函数单调性的判断-函数的基本性质知识点考前进阶单选题自测题解析-天津市等高一数学必修,平均正确率52.0%

1. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{10 \ln |x + 1|}{x + 1}$$ 的定义域为 $$x \neq -1$$。分析其性质：

• 当 $$x > -1$$ 时，$$x + 1 > 0$$，函数为 $$f(x) = \frac{10 \ln (x + 1)}{x + 1}$$。
• 当 $$x < -1$$ 时，$$x + 1 < 0$$，函数为 $$f(x) = \frac{10 \ln (-x - 1)}{x + 1}$$（注意分母为负）。

进一步分析单调性和极限：

• 在 $$x > -1$$ 时，导数为 $$f'(x) = \frac{10(1 - \ln(x + 1))}{(x + 1)^2}$$，函数在 $$x + 1 < e$$ 时递增，在 $$x + 1 > e$$ 时递减。
• 在 $$x < -1$$ 时，函数为负，且随着 $$x \to -\infty$$，$$f(x) \to 0^-$$。

结合选项，正确的图象应反映上述性质，但题目未提供具体图象描述，故无法直接选择。

2. 解析：

函数 $$f(x) = 3^x - \left(\frac{1}{3}\right)^x$$ 分析：

• 奇偶性： $$f(-x) = 3^{-x} - \left(\frac{1}{3}\right)^{-x} = \frac{1}{3^x} - 3^x = -f(x)$$，故为奇函数。
• 单调性： 导数 $$f'(x) = \ln 3 \cdot 3^x + \ln 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$$，故在 $$R$$ 上为增函数。

正确答案为 A。

3. 解析：

要求函数为偶函数且在 $$(-\infty, 0)$$ 上单调递增：

• A选项： $$f(x) = -(x - 1)^2$$ 不是偶函数。
• B选项： $$f(x) = \log_2 \frac{1}{|x|}$$ 是偶函数，且在 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -\log_2 (-x)$$，导数为 $$f'(x) = -\frac{1}{x \ln 2} > 0$$，满足单调递增。
• C选项： $$f(x) = 3|x|$$ 是偶函数，但在 $$x < 0$$ 时单调递减。
• D选项： $$f(x) = \cos x$$ 是偶函数，但在 $$(-\infty, 0)$$ 上不单调。

正确答案为 B。

4. 解析：

根据题意：

• 条件②表明 $$f(x)$$ 为奇函数。
• 条件③表明 $$f(x)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增。

函数 $$g(x) = \frac{2f(x) - 3f(-x)}{x - 1} = \frac{5f(x)}{x - 1}$$（因 $$f(-x) = -f(x)$$）。

解不等式 $$g(x) \leq 0$$：

• 当 $$x > 1$$ 时，分母 $$x - 1 > 0$$，故需 $$f(x) \leq 0$$。由 $$f(1) = 0$$ 及单调性，$$f(x) \leq 0$$ 当且仅当 $$x \leq 1$$，无解。
• 当 $$x < 1$$ 时，分母 $$x - 1 < 0$$，故需 $$f(x) \geq 0$$。由奇函数性质及单调性，$$f(x) \geq 0$$ 当且仅当 $$x \geq 0$$，即 $$x \in [0, 1)$$。
• 结合 $$x = 0$$ 时 $$g(0) = 0$$，解集为 $$[-1, 0]$$（因奇函数在 $$x \in [-1, 0)$$ 时 $$f(x) \leq 0$$）。

正确答案为 D。

5. 解析：

要求在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减的函数：

• A选项： $$f(x) = \ln x$$ 单调递增。
• B选项： $$f(x) = (x - 1)^2$$ 在 $$(0, 1)$$ 递减，在 $$(1, +\infty)$$ 递增。
• C选项： $$f(x) = 2^{-x}$$ 可改写为 $$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$，单调递减。
• D选项： $$f(x) = x^3$$ 单调递增。

正确答案为 C。

6. 解析：

题目要求函数在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减：

• A选项： $$f(x) = \frac{1}{x} - x$$，导数为 $$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 1 < 0$$，满足条件。
• B选项： $$f(x) = x^3$$ 单调递增。
• C选项： $$f(x) = \ln x + e^x$$ 单调递增。
• D选项： $$f(x) = -x^2 + 2x$$ 在 $$(0, 1)$$ 递增，在 $$(1, +\infty)$$ 递减。

正确答案为 A。

7. 解析：

函数 $$f(x) = e^x - (a - 1)x - 1$$，求导得 $$f'(x) = e^x - (a - 1)$$。

由题意存在 $$x_0 \in (0, +\infty)$$ 使得 $$f(\lg x_0) > f(x_0)$$：

• 若 $$f'(x) \geq 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立，则 $$f(x)$$ 单调递增，此时需 $$\lg x_0 > x_0$$，但 $$\lg x_0 \leq x_0$$ 对所有 $$x_0 > 0$$ 成立，矛盾。
• 故需 $$f'(x)$$ 在某个区间为负，即 $$a - 1 > 1$$（因 $$e^x$$ 最小值为 1），即 $$a > 2$$。

正确答案为 D。

8. 解析：

逐一分析命题：

• (1)： 错误，函数可能在 $$x = 0$$ 处不连续或非单调。
• (2)： 错误，例如 $$a = 4$$，$$b = \frac{1}{2}$$ 时，$$m = \frac{1}{2}$$，$$n = -1$$，满足 $$m > n$$ 但 $$a > b$$。
• (3)： 正确，二次函数对称轴需满足 $$1 - a \geq 4$$，即 $$a \leq -3$$。
• (4)： 错误，减区间应为 $$(1, +\infty)$$ 和 $$(-\infty, -2)$$。

正确答案为 B（仅 (3) 正确）。

9. 解析：

要求偶函数且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增：

• A选项： $$y = x|x|$$ 为奇函数。
• B选项： $$y = \sqrt{x}$$ 非偶函数。
• C选项： $$y = e^{|x|}$$ 是偶函数，且在 $$x > 0$$ 时导数为 $$e^x > 0$$，满足条件。
• D选项： $$y = \ln \frac{1}{|x|}$$ 在 $$x > 0$$ 时单调递减。

正确答案为 C。

10. 解析：

分析各函数在 $$(0, +\infty)$$ 上的单调性：

• ①： $$y = |x| = x$$ 单调递增。
• ②： $$y = \frac{|x|}{x} = 1$$ 为常数。
• ③： $$y = -\frac{x^2}{|x|} = -x$$ 单调递减。
• ④： $$y = x + \frac{x}{|x|} = x + 1$$ 单调递增。

正确答案为 D（①和④）。