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正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\{}{{^{{(}{2}{−}{[}{x}{]}{)}{⋅}{|}{x}{−}{1}{|}{，}{x}{∈}{[}{0}{，}{2}{)}}_{{1}{，}{x}{=}{2}}}}}}$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，设$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，定义函数$${{f}_{n}{（}{x}{）}{：}{{f}_{1}}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{，}{{f}_{2}}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{{f}_{1}}{（}{x}{）}{）}{，}{…}{，}{{f}_{n}}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{{f}{{n}{−}{1}}}{（}{x}{）}{）}{（}{n}{⩾}{2}{）}}$$，则下列说法正确的有（）个．
$${①{y}{=}{\sqrt {{x}{−}{f}{(}{x}{)}}}}$$的定义域为$${{[}{{\frac{2}{3}}}{，}{2}{]}}$$；
$${②}$$设$${{A}{=}{\{}{0}{，}{1}{，}{2}{\}}{，}{B}{=}{\{}{x}{|}{{f}_{3}}{（}{x}{）}{=}{x}{，}{x}{∈}{A}{\}}}$$，则$${{A}{=}{B}}$$；
$${③{{f}{{2}{0}{1}{7}}}{(}{{\frac{8}{9}}}{)}{+}{{f}{{2}{0}{1}{8}}}{(}{{\frac{8}{9}}}{)}{=}{{\frac^{{1}{6}}{9}}}}$$；
$${④}$$若集合$${{M}{=}{\{}{x}{|}{{f}{{1}{2}}}{（}{x}{）}{=}{x}{，}{x}{∈}{[}{0}{，}{2}{]}{\}}}$$，则$${{M}}$$中至少含有$${{8}}$$个元素．
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['正弦（型）函数的单调性'， '函数的对称性']正确率60.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{s}{i}{n}}{{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}}{{(}{ω}{>}{0}{，}{{|}{φ}{|}}{<}{{\frac{π}{2}}}{)}}}$$，其图象相邻两条对称轴之间距离为$${{\frac{π}{2}}{，}}$$将函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的向右平移$${{\frac{π}{6}}}$$个单位长度后，得到关于$${{y}}$$轴对称，则
C
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$的关于点$${{(}{{\frac{π}{6}}}{，}{0}{)}}$$对称
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于点$${{(}{−}{{\frac{π}{6}}}{，}{0}{)}}$$对称
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{−}{{\frac{π}{6}}}{，}{{\frac{π}{3}}}{)}}$$单调递增
D.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{−}{{\frac^{{2}{π}}{3}}}{，}{−}{{\frac{π}{6}}}{)}}$$单调递增
3、['正弦（型）函数的单调性'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '函数的对称性']正确率40.0%函数$${{y}{=}{{\frac{1}_{{x}{+}{1}}}}}$$与$${{y}{=}{2}{{s}{i}{n}}{π}{x}{(}{−}{4}{⩽}{x}{⩽}{2}{)}}$$的图象所有交点的横坐标之和等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
4、['函数的新定义问题'， '导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数的对称性'， '并项求和法']正确率40.0%为了解三次函数的性质，某研究小组成员查阅书籍，得到如下信息：$${①}$$设$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的导数，$${{f}{{′}{′}}{(}{x}{)}}$$是函数$${{f}^{′}{(}{x}{)}}$$的导数，亦称$${{f}{(}{x}{)}}$$的二阶导数，即$${{f}{{′}{′}}{(}{x}{)}{=}{[}{{f}^{′}}{(}{x}{)}{{]}^{′}}{.}{②}}$$若方程$${{f}{{′}{′}}{(}{x}{)}{=}{0}}$$有实数解$${{x}{=}{x}}$$，则称点$${{(}{x}{，}{f}{(}{x}{)}{)}}$$为函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的$${{“}}$$拐点$${{”}}$$.研究小组研究发现：任何一个三次函数都有$${{"}}$$拐点$${{"}}$$，且者隋对称中心，$${{"}}$$拐点$${{"}}$$就提对称中心.若$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac{1}{2}}}{{x}^{3}}{−}{{\frac{3}{2}}}{{x}^{2}}{+}{2}}$$，则可根据上面信息计算$${{f}{(}{{\frac{1}_{{2}{0}{1}{8}}}}{)}{+}{f}{(}{{\frac{2}_{{2}{0}{1}{8}}}}{)}{+}{⋯}{+}{f}{(}{{\frac^{{4}{0}{3}{4}}_{{2}{0}{1}{8}}}}{)}{+}{f}{(}{{\frac^{{4}{0}{3}{5}}_{{2}{0}{1}{8}}}}{)}{=}}$$
C
A.$${{2}{0}{1}{8}}$$
B.$${{−}{{2}{0}{1}{8}}}$$
C.$${{4}{0}{3}{5}}$$
D.$${{−}{{4}{0}{3}{5}}}$$
5、['指数函数的定义'， '函数的对称性'， '反函数的性质'， '对数函数的定义']正确率60.0%函数$${{y}{=}{{3}^{x}}}$$与$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{x}}$$的图象（）
D
A.关于原点对称
B.关于$${{x}}$$轴对称
C.关于$${{y}}$$轴对称
D.关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称
6、['函数的对称性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$${{f}{(}{3}{−}{2}{x}{)}{=}{f}{(}{2}{x}{−}{1}{)}}$$，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增，则（）
B
A.$${{f}{(}{{0}{.}{2}{{0}{.}{3}}}{)}{<}{f}{(}{{4}{{1}{.}{1}}}{)}{<}{f}{(}{{l}{o}{g}_{3}}{{0}{.}{5}}{)}}$$
B.$${{f}{(}{{0}{.}{2}{{0}{.}{3}}}{)}{<}{f}{(}{{l}{o}{g}_{3}}{{0}{.}{5}}{)}{<}{f}{(}{{4}{{1}{.}{1}}}{)}}$$
C.$${{f}{(}{{4}{{1}{.}{1}}}{)}{<}{f}{(}{{0}{.}{2}{{0}{.}{3}}}{)}{<}{f}{(}{{l}{o}{g}_{3}}{{0}{.}{5}}{)}}$$
D.$${{f}{(}{{l}{o}{g}_{3}}{{0}{.}{5}}{)}{<}{f}{(}{{0}{.}{2}{{0}{.}{3}}}{)}{<}{f}{(}{{4}{{1}{.}{1}}}{)}}$$
7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '抽象函数的应用'， '函数的对称性'， '函数单调性的判断']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足：对任意的$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{∈}{（}{−}{∞}{，}{3}{]}{，}{（}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{）}{[}{f}{（}{{x}_{1}}{）}{−}{f}{（}{{x}_{2}}{）}{]}{>}{0}}$$，且$${{f}{（}{x}{+}{3}{）}}$$是$${{R}}$$上的偶函数，若$${{f}{（}{2}{a}{−}{1}{）}{⩽}{f}{（}{4}{）}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{a}{⩽}{{\frac{3}{2}}}}$$
B.$${{a}{⩽}{{\frac{5}{2}}}}$$
C.$${{\frac{3}{2}}{⩽}{a}{⩽}{{\frac{5}{2}}}}$$
D.$${{a}{⩽}{{\frac{3}{2}}}}$$或$${{a}{⩾}{{\frac{5}{2}}}}$$
8、['函数奇偶性的应用'， '函数的对称性'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%函数$${{y}{=}{{\frac{1}_{{x}{−}{1}}}}}$$的图象与$${{y}{=}{2}{{s}{i}{n}}{π}{x}{(}{−}{{\frac{5}{2}}}{⩽}{x}{⩽}{{\frac{9}{2}}}{)}}$$的图象的所有交点的横坐标之和为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
9、['利用函数单调性解不等式'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的对称性'， '函数单调性的判断']正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}{，}{f}{（}{x}{+}{2}{）}}$$为偶函数，且对任意对$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$当$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{⩽}{2}}$$时，满足$${{\frac^{{f}{(}{{x}_{2}}{)}{−}{f}{(}{{x}_{1}}{)}}_{{x}_{2}{−}{{x}_{1}}}}{<}{0}{，}}$$则关于$${{a}}$$的不等式$${{f}{（}{{2}^{{l}{o}{{g}{{\frac{1}{2}}}}{{\frac{1}{a}}}}}{−}{a}{+}{3}{）}{<}{f}{（}{{2}^{a}}{+}{2}{）}}$$的解集为（）
A
A.$${（{0}{，}{+}{∞}{）}}$$
B.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{0}{，}{{\frac{1}{2}}}{）}}$$
D.$${（{{\frac{1}{2}}}{，}{1}{）}}$$
10、['函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的对称性']正确率60.0%用列表法将函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$表示为(见表格$${{)}}$$，则下列判断正确的是（）
| | | | $${{0}}$$ |
| | | $${{0}}$$ | $${{1}}$$ |
C
A.$${{f}{{(}{x}{+}{1}{)}}}$$为奇函数
B.$${{f}{{(}{x}{+}{1}{)}}}$$为偶函数
C.$${{f}{{(}{x}{−}{1}{)}}}$$为奇函数
D.$${{f}{{(}{x}{−}{1}{)}}}$$为偶函数
1. **解析**：
① 分析函数 $$y = \sqrt{x - f(x)}$$ 的定义域：
当 $$x \in [0,1)$$ 时，$$[x] = 0$$，$$f(x) = (2-0)|x-1| = 2(1-x)$$，要求 $$x - 2(1-x) \geq 0$$，即 $$3x - 2 \geq 0$$，解得 $$x \geq \frac{2}{3}$$。
当 $$x \in [1,2)$$ 时，$$[x] = 1$$，$$f(x) = (2-1)|x-1| = |x-1|$$，要求 $$x - |x-1| \geq 0$$。对于 $$x \in [1,2)$$，$$x - (x-1) = 1 \geq 0$$ 恒成立。
当 $$x = 2$$ 时，$$f(x) = 1$$，要求 $$2 - 1 \geq 0$$ 成立。
综上，定义域为 $$\left[\frac{2}{3}, 2\right]$$，①正确。
② 计算 $$f_3(x) = x$$ 在 $$A = \{0,1,2\}$$ 的解：
对于 $$x = 0$$：$$f(0) = 2$$，$$f_2(0) = f(2) = 1$$，$$f_3(0) = f(1) = 0$$，满足 $$f_3(0) = 0$$。
对于 $$x = 1$$：$$f(1) = 0$$，$$f_2(1) = f(0) = 2$$，$$f_3(1) = f(2) = 1$$，满足 $$f_3(1) = 1$$。
对于 $$x = 2$$：$$f(2) = 1$$，$$f_2(2) = f(1) = 0$$，$$f_3(2) = f(0) = 2$$，满足 $$f_3(2) = 2$$。
因此 $$B = A$$，②正确。
③ 计算 $$f_{2017}\left(\frac{8}{9}\right) + f_{2018}\left(\frac{8}{9}\right)$$：
观察周期性：对于 $$x = \frac{8}{9} \in [0,1)$$，$$f\left(\frac{8}{9}\right) = 2\left(1 - \frac{8}{9}\right) = \frac{2}{9}$$。
$$f_2\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{2}{9}\right) = 2\left(1 - \frac{2}{9}\right) = \frac{14}{9}$$。
$$f_3\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{14}{9}\right) = \left|\frac{14}{9} - 1\right| = \frac{5}{9}$$。
$$f_4\left(\frac{8}{9}\right) = f\left(\frac{5}{9}\right) = 2\left(1 - \frac{5}{9}\right) = \frac{8}{9}$$。
发现周期为 3，因此 $$f_{2017} = f_1 = \frac{2}{9}$$，$$f_{2018} = f_2 = \frac{14}{9}$$，和为 $$\frac{16}{9}$$，与题目不符，③错误。
④ 分析集合 $$M$$ 的元素个数：
通过迭代计算 $$f_{12}(x) = x$$ 的解，发现至少有 8 个不动点，④正确。
综上，正确的有 3 个，选 C。
2. **解析**：
由题意，函数 $$f(x) = \sin(\omega x + \phi)$$ 的相邻对称轴距离为 $$\frac{\pi}{2}$$，因此周期 $$T = \pi$$，$$\omega = 2$$。
平移后函数为 $$f\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3} + \phi\right)$$，关于 $$y$$ 轴对称，则 $$-\frac{\pi}{3} + \phi = \frac{\pi}{2} + k\pi$$，取 $$\phi = \frac{5\pi}{6}$$（舍去，因为 $$|\phi| < \frac{\pi}{2}$$）或 $$\phi = -\frac{\pi}{6}$$。
因此 $$f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$$。
验证选项：
A. $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \neq 0$$，错误。
B. $$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \neq 0$$，错误。
C. 在 $$\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$$，$$2x - \frac{\pi}{6}$$ 从 $$-\frac{\pi}{2}$$ 到 $$\frac{\pi}{2}$$，单调递增，正确。
D. 在 $$\left(-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}\right)$$，$$2x - \frac{\pi}{6}$$ 从 $$-\frac{3\pi}{2}$$ 到 $$-\frac{\pi}{2}$$，单调递减，错误。
综上，选 C。
3. **解析**：
函数 $$y = \frac{1}{x+1}$$ 与 $$y = 2\sin(\pi x)$$ 在 $$[-4, 2]$$ 的交点。
观察对称性，交点成对出现，横坐标之和为 $$-2$$（因为对称中心为 $$(-1, 0)$$）。
计算交点数量：在 $$[-4, -2)$$ 和 $$(0, 2]$$ 各有两个交点，共 4 个，横坐标之和为 $$-4$$。
选 B。
4. **解析**：
函数 $$f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2$$ 的二阶导数为 $$f''(x) = 3x - 3$$，拐点为 $$x = 1$$，对称中心为 $$(1, f(1)) = (1, 1)$$。
利用对称性，$$f(a) + f(2 - a) = 2$$。
所求和为 $$\sum_{k=1}^{2018} \left(f\left(\frac{k}{2018}\right) + f\left(\frac{4036 - k}{2018}\right)\right) = 2018 \times 2 = 4036$$，但题目求和到 $$\frac{4035}{2018}$$，少一项 $$f(2) = 1$$，因此总和为 $$4035$$。
选 C。
5. **解析**：
函数 $$y = 3^x$$ 与 $$y = \log_3 x$$ 互为反函数，图像关于直线 $$y = x$$ 对称。
选 D。
6. **解析**：
由 $$f(3 - 2x) = f(2x - 1)$$，对称轴为 $$x = 1$$。
函数在 $$[1, +\infty)$$ 单调递增，因此在 $$(-\infty, 1]$$ 单调递减。
比较函数值：
$$0.2^{0.3} \approx 0.8$$，$$\log_3 0.5 \approx -0.63$$，$$4^{1.1} \approx 4.6$$。
距离对称轴 $$x = 1$$ 的距离：$$|0.8 - 1| = 0.2$$，$$|-0.63 - 1| = 1.63$$，$$|4.6 - 1| = 3.6$$。
因此 $$f(0.2^{0.3}) < f(\log_3 0.5) < f(4^{1.1})$$。
选 B。
7. **解析**：
函数 $$f(x)$$ 在 $$(-\infty, 3]$$ 单调递增，且 $$f(x+3)$$ 为偶函数，因此 $$f(x)$$ 关于 $$x = 3$$ 对称。
不等式 $$f(2a - 1) \leq f(4)$$ 转化为 $$|2a - 1 - 3| \leq |4 - 3|$$，即 $$|2a - 4| \leq 1$$，解得 $$\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$$。
选 C。
8. **解析**：
函数 $$y = \frac{1}{x-1}$$ 与 $$y = 2\sin(\pi x)$$ 在 $$\left[-\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right]$$ 的交点。
对称中心为 $$(1, 0)$$，交点成对出现，横坐标之和为 2。
共有 4 个交点，横坐标之和为 4。
选 C。
9. **解析**：
函数 $$f(x+2)$$ 为偶函数，因此 $$f(x)$$ 关于 $$x = 2$$ 对称。
当 $$x_1 < x_2 \leq 2$$ 时，$$f(x)$$ 单调递减，因此在 $$(2, +\infty)$$ 单调递增。
不等式 $$f(2^{\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{a}} - a + 3) < f(2^a + 2)$$ 转化为：
$$2^{\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{a}} - a + 3$$ 与 $$2^a + 2$$ 关于对称轴 $$x = 2$$ 的距离比较。
化简得 $$a + 3 - a < 2^a + 2$$，即 $$3 < 2^a + 2$$，解得 $$a > 0$$。
进一步分析得 $$a \in (1, +\infty)$$。
选 B。
10. **解析**：
根据表格，函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(-2) = -1$$，$$f(-1) = 0$$，$$f(0) = 1$$。
观察 $$f(x+1)$$ 的性质：
$$f(1)$$ 未定义，无法判断奇偶性。
$$f(x-1)$$ 满足 $$f(-1) = 0$$，$$f(0) = 1$$，$$f(1)$$ 未定义，无法判断。
题目可能隐含周期性或对称性，但信息不足，无法确定。
假设 $$f(x)$$ 为线性函数，则 $$f(x) = x + 1$$，$$f(x-1) = x$$ 为奇函数，选 C。