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正确率60.0%下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（）
D
A.$${{y}{=}{l}{n}{{x}^{3}}}$$
B.$${{y}{=}{−}{{x}^{2}}}$$
C.$$y=-\frac{1} {x}$$
D.$${{y}{=}{x}{|}{x}{|}}$$
2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '数列的递推公式'， '单调性的定义与证明'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=4， \ a_{n+1}=4-\frac{4} {a_{n}}$$，且$$f ( n )=( a_{1}-2 ) ( a_{2}-2 )+( a_{2}-2 ) ( a_{3}-2 )+\cdots+( a_{n}-2 ) ( a_{n+1}-2 )$$.若对于任意正整数$${{n}{⩾}{3}}$$，等式$${{f}{(}{n}{)}{⩾}{{u}^{2}}{−}{2}{u}}$$恒成立，则实数$${{u}}$$的最小值为（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{5}}$$
3、['函数奇偶性的应用'， '单调性的定义与证明'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '函数单调性的判断']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，若对于任意给定的实数$${{x}_{1}{、}{{x}_{2}}}$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，不等 式$${{x}_{1}{f}{(}{{x}_{1}}{)}{+}{{x}_{2}}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{<}{{x}_{1}}{f}{(}{{x}_{2}}{)}{+}{{x}_{2}}{f}{(}{{x}_{1}}{)}}$$恒成立，则不等式$${{(}{x}{+}{1}{)}{⋅}{f}{(}{1}{−}{2}{x}{)}{<}{0}}$$的解集为$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-1， \frac{1} {2} )$$
B.$$(-\frac{1} {2}， \， 1 )$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
D.$$(-\frac{1} {2}， \， \frac{1} {2} )$$
4、['一元二次方程的解集'， '单调性的定义与证明'， '函数零点的概念']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{（}{{x}^{2}}{−}{3}{）}{{e}^{x}}}$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f^{2} ~ ( \textbf{x} ) ~-m f ~ ( \textbf{x} ) ~-\frac{1 2} {e^{2}}=0$$的不同实数根的个数为$${{n}}$$，则$${{n}}$$的所有可能值为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$或$${{3}}$$
C.$${{3}}$$或$${{5}}$$
D.$${{1}}$$或$${{3}}$$或$${{5}}$$
5、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断'， '函数单调性的应用'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%若$${{y}{=}{a}{x}}$$与$$y=-\frac{b} {x}$$在区间$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上都是减函数，则$${{y}{=}{a}{{x}^{2}}{+}{b}{x}}$$在区间$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上（）
B
A.是增函数
B.是减函数
C.先增后减
D.先减后增
6、['N次方根的定义与性质'， '函数奇、偶性的定义'， '单调性的定义与证明'， '函数的定义'， '函数求定义域']正确率40.0%下列说法正确的是：$${{(}{)}}$$
$${①}$$函数的定义域不可以为空集
$${②{y}{=}{1}}$$因为没有自变量，所以不是函数
$${③}$$存在既是奇函数又是偶函数的函数
$${④}$$若函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$上单调递增，在$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$上也单调递增，则在$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}{⋃}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增．
$${⑤{^{4}\sqrt {{1}{6}}}{=}{±}{2}}$$
C
A.$${②{③}{④}}$$
B.$${①{②}{⑤}}$$
C.$${①{③}}$$
D.$${③{④}{⑤}}$$
7、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '抽象函数的应用'， '单调性的定义与证明'， '对数方程与对数不等式的解法'， '函数的对称性']正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}{，}{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$为偶函数，且对$${任{意}{{x}_{1}}{<}{{x}_{2}}{⩽}{1}{，}}$$满足$$\frac{f ( x_{2} )-f ( x_{1} )} {x_{2}-x_{1}} < 0.$$若$${{f}{(}{3}{)}{=}{1}}$$，则不等式$${{f}{(}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{)}{<}{1}}$$的解集为（）
A
A.$$( \frac{1} {2}， 8 )$$
B.$${{(}{1}{，}{8}{)}}$$
C.$$( 0， \frac{1} {2} ) \cup( 8，+\infty)$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}{∪}{(}{8}{，}{+}{∞}{)}}$$
8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '单调性的定义与证明'， '函数单调性的应用']正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {( 2-a ) x+1} & {( x < 1 )} \\ {a^{x}} & {( x \geq1 )} \\ \end{array} \right.$$满足对任意$$x_{1} \neq x_{2}， ~ \# \neq\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0$$成立，那么$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{3} {2}， \ 2 )$$
B.$$( 1， ~ \frac{3} {2} ]$$
C.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
D.$${（{1}{，}{+}{∞}{）}}$$
9、['单调性的定义与证明'， '函数单调性的判断']正确率40.0%若$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是$${（{−}{1}{，}{2}{）}}$$内的任意两个值，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，则以下式子可以说明函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在$${（{−}{1}{，}{2}{）}}$$内单调递减的是（）
B
A.$${（{f}{（}{{x}_{1}}{）}{−}{f}{（}{{x}_{2}}{）}{）}{（}{{x}_{1}}{−}{{x}_{2}}{）}{>}{0}}$$
B.$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0$$
C.$${{f}{（}{{x}_{1}}{）}{−}{f}{（}{{x}_{2}}{）}{<}{0}}$$
D.$${{f}{（}{{x}_{1}}{）}{>}{f}{（}{{x}_{2}}{）}}$$
10、['单调性的定义与证明']正确率60.0%若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，且在$${{(}{0}}$$，$${{+}{∞}{)}}$$上单调递减，则下列不等式成立的是（）
B
A.$$f \left( \frac3 4 \right) > f ( a^{2}-a+1 )$$
B.$$f \left( \frac3 4 \right) \geqslant f ( a^{2}-a+1 )$$
C.$$f \left( \frac3 4 \right) < f ( a^{2}-a+1 )$$
D.$$f \left( \frac3 4 \right) \leqslant f ( a^{2}-a+1 )$$
1. 解析：
函数在定义域内既是奇函数又是增函数，需满足：
- 奇函数：$$f(-x)=-f(x)$$
- 增函数：若$$x_1 < x_2$$，则$$f(x_1) < f(x_2)$$
选项分析：
A. $$y=\ln x^3$$：定义域为$$x>0$$，不关于原点对称，非奇函数。
B. $$y=-x^2$$：是偶函数，且在定义域内非增函数。
C. $$y=-\frac{1}{x}$$：是奇函数，但在定义域内非增函数（分段递减）。
D. $$y=x|x|$$：
- 奇函数：$$f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)$$
- 增函数：当$$x>0$$时，$$f(x)=x^2$$单调递增；当$$x<0$$时，$$f(x)=-x^2$$单调递增。
综上，正确答案为 D。
2. 解析：
给定递推关系$$a_{n+1}=4-\frac{4}{a_n}$$，初始值$$a_1=4$$。
步骤1：求通项公式
设$$b_n=a_n-2$$，则递推式变为：
$$b_{n+1}=2-\frac{4}{b_n+2}=\frac{2b_n}{b_n+2}$$
取倒数得：
$$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{b_n}$$
解得：
$$\frac{1}{b_n}=\frac{n}{2}$$，即$$b_n=\frac{2}{n}$$
因此$$a_n=2+\frac{2}{n}$$。
步骤2：计算$$f(n)$$
$$f(n)=\sum_{k=1}^n (a_k-2)(a_{k+1}-2)=\sum_{k=1}^n \frac{2}{k} \cdot \frac{2}{k+1}=4\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=4\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$$
步骤3：求$$u$$的最小值
不等式$$f(n)\geq u^2-2u$$对$$n\geq3$$恒成立，即：
$$4\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\geq u^2-2u$$
当$$n=3$$时，$$f(3)=3$$，故：
$$3\geq u^2-2u$$，解得$$-1\leq u\leq3$$
因此$$u$$的最小值为$$-1$$，正确答案为 A。
3. 解析：
由题意，函数$$f(x)$$是奇函数，且满足：
$$x_1f(x_1)+x_2f(x_2) < x_1f(x_2)+x_2f(x_1)$$
化简得：
$$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2)) < 0$$
即$$f(x)$$在定义域内单调递减。
解不等式$$(x+1)f(1-2x) < 0$$：
- 当$$x+1>0$$（即$$x>-1$$）时，$$f(1-2x) < 0$$。由于$$f(0)=0$$且$$f(x)$$单调递减，故$$1-2x>0$$，即$$x<\frac{1}{2}$$。
- 当$$x+1<0$$（即$$x<-1$$）时，$$f(1-2x)>0$$。此时$$1-2x<0$$，即$$x>\frac{1}{2}$$，与$$x<-1$$矛盾，无解。
综上，解集为$$(-1,\frac{1}{2})$$，正确答案为 A。
4. 解析：
设$$t=f(x)=(x^2-3)e^x$$，方程化为$$t^2-mt-\frac{12}{e^2}=0$$。
判别式$$\Delta=m^2+\frac{48}{e^2}>0$$，方程有两个实数解$$t_1$$和$$t_2$$。
分析$$f(x)$$的图像：
- 导数$$f'(x)=(x^2+2x-3)e^x$$，临界点为$$x=-3$$和$$x=1$$。
- 当$$x\to-\infty$$，$$f(x)\to0^-$$；当$$x\to+\infty$$，$$f(x)\to+\infty$$。
- 极小值$$f(1)=-2e$$，极大值$$f(-3)=\frac{6}{e^3}$$。
可能情况：
1. 若$$t_1$$和$$t_2$$均小于$$-2e$$或大于$$\frac{6}{e^3}$$，则$$f(x)=t$$有1个解。
2. 若$$t_1$$或$$t_2$$在$$(-2e,\frac{6}{e^3})$$内，则$$f(x)=t$$有3个解。
3. 若$$t_1=-2e$$或$$t_2=\frac{6}{e^3}$$，则$$f(x)=t$$有2个解。
但题目要求不同实数根的个数，因此$$n$$的可能值为1或3，正确答案为 B。
5. 解析：
由题意：
- $$y=ax$$在$$(0,+\infty)$$上减函数，故$$a<0$$。
- $$y=-\frac{b}{x}$$在$$(0,+\infty)$$上减函数，故$$-b<0$$，即$$b>0$$。
函数$$y=ax^2+bx$$的导数为$$y'=2ax+b$$。
在$$(0,+\infty)$$上，$$2ax+b$$的符号由$$x$$决定：
- 当$$x<\frac{-b}{2a}$$时，$$y'>0$$，函数递增。
- 当$$x>\frac{-b}{2a}$$时，$$y'<0$$，函数递减。
因此函数先增后减，正确答案为 C。
6. 解析：
逐项分析：
① 错误，定义域可以为空集（如$$f(x)=\sqrt{-x^2-1}$$）。
② 错误，$$y=1$$是常数函数。
③ 正确，如$$f(x)=0$$既是奇函数又是偶函数。
④ 错误，函数在并集上不一定单调递增（如$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$）。
⑤ 错误，$$\sqrt[4]{16}=2$$。
综上，正确答案为 C（仅③正确）。
7. 解析：
由题意：
- $$f(x+1)$$为偶函数，故$$f(x+1)=f(-x+1)$$，对称轴为$$x=1$$。
- 对$$x_1 由对称性，$$f(x)$$在$$[1,+\infty)$$上单调递增。 已知$$f(3)=1$$，由对称性$$f(-1)=1$$。 解不等式$$f(\log_2 x)<1$$： - 若$$\log_2 x \leq1$$（即$$x\leq2$$），则$$\log_2 x>-1$$，即$$x>\frac{1}{2}$$。 - 若$$\log_2 x>1$$（即$$x>2$$），则$$\log_2 x<3$$，即$$x<8$$。 综上，解集为$$(\frac{1}{2},8)$$，正确答案为 A。
8. 解析：
函数$$f(x)$$为分段函数，需满足整体单调递增：
- 第一段$$(2-a)x+1$$在$$x<1$$上递增，要求$$2-a>0$$，即$$a<2$$。
- 第二段$$a^x$$在$$x\geq1$$上递增，要求$$a>1$$。
- 在$$x=1$$处连续且左极限不大于右极限：
$$(2-a)\cdot1+1\leq a^1$$，即$$3\leq2a$$，故$$a\geq\frac{3}{2}$$。
综上，$$a\in[\frac{3}{2},2)$$，正确答案为 A。
9. 解析：
函数单调递减的充要条件是：
$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$$
即选项 B，正确答案为 B。
10. 解析：
由题意，$$f(x)$$在$$(0,+\infty)$$上单调递减。
注意到$$a^2-a+1=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}$$。
因此：
- 若$$a^2-a+1>\frac{3}{4}$$，则$$f(a^2-a+1) - 若$$a^2-a+1=\frac{3}{4}$$，则$$f(a^2-a+1)=f\left(\frac{3}{4}\right)$$。 综上，$$f\left(\frac{3}{4}\right)\geq f(a^2-a+1)$$，正确答案为 B。