2^x-2|=-b$$等价于$$2^x-2=\pm(-b)$$

即$$2^x=2 \pm (-b)$$

设$$x_1$$对应$$2^x=2-(-b)=2+b$$（因为$$b < 0$$，所以$$2+b < 2$$）

$$x_2$$对应$$2^x=2+(-b)=2-b$$（$$2-b > 2$$）

所以$$x_1=\log_2(2+b)$$，$$x_2=\log_2(2-b)$$

由于$$b < 0$$，则$$2+b < 2$$，$$2-b > 2$$

所以$$x_1 < 1$$，$$x_2 > 1$$

但题目说$$x_1 > x_2$$，与这里矛盾

重新分析：$$x_1 > x_2$$，且$$f(x)=|2^x-2|+b=0$$

即$$|2^x-2|=-b$$

当$$x < 1$$时，$$2^x < 2$$，$$|2^x-2|=2-2^x$$

当$$x > 1$$时，$$2^x > 2$$，$$|2^x-2|=2^x-2$$

所以方程化为：

$$2-2^x=-b$$（$$x < 1$$）和$$2^x-2=-b$$（$$x > 1$$）

解得：$$2^x=2+b$$（$$x < 1$$）和$$2^x=2-b$$（$$x > 1$$）

由于$$b < 0$$，则$$2+b < 2$$，$$2-b > 2$$

所以$$x_2=\log_2(2+b) < 1$$，$$x_1=\log_2(2-b) > 1$$

且$$x_1 > x_2$$，符合题意

现在分析选项：

$$x_1=\log_2(2-b) > 1$$（因为$$2-b > 2$$）

$$x_1+x_2=\log_2(2-b)+\log_2(2+b)=\log_2[(2-b)(2+b)]=\log_2(4-b^2)$$

由于$$b < 0$$，$$b^2 > 0$$，所以$$4-b^2 < 4$$，$$\log_2(4-b^2) < 2$$

又$$4-b^2 > 0$$，所以$$x_1+x_2 > -\infty$$

但$$b$$不能太接近0，否则两个零点重合

实际上，$$x_1+x_2 < 2$$

且$$x_1 > 1$$

故选C

5. 函数$$y=|2^x-1|$$在区间$$(k-1,k+1)$$内不单调

函数$$y=|2^x-1|$$的图像：

当$$x \geq 0$$时，$$y=2^x-1$$，单调递增

当$$x < 0$$时，$$y=1-2^x$$，单调递减

函数在$$x=0$$处有拐点

要使函数在区间$$(k-1,k+1)$$内不单调，需要该区间包含拐点$$x=0$$

即$$k-1 < 0 < k+1$$

解得$$-1 < k < 1$$

故选C

6. 囧函数：$$y=\frac{1}{|x|-1}$$（$$c=1,b=1$$）

函数$$f(x)=a^{x^2+x+1}$$（$$a>0,a \neq 1$$）有最小值

$$f(x)=a^{x^2+x+1}$$，指数部分$$x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$$

当$$a>1$$时，$$f(x)$$有最小值$$a^{\frac{3}{4}}$$

当$$0

所以$$a>1$$

现在求$$y=\frac{1}{|x|-1}$$与$$y=\log_a |x|$$的交点个数

即解方程$$\frac{1}{|x|-1}=\log_a |x|$$

令$$t=|x|>0$$，且$$t \neq 1$$

方程化为$$\frac{1}{t-1}=\log_a t$$

分析函数$$\varphi(t)=\frac{1}{t-1}$$和$$\psi(t)=\log_a t$$（$$a>1$$）

$$\varphi(t)$$定义域$$t>0,t \neq 1$$，在$$(0,1)$$上为负且递减，在$$(1,+\infty)$$上为正且递减

$$\psi(t)$$在$$(0,+\infty)$$上递增

当$$t \to 0^+$$时，$$\varphi(t) \to -1$$，$$\psi(t) \to -\infty$$

当$$t \to 1^-$$时，$$\varphi(t) \to -\infty$$，$$\psi(t) \to 0$$

当$$t \to 1^+$$时，$$\varphi(t) \to +\infty$$，$$\psi(t) \to 0$$

当$$t \to +\infty$$时，$$\varphi(t) \to 0^+$$，$$\psi(t) \to +\infty$$

所以在$$(0,1)$$内有一个交点，在$$(1,+\infty)$$内有一个交点

由于函数关于$$y$$轴对称，所以原函数有4个交点

故选C

7. 函数$$f(x)=\lg \frac{1}{|x+1|}$$

定义域：$$\frac{1}{|x+1|} > 0$$，即$$x \neq -1$$

$$f(x)=-\lg|x+1|$$

函数图像关于$$x=-1$$对称，在$$x=-1$$处有垂直渐近线

当$$x \to -1$$时，$$f(x) \to +\infty$$

当$$x \to \pm\infty$$时，$$f(x) \to -\infty$$

由于无法看到具体图像选项，无法确定答案

8. 函数$$f(x)=|e^x-1|+1$$

$$g(x)=[f(x)]^2+(a-2)f(x)-2a$$有三个零点

令$$u=f(x) \geq 1$$（因为$$|e^x-1| \geq 0$$）

则$$g(x)=u^2+(a-2)u-2a=(u-2)(u+a)$$

所以$$g(x)=0$$等价于$$u=2$$或$$u=-a$$

由于$$u \geq 1$$，所以$$u=-a$$要求$$-a \geq 1$$，即$$a \leq -1$$

现在需要$$g(x)$$有三个零点，即方程$$f(x)=2$$和$$f(x)=-a$$共有三个解

分析$$f(x)=|e^x-1|+1$$的图像：

当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=e^x-1+1=e^x$$

当$$x < 0$$时，$$f(x)=1-e^x+1=2-e^x$$

所以$$f(x)$$在$$(-\infty,0)$$上从$$+\infty$$递减到1，在$$[0,+\infty)$$上从1递增到$$+\infty$$

方程$$f(x)=2$$：

当$$x \geq 0$$时，$$e^x=2$$，解得$$x=\ln 2$$

当$$x < 0$$时，$$2-e^x=2$$，解得$$e^x=0$$，无解

所以$$f(x)=2$$只有一个解$$x=\ln 2$$

方程$$f(x)=-a$$：

需要有两个解，且$$-a > 1$$（即$$a < -1$$）

当$$-a > 1$$时，$$f(x)=-a$$在$$x < 0$$和$$x > 0$$各有一个解

所以共有三个零点

因此$$a < -1$$

又$$a \leq -1$$，所以$$a \in (-\infty,-1)$$

但选项为区间，A: $$(-2,-1)$$符合

故选A

9. 函数$$F(x)=(\frac{1}{2})^{|x|}-|f(x)|$$，其中$$f(x)=\log_{\frac{1}{2}} x$$

$$F(x)=0$$即$$(\frac{1}{2})^{|x|}=|\log_{\frac{1}{2}} x|$$

由于$$(\frac{1}{2})^{|x|} > 0$$，所以$$x>0$$

且$$|\log_{\frac{1}{2}} x| \geq 0$$

当$$x>0$$时，$$(\frac{1}{2})^{|x|}=(\frac{1}{2})^x$$

$$|\log_{\frac{1}{2}} x|=|\frac{\ln x}{\ln(1/2 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}