单调性的定义与证明-3.2 函数的基本性质知识点课后进阶选择题自测题答案-安徽省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['利用函数单调性解不等式'， '单调性的定义与证明']

正确率40.0%定义在$$( 0， ~+\infty)$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$\frac{x_{2} f \left( x_{1} \right)-x_{1} f \left( x_{2} \right)} {x_{1}-x_{2}} < 0$$，且$$f ( 2 )=4$$，则不等式$$f ( x )-2 x > 0$$的解集为（）

A.$$( 2， ~+\infty)$$

B.$$( 0， \ 2 )$$

C.$$\left( \frac1 2， ~+\infty\right)$$

D.$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right)$$

2、['函数求值域'， '单调性的定义与证明'， '函数的周期性']

正确率40.0%$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，定义函数$$f ( x )=x-[ x ]$$.下列四个结论：$${①}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的值域为$$[ 0， 1 ] \; ; \; \textcircled{2}$$方程$$f \left( x \right)=\frac{1} {2}$$有无数个解；$${③}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为周期函数；$${④}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是$${{R}}$$上的增函数。则正确的结论有（）个

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

3、['抽象函数的应用'， '单调性的定义与证明'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率60.0%定义在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，满足$$f \left( \begin{matrix} {m n} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} \right) ~+f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right) ~ ~ ( \begin{matrix} {m} \\ \end{matrix} ) ~ n > 0 )$$，且当$${{x}{>}{1}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > 0$$．
$$\oplus f \left( {\bf1} \right) \ =0$$；
$$\odot f ~ ( \frac{m} {n} ) ~=f ~ ( \textit{m} ) ~-f ~ ( \textit{n} )$$；
$${③}$$若$$f \ ( \ 2 ) \ =1$$，不等式$$f \left( \begin{matrix} {x+2} \\ \end{matrix} \right)-f \left( \begin{matrix} {2 x} \\ \end{matrix} \right) > 2$$的解集为$$( \ 0， \ \ \frac{2} {7} )$$；
$$\textcircled{4} \textit{f} ( \textbf{x} )$$在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递减；
$$\odot f ( \frac{m+n} {2} ) \ge\frac{f ( m )+f ( n )} {2}$$．
以上说法正确的个数是（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

4、['对数（型）函数的单调性'， '单调性的定义与证明'， '对数的运算性质'， '不等式比较大小']

正确率60.0%已知$$a=\operatorname{l o g}_{2} 3， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{3} 2， \， \， \， c=\operatorname{l g} \frac{1} {2}$$，则下列正确的是$${{(}{)}}$$

A.$$a > b > c$$

B.$$a > c > b$$

C.$$b > a > c$$

D.$$c > b > a$$

5、['单调性的定义与证明'， '函数的单调区间'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']

正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\left| x-1 \right|$$与$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\textbf{x} ( \textbf{x}-2 )$$的单调递增区间分别为（）

A.$$[ 1， ~+\infty) ~， ~ [ 1， ~+\infty)$$

B.$$( \ 1-\infty， \ 1 ]， \ [ 1， \ \ +\infty)$$

C.$$( 1， ~+\infty) ~ ~， ~ ~ ( ~-\infty， ~ 1 ]$$

D.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \mathbf{\alpha}+\infty) \， \ [ \mathbf{1}， \mathbf{\alpha}+\infty)$$

6、['单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断'， '分段函数的定义'， '分段函数的图象']

正确率60.0%函数$$y=| x+2 |$$在区间$$[-3， 0 ]$$上是（）

A.减函数

B.增函数

C.先减后增函数

D.先增后减函数

7、['函数奇偶性的应用'， '单调性的定义与证明']

正确率60.0%下列有关于$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=l n \left( \begin{matrix} {1+| x |} \\ \end{matrix} \right)-\frac{1} {1+x^{2}}$$的性质的描述，正确的是（）

A.奇函数，在$${{R}}$$上单调递增

B.奇函数，在$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$上单调递增，在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递增

C.偶函数，在$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$上单调递减，在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递增

D.偶函数，在$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$上单调递增，在$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$上单调递减

8、['导数与最值'， '单调性的定义与证明'， '常见函数的零点']

正确率40.0%对于函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l n x-k x， \ g \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\frac{2^{x}+2} {2^{0}+2}+x-4$$，若存在实数$${{α}{，}{β}{，}}$$使得$$f ~ ( \alpha) ~=0， ~ g ~ ( \alpha+\operatorname{s i n} \beta) ~=0$$，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）

A.$$[ 0， ~ \frac{1} {e} ]$$

B.$$[ 1， ~ \frac{1} {e} ]$$

C.$$[ \frac{l n 3} {3}， \ \frac{1} {e} ]$$

D.$$[ 0， ~ \frac{l n 3} {3} ]$$

9、['导数与最值'， '单调性的定义与证明'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']

正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的不等式$$e^{x} \! > \operatorname{l n} x \!+\! a$$在$${{(}{0}{{，}{+}{∞}}{)}}$$恒成立，则整数$${{a}}$$的最大取值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{0}}$$

10、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( 2 )=0$$，若对任意$$x_{1}， \， \， x_{2} \in( 0，+\infty)$$，且$$x_{1} \neq x_{2}， \， \， \frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0$$恒成立，则不等式$$x f ( x ) > 0$$的解集为$${{(}{)}}$$

A.$$(-2， 0 ) \cup( 2，+\infty)$$

B.$$(-2， 0 ) \cup( 0， 2 )$$

C.$$(-\infty，-2 ) \cup( 2，+\infty)$$

D.$$(-\infty，-2 ) \cup( 0， 2 )$$

1. 解析：

由不等式 $$\frac{x_{2} f \left( x_{1} \right)-x_{1} f \left( x_{2} \right)}{x_{1}-x_{2}} < 0$$，可以变形为 $$\frac{f(x_1)}{x_1} > \frac{f(x_2)}{x_2}$$ 当 $$x_1 < x_2$$ 时，说明 $$\frac{f(x)}{x}$$ 是减函数。已知 $$f(2) = 4$$，则 $$\frac{f(2)}{2} = 2$$。不等式 $$f(x) - 2x > 0$$ 即 $$\frac{f(x)}{x} > 2$$，由减函数性质得 $$x < 2$$。又定义域为 $$(0, +\infty)$$，故解集为 $$(0, 2)$$，选 B。

2. 解析：

函数 $$f(x) = x - [x]$$ 是小数部分函数，值域为 $$[0, 1)$$，故①错误。方程 $$f(x) = \frac{1}{2}$$ 的解为 $$x = n + \frac{1}{2}$$（$$n \in \mathbb{Z}$$），有无数个解，②正确。$$f(x)$$ 是周期为 1 的函数，③正确。$$f(x)$$ 在每个区间 $$[n, n+1)$$ 上单调递增，但在整体 $$\mathbb{R}$$ 上不单调，④错误。综上，正确的有 2 个，选 B。

3. 解析：

由条件 $$f(mn) = f(m) + f(n)$$ 知 $$f(x)$$ 是对数函数性质。① $$f(1) = 0$$ 正确；② $$f\left(\frac{m}{n}\right) = f(m) - f(n)$$ 正确；③ 由 $$f(2) = 1$$，不等式 $$f(x+2) - f(2x) > 2$$ 即 $$f\left(\frac{x+2}{2x}\right) > 2$$，解得 $$0 < x < \frac{2}{7}$$ 正确；④ $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，错误；⑤ 由对数函数的凸性，$$f\left(\frac{m+n}{2}\right) \geq \frac{f(m)+f(n)}{2}$$ 正确。综上，正确的有 4 个，但选项最多为 D（4 个），可能题目描述有误，实际正确为 3 个（①、②、③、⑤），选 C。

4. 解析：

计算得 $$a = \log_2 3 \approx 1.585$$，$$b = \log_3 2 \approx 0.631$$，$$c = \lg \frac{1}{2} = -\lg 2 \approx -0.301$$，故 $$a > b > c$$，选 A。

5. 解析：

函数 $$f(x) = |x-1|$$ 在 $$(-\infty, 1]$$ 上递减，在 $$[1, +\infty)$$ 上递增；函数 $$g(x) = x(x-2)$$ 是开口向上的抛物线，在 $$(-\infty, 1]$$ 上递减，在 $$[1, +\infty)$$ 上递增。但选项描述不完全匹配，最接近的是 A（$$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 均在 $$[1, +\infty)$$ 上递增）。

6. 解析：

函数 $$y = |x+2|$$ 在区间 $$[-3, -2]$$ 上递减，在 $$[-2, 0]$$ 上递增，故为先减后增函数，选 C。

7. 解析：

函数 $$f(x) = \ln(1+|x|) - \frac{1}{1+x^2}$$ 是偶函数（验证 $$f(-x) = f(x)$$）。求导分析单调性：在 $$(0, +\infty)$$ 上，$$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{-2x}{(1+x^2)^2} > 0$$，故递增；由偶函数性质，在 $$(-\infty, 0)$$ 上递减。选 C。

8. 解析：

由 $$f(\alpha) = 0$$ 得 $$\ln \alpha = k \alpha$$，即 $$k = \frac{\ln \alpha}{\alpha}$$。由 $$g(\alpha + \sin \beta) = 0$$ 得 $$\alpha + \sin \beta = 2$$（因 $$g(x)$$ 单调递增且 $$g(2) = 0$$）。故 $$\alpha \in [1, 3]$$（因 $$\sin \beta \in [-1, 1]$$）。求 $$k = \frac{\ln \alpha}{\alpha}$$ 在 $$[1, 3]$$ 的最大值为 $$\frac{1}{e}$$（当 $$\alpha = e$$ 时），最小值为 0（当 $$\alpha = 1$$ 时）。但 $$\alpha \to 3$$ 时 $$k = \frac{\ln 3}{3}$$，故 $$k \in \left[0, \frac{1}{e}\right]$$，选 A。

9. 解析：

不等式 $$e^x > \ln x + a$$ 恒成立，需 $$a < e^x - \ln x$$ 的最小值。设 $$h(x) = e^x - \ln x$$，求导得 $$h'(x) = e^x - \frac{1}{x}$$，极小值点 $$x_0 \approx 0.5$$，$$h(x_0) \approx 1.5$$。故整数 $$a$$ 的最大值为 1，选 B。

10. 解析：

由条件知 $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上递增，且为奇函数，故在 $$(-\infty, 0)$$ 上也递增。由 $$f(2) = 0$$ 得 $$f(-2) = 0$$。不等式 $$x f(x) > 0$$ 的解集为 $$x > 2$$ 或 $$-2 < x < 0$$，选 A。

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