单调性的定义与证明-函数的基本性质知识点教师选题进阶单选题自测题答案-安徽省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['单调性的定义与证明'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{a}{x}}$$和$$y=-\frac{b} {x}$$在$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上都是减函数，则函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{b}{x}{+}{a}}$$在$${{R}}$$上是（）

A.减函数且$${{f}{(}{0}{)}{<}{0}}$$

B.增函数且$${{f}{(}{0}{)}{<}{0}}$$

C.减函数且$${{f}{(}{0}{)}{>}{0}}$$

D.增函数且$${{f}{(}{0}{)}{>}{0}}$$

2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '指数（型）函数的单调性'， '单调性的定义与证明'， '分段函数的单调性']

正确率60.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( 3-a ) x+a， x >-2，} \\ {} & {{} \left( \frac{1} {2} \right)^{x}， x \leqslant-2.} \\ \end{aligned} \right.$$且对任意$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{，}}$$都有$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{>}{f}{(}{{x}_{2}}{)}}$$成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( 3， \frac{1 0} {3} \right]$$

B.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$

C.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$$[ 3， \frac{1 0} {3} )$$

3、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '单调性的定义与证明'， '对数（型）函数的单调性'， '分段函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {l o g_{a} x， 0 < x < 1} \\ {( 4 a-1 ) x+2 a， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$满足对任意$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {6} )$$

B.$$( 0， ~ ~ \frac{1} {6} ]$$

C.$$( 0， ~ \frac{1} {4} )$$

D.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$

4、['函数奇、偶性的证明'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间']

正确率60.0%下列函数中，既是奇函数又在区间$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$单调递减的是

A.$${{y}{=}{{l}{g}}{(}{−}{{x}^{2}}{+}{1}{)}}$$

B.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$

C.$$y=\frac{1} {x}$$

D.$$y=( \frac{1} {2} )^{x}$$

5、['函数奇偶性的应用'， '单调性的定义与证明'， '函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%对于定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$，有关下列命题：
$${①}$$若$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$${{f}{（}{{2}{0}{1}{8}}{）}{>}{f}{（}{{2}{0}{1}{7}}{）}}$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$在$${{R}}$$上不是减函数；
$${②}$$若$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$${{f}{（}{−}{2}{）}{=}{f}{（}{2}{）}}$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$不是奇函数；
$${③}$$若$${{f}{（}{x}{）}}$$满足在区间$${（{−}{∞}{，}{0}{）}}$$上是减函数，在区间$${{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$也是减函数，则$${{f}{（}{x}{）}}$$在$${{R}}$$上也是减函数；
$${④}$$若$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$${{f}{（}{−}{{2}{0}{1}{8}}{）}{≠}{f}{（}{{2}{0}{1}{8}}{）}}$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$不是偶函数．
其中正确的命题序号是（）

A.$${①{②}}$$

B.$${①{④}}$$

C.$${②{③}}$$

D.$${②{④}}$$

6、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '抽象函数的应用'， '单调性的定义与证明'， '对数方程与对数不等式的解法'， '函数的对称性']

正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}{，}{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$为偶函数，且对$${任{意}{{x}_{1}}{<}{{x}_{2}}{⩽}{1}{，}}$$满足$$\frac{f ( x_{2} )-f ( x_{1} )} {x_{2}-x_{1}} < 0.$$若$${{f}{(}{3}{)}{=}{1}}$$，则不等式$${{f}{(}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{)}{<}{1}}$$的解集为（）

A.$$( \frac{1} {2}， 8 )$$

B.$${{(}{1}{，}{8}{)}}$$

C.$$( 0， \frac{1} {2} ) \cup( 8，+\infty)$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}{∪}{(}{8}{，}{+}{∞}{)}}$$

7、['单调性的定义与证明'， '函数的单调区间']

正确率60.0%若函数$$f ( x )=\frac{1} {x-m}$$在区间$${（{0}{，}{1}{）}}$$上单调，则$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${（{−}{∞}{，}{0}{）}}$$

B.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${（{−}{∞}{，}{0}{）}{∪}{（}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${（{−}{∞}{，}{0}{]}{∪}{[}{1}{，}{+}{∞}{）}}$$

8、['函数奇、偶性的证明'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断']

正确率60.0%若函数$$f ( x )=2^{x}-2^{-x}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$（）

A.是奇函数，且在$${{R}}$$上是增函数

B.是偶函数，且在$${{R}}$$上是增函数

C.是奇函数，且在$${{R}}$$上是减函数

D.是偶函数，且在$${{R}}$$上是减函数

10、['单调性的定义与证明']

正确率80.0%对于函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$，在给定区间上有两个数$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}}$$，使$${{f}{(}{{x}_{1}}{)}{<}{f}{(}{{x}_{2}}{)}}$$成立，则$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$（）

A.一定是增函数

B.一定是减函数

C.可能是常数函数

D.单调性不能确定

1. 解析：

由函数$$y=ax$$在$$(0, +\infty)$$上减函数，得$$a < 0$$；由函数$$y=-\frac{b}{x}$$在$$(0, +\infty)$$上减函数，得$$b < 0$$。因此，函数$$f(x)=bx+a$$的斜率$$b < 0$$，为减函数，且$$f(0)=a < 0$$。答案为$$A$$。

2. 解析：

函数$$f(x)$$在$$x \leq -2$$时为$$\left(\frac{1}{2}\right)^x$$，为减函数；在$$x > -2$$时为$$(3-a)x + a$$，需满足$$3-a < 0$$（即$$a > 3$$）才能保证减函数。同时，在$$x = -2$$处需满足$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \geq (3-a)(-2) + a$$，解得$$a \leq \frac{10}{3}$$。综上，$$a \in \left(3, \frac{10}{3}\right]$$。答案为$$A$$。

3. 解析：

由题意，函数$$f(x)$$在定义域内单调递减。对于$$0 < x < 1$$，$$f(x)=\log_a x$$需满足$$0 < a < 1$$；对于$$x \geq 1$$，$$f(x)=(4a-1)x + 2a$$需满足$$4a-1 < 0$$（即$$a < \frac{1}{4}$$）。同时，在$$x=1$$处需满足$$\log_a 1 \geq (4a-1) \cdot 1 + 2a$$，即$$0 \geq 6a - 1$$，解得$$a \leq \frac{1}{6}$$。综上，$$a \in \left(0, \frac{1}{6}\right]$$。答案为$$B$$。

4. 解析：

选项$$A$$为偶函数，排除；选项$$B$$在$$(0, +\infty)$$上不单调，排除；选项$$D$$为减函数但不是奇函数，排除；选项$$C$$为奇函数且在$$(0, +\infty)$$上单调递减。答案为$$C$$。

5. 解析：

命题$$①$$正确，因为若$$f(x)$$为减函数，则$$f(2018) < f(2017)$$；命题$$②$$错误，例如$$f(x)=0$$既是奇函数又满足$$f(-2)=f(2)$$；命题$$③$$错误，例如$$f(x)=-\frac{1}{x}$$在$$(-\infty, 0)$$和$$(0, +\infty)$$上减函数，但在$$R$$上不连续；命题$$④$$正确，因为偶函数满足$$f(-x)=f(x)$$。答案为$$B$$。

6. 解析：

由$$f(x+1)$$为偶函数，得$$f(x)$$关于$$x=1$$对称。由$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < 0$$，得$$f(x)$$在$$(-\infty, 1]$$上减函数。由对称性，$$f(x)$$在$$[1, +\infty)$$上增函数。由$$f(3)=1$$，得$$f(-1)=1$$。不等式$$f(\log_2 x) < 1$$等价于$$-1 < \log_2 x < 3$$且$$\log_2 x \neq 1$$，解得$$x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right) \cup (2, 8)$$。答案为$$A$$。

7. 解析：

函数$$f(x)=\frac{1}{x-m}$$在$$(0, 1)$$上单调，需$$m \leq 0$$或$$m \geq 1$$。答案为$$D$$。

8. 解析：

函数$$f(x)=2^x - 2^{-x}$$满足$$f(-x)=-f(x)$$，为奇函数；其导数$$f'(x)=\ln 2 \cdot (2^x + 2^{-x}) > 0$$，在$$R$$上增函数。答案为$$A$$。

10. 解析：

题目仅说明存在两点$$x_1 < x_2$$使$$f(x_1) < f(x_2)$$，无法确定整体单调性。答案为$$D$$。

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