函数的奇偶性-3.2 函数的基本性质知识点专题基础选择题自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率72.0%

1、['命题的概念'， '函数图象的识别'， '函数的奇偶性']

正确率40.0%

中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美 $${{.}}$$ 定义图象能够将圆 $${{O}{(}{O}}$$ 为坐标原点 $${{)}}$$ 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 $${{O}}$$ 的一个“太极函数”，给出下列命题：

$${①}$$ 对于任意一个圆 $${{O}}$$ ，其“太极函数”有无数个 $${{;}}$$

$${②}$$ 函数 $$f ( x )=\operatorname{l n} ( \sqrt{x^{2}+1}-x )$$ 可以是某个圆 $${{O}}$$ 的“太极函数” $${{;}}$$

$${③}$$ 函数 $$f ( x )=x^{\frac2 3}$$ 可以同时是无数个圆 $${{O}}$$ 的“太极函数” $${{;}}$$

$${④}$$ 函数 $$y=f ( x )$$ 是“太极函数”的充要条件为 $$y=f ( x )$$ 的图象是中心对称图形.

其中正确结论的序号是$${{(}{)}}$$

A.$${①{②}}$$

B.$${①{②}{④}}$$

C.$${①{③}}$$

D.$${①{④}}$$

2、['函数图象的识别'， '函数的奇偶性']

正确率80.0%函数$$y=\left( 3^{x}-3^{-x} \right) \operatorname{c o s} x$$在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \frac{\pi} {2} ]$$的图象大致为$${{(}{)}}$$

3、['抽象函数的应用'， '函数的奇偶性']

正确率80.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x+3 )=-f ( x )$$，$$g ( x )=f ( x )-2$$为奇函数，则$$f ( 1 9 8 )=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

4、['函数的基本性质'， '函数的奇偶性'， '函数的单调区间']

正确率80.0%下列函数中，既是偶函数，又是在区间$$( 0，+\infty)$$上单调递减的是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$

B.$$y=2^{-| x |}$$

C.$${{y}{=}{\sqrt {x}}}$$

D.$$y=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} \， x$$

5、['函数的奇偶性'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=a x^{2}+b x+3 a+b$$是定义域为$$[ a-1， 2 a ]$$的偶函数，$${{a}{+}{b}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{−}{1}}$$

6、['三角函数的图象与性质'， '函数的奇偶性']

正确率80.0%下列函数中，周期为$${{1}}$$的奇函数是$${{(}{)}}$$

A.$$y=1-\operatorname{s i n} x$$

B.$$y=-\operatorname{s i n} \pi x$$

C.$$y=\operatorname{s i n} \pi x \operatorname{c o s} \pi x$$

D.$$y=\operatorname{s i n} ( 2 \pi x+\frac{\pi} {3} )$$

7、['函数的奇偶性']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{R}}$$，若$$f ( 2 x+1 )$$为偶函数，$$f ( x+2 )$$为奇函数，则$${{(}{)}}$$

A.$$f (-1 )=0$$

B.$$f ( 1 )=0$$

C.$$f ( 2 0 2 2 )=0$$

D.$$f ( 2 0 2 3 )=0$$

8、['函数的奇偶性']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=e^{2 x}+e^{-2 x+2}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$$f ( x+1 )$$为奇函数

B.$$f ( x+\frac{1} {2} )$$为偶函数

C.$$f ( x-1 )$$为奇函数

D.$$f ( x-\frac{1} {2} )$$为偶函数

9、['函数的奇偶性']

正确率80.0%如果偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 3， 7 ]$$上是增函数且最小值是$${{5}}$$，那么$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[-7，-3 ]$$上是$${{(}{)}}$$

A.增函数且最大值是$${{−}{5}}$$

B.减函数且最大值是$${{−}{5}}$$

C.增函数且最小值是$${{−}{5}}$$

D.减函数且最小值是$${{−}{5}}$$

10、['函数的奇偶性']

正确率80.0%下列函数为偶函数的是$${{(}{)}}$$

A.$$y=| x |$$

B.$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$

C.$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$

D.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$

1. 解析：

① 正确。圆 $$O$$ 的“太极函数”只需满足将圆的周长和面积同时等分，例如所有过圆心的直线对应的函数都满足条件，因此有无数个。
② 错误。函数 $$f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$$ 是奇函数，但其图像不对称于原点，无法将圆的面积和周长同时等分。
③ 正确。函数 $$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$$ 是奇函数，对于以原点为圆心的圆，可以满足“太极函数”的条件，且存在无数个这样的圆。
④ 错误。中心对称图形不一定能将圆的周长和面积同时等分，例如某些非对称函数也可能满足条件。
综上，正确选项为 $$C$$（①③）。

2. 解析：

函数 $$y=(3^x-3^{-x})\cos x$$ 是奇函数，因为 $$3^x-3^{-x}$$ 为奇函数，$$\cos x$$ 为偶函数，奇函数乘以偶函数结果为奇函数。图像关于原点对称，且在 $$x=0$$ 处 $$y=0$$。观察选项，只有 $$A$$ 符合奇函数特性且在原点通过零点。

3. 解析：

由 $$f(x+3)=-f(x)$$ 知函数周期为 $$6$$。又 $$g(x)=f(x)-2$$ 为奇函数，故 $$g(0)=0$$，即 $$f(0)=2$$。根据周期性，$$f(198)=f(6 \times 33)=f(0)=2$$。选项 $$C$$ 正确。

4. 解析：

$$A$$ 是偶函数但在 $$(0,+\infty)$$ 上单调递增；$$B$$ 是偶函数且在 $$(0,+\infty)$$ 上单调递减；$$C$$ 和 $$D$$ 不是偶函数。因此选项 $$B$$ 正确。

5. 解析：

函数为偶函数，定义域对称，故 $$a-1=-2a$$，解得 $$a=\frac{1}{3}$$。又 $$f(-x)=f(x)$$，代入得 $$b=0$$。因此 $$a+b=\frac{1}{3}$$，选项 $$B$$ 正确。

6. 解析：

$$A$$ 不是奇函数；$$B$$ 周期为 $$2$$；$$D$$ 不是奇函数；$$C$$ 化简为 $$y=\frac{1}{2}\sin(2\pi x)$$，周期为 $$1$$ 且为奇函数。选项 $$C$$ 正确。

7. 解析：

$$f(2x+1)$$ 为偶函数，故 $$f(-2x+1)=f(2x+1)$$，对称轴为 $$x=1$$。$$f(x+2)$$ 为奇函数，故 $$f(-x+2)=-f(x+2)$$，对称中心为 $$(2,0)$$。结合周期性可知 $$f(2023)=f(2 \times 1011 +1)=f(1)$$，由对称性 $$f(1)=0$$。选项 $$B$$ 正确。

8. 解析：

函数 $$f(x)=e^{2x}+e^{-2x+2}$$ 对称中心为 $$x=\frac{1}{2}$$。平移后 $$f(x-1)$$ 的对称中心为 $$x=\frac{3}{2}$$，不满足奇函数条件；而 $$f(x-\frac{1}{2})$$ 的对称中心为 $$x=1$$，也不满足。实际上 $$f(x+1)$$ 为奇函数，但选项未给出。进一步分析，$$f(x+\frac{1}{2})$$ 为偶函数，选项 $$B$$ 正确。

9. 解析：

偶函数在对称区间单调性相反，因此 $$f(x)$$ 在 $$[-7,-3]$$ 上是减函数且最大值为 $$5$$。选项 $$B$$ 正确。

10. 解析：

$$A$$ 是偶函数；$$B$$、$$C$$、$$D$$ 均非偶函数。选项 $$A$$ 正确。

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