函数的周期性-3.2 函数的基本性质知识点专题进阶单选题自测题答案-宁夏回族自治区等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['函数的周期性']

正确率60.0%函数$$f ( x )=| \operatorname{s i n} \frac{\pi} {2} x |+| \operatorname{c o s} \frac{\pi} {2} x |$$的最小正周期是$${{(}{)}}$$

A.$${{π}}$$

B.$${{2}{π}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{2}}$$

2、['指数型复合函数的应用'， '函数的周期性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}}$$，且$$f^{\left( \begin{matrix} \end{matrix} \right.}=\left\{\begin{matrix} {2^{-x}-1 ( x \leqslant0 )} \\ {f ( x-1 ) ( x > 0 )} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x+a$$有两不同实根，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$

B.$$(-\infty， \ 1 ]$$

C.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$

D. $\text{[math]}$

3、['函数的周期性'， '函数单调性的判断']

正确率40.0%已知函数$$f ( x ) ( x \in R )$$的周期为$$T ( T > 0 )$$，且在$$( 0， T )$$上单调，则$${{(}{)}}$$

A.$${{f}{(}{{x}^{2}}{)}}$$是周期函数，且在$$( 0， \sqrt T )$$上单调

B.$${{f}{(}{{x}^{2}}{)}}$$不是周期函数，且在$$( 0， \sqrt T )$$上单调

C.$${{f}{(}{{x}^{2}}{)}}$$是周期函数，且在$$( 0， T^{2} )$$上单调

D.$${{f}{(}{{x}^{2}}{)}}$$不是周期函数，且在$$( 0， T^{2} )$$上单调

4、['函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，满足$$f ( x+1 )=-f ( x )$$，且在区间$$[-1， 0 ]$$上为递增，则$${{(}{)}}$$

A.$$f ( 3 ) < f ( \sqrt{2} ) < f ( 2 )$$

B.$$f \left( 2 \right) < f \left( 3 \right) < f \left( \sqrt{2} \right)$$

C.$$f \left( 3 \right) < f \left( 2 \right) < f \left( \sqrt{2} \right)$$

D.$$f \left( \sqrt{2} \right) < f \left( 2 \right) < f \left( 3 \right)$$

5、['函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '函数零点个数的判定']

正确率40.0%已知函数$$y=f \left( x \right) \left( x \in R \right)$$满足$$f \left( x+3 \right)=f \left( x+1 \right)$$，且$$x \in[-1， 1 ]$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{|}{x}{|}}}$$，则函数$$y=f \left( x \right)-\operatorname{l o g}_{5} x， \left( x > 0 \right)$$的零点个数是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

6、['函数的最大(小)值'， '函数图象的平移变换'， '函数的周期性']

正确率60.0%将函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} \， 2 x$$的图像向右平移$$\varphi\left( 0 < \varphi< \frac{\pi} {2} \right)$$个单位后得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像，若对满足$$| f ( x_{1} )-g ( x_{2} ) |=2$$的$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，有$$| x_{1}-x_{2} |_{\mathrm{m i n}}=\frac{\pi} {3}$$，则$${{φ}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

7、['导数的四则运算法则'， '基本初等函数的导数'， '函数的周期性'， '函数求值']

正确率60.0%已知$${{f}}$$$$( \textbf{x} ) \textbf{}=\operatorname{c o s} \textbf{x}$$，且$$f_{1} \， \left( \， x \right) \， \，=f^{\prime} \， \left( \， x \right) \， \，， \， \， \， f_{n+1} \， \left( \， x \right) \， \，=f_{n}^{\prime} \， \left( \， x \right) \， \， \， \， ( \， n \in N^{*} \， )$$，则 $\text{[math]}$ ）

A.$${{−}{{s}{i}{n}}}$$$${{x}}$$

B.$${{−}{{c}{o}{s}}}$$$${{x}}$$

C.$${{s}{i}{n}}$$$${{x}}$$

D.$${{c}{o}{s}}$$$${{x}}$$

8、['函数图象的识别'， '函数的周期性'， '函数求值']

正确率60.0%svg异常

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

9、['函数的周期性'， '函数的对称性']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$对任意的$${{x}{∈}{R}}$$都有$$f ( x+2 )-f ( x )=f ( 1 )$$若函数$$y=f ( x+2 )$$的图象关于$${{x}{=}{−}{2}}$$对称，且$$f ( 0 )=8$$，则$$f ( 9 9 )+f ( 1 0 0 )=( ~ ~ )$$

A.$${{0}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

10、['抽象函数的应用'， '函数的周期性']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x+1 )=-f ( x )$$，且当$$0 \leqslant x \leqslant1$$时，$$f ( x )=2 x ( 1-x )$$，则$$f \left( \frac{5} {2} \right)$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$- \frac{1} {4}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

1. 函数 $$f(x) = |\sin \frac{\pi}{2} x| + |\cos \frac{\pi}{2} x|$$ 的最小正周期解析：

首先计算 $$f(x+2) = |\sin \frac{\pi}{2}(x+2)| + |\cos \frac{\pi}{2}(x+2)| = |\sin(\frac{\pi}{2}x + \pi)| + |\cos(\frac{\pi}{2}x + \pi)| = |-\sin \frac{\pi}{2}x| + |-\cos \frac{\pi}{2}x| = f(x)$$，因此周期为 2。验证更小的周期不成立，故最小正周期为 $$2$$，选 D。

2. 方程 $$f(x) = x + a$$ 有两不同实根的解析：

分段函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为 $$2^{-x} - 1$$，在 $$x > 0$$ 时递归为 $$f(x-1)$$。画出图像可知，$$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时单调递减，在 $$x > 0$$ 时周期性重复。方程 $$f(x) = x + a$$ 有两不同实根的条件是直线 $$y = x + a$$ 与 $$f(x)$$ 图像有两个交点。通过分析斜率与截距，$$a$$ 的取值范围为 $$(-\infty, 1)$$，选 A。

3. 函数 $$f(x^2)$$ 的周期性与单调性解析：

设 $$f(x)$$ 的周期为 $$T$$，则 $$f(x^2)$$ 不是周期函数，因为 $$x^2$$ 不是线性变换。在 $$(0, \sqrt{T})$$ 上，$$x^2$$ 单调递增，且 $$f(x)$$ 在 $$(0, T)$$ 上单调，故 $$f(x^2)$$ 在 $$(0, \sqrt{T})$$ 上单调。选 B。

4. 偶函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+1) = -f(x)$$ 的解析：

由 $$f(x+1) = -f(x)$$ 可得 $$f(x+2) = f(x)$$，周期为 2。在 $$[-1, 0]$$ 上递增，由偶函数性质在 $$[0, 1]$$ 上递减。计算 $$f(3) = f(1)$$，$$f(2) = f(0)$$，$$f(\sqrt{2}) = f(\sqrt{2}-2)$$。比较函数值得 $$f(3) < f(\sqrt{2}) < f(2)$$，选 A。

5. 函数 $$y = f(x) - \log_5 x$$ 的零点个数解析：

由 $$f(x+3) = f(x+1)$$ 得 $$f(x)$$ 周期为 2。在 $$x \in [0, 5]$$ 内，$$f(x)$$ 与 $$\log_5 x$$ 的图像有 4 个交点，故零点个数为 4，选 B。

6. 函数平移后满足 $$|x_1 - x_2|_{\min} = \frac{\pi}{3}$$ 的解析：

平移后 $$g(x) = \sin(2x - 2\varphi)$$。$$|f(x_1) - g(x_2)| = 2$$ 要求 $$f(x_1)$$ 和 $$g(x_2)$$ 分别取极值 $$\pm 1$$ 且符号相反。设 $$x_1 = \frac{\pi}{4}$$，$$x_2 = \frac{3\pi}{4} + \varphi$$，则 $$|x_1 - x_2| = \frac{\pi}{3}$$ 解得 $$\varphi = \frac{\pi}{6}$$，选 D。

7. 高阶导数 $$f_{2017}(x)$$ 的解析：

$$f(x) = \cos x$$，导数循环周期为 4：$$f_1(x) = -\sin x$$，$$f_2(x) = -\cos x$$，$$f_3(x) = \sin x$$，$$f_4(x) = \cos x$$。$$2017 \mod 4 = 1$$，故 $$f_{2017}(x) = f_1(x) = -\sin x$$，选 A。

9. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+2) - f(x) = f(1)$$ 的解析：

由对称性知 $$f(x)$$ 关于 $$x = 0$$ 对称，故 $$f(1) = f(-1)$$。由递推式得 $$f(x+2) = f(x) + f(1)$$，为等差数列。$$f(0) = 8$$，$$f(2) = 8 + f(1)$$，$$f(4) = 8 + 2f(1)$$。由对称性 $$f(1) = f(-1)$$ 和 $$f(-1) = f(1) - f(1) = 0$$，故 $$f(1) = 0$$。因此 $$f(99) = f(1) = 0$$，$$f(100) = f(0) = 8$$，和为 8，选 C。

10. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+1) = -f(x)$$ 的解析：

由递推式得 $$f(x+2) = f(x)$$，周期为 2。$$f\left(\frac{5}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$$，当 $$x = \frac{1}{2}$$ 时，$$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$。选 A。

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