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正确率40.0%函数$$y=\frac{1} {x+1}$$与$$y=2 \operatorname{s i n} \pi x (-4 \leqslant x \leqslant2 )$$的图象所有交点的横坐标之和等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
2、['函数的对称性'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断'， '不等式的性质']正确率60.0%下列命题是真命题的是（）
C
A.$$\exists x_{0} \in\mathrm{~ ( 0， ~+\infty) ~}， \mathrm{~ 3^{x_{0}} < l o g_{3} x_{0} ~}$$
B.若$${{a}{>}{b}}$$，则$$a m^{2} > b m^{2}$$
C.已知$${{A}{，}{B}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的两个内角，若$${{A}{>}{B}}$$，则$$\operatorname{s i n} A > \operatorname{s i n} B$$
D.函数$$y=f ~ ( 1+x )$$的图象与函数$$y=f ~ ( 1-x )$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$对称
3、['函数的综合问题'， '函数的对称性'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知定义域为$${{R}}$$的函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {3 \sqrt{1-[ x-( 2 k-1 ) ]^{2}}， \ x \in( 2 k-2. 2 k ]， \ k \in N^{*}} \\ {{\frac{2} {5}} x-{\frac{1} {5}}， \ x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，则此函数图象上关于原点对称的点有（）
B
A.$${{7}}$$对
B.$${{8}}$$对
C.$${{9}}$$对
D.以上都不对
4、['利用导数讨论函数单调性'， '函数的对称性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$$f^{\prime} ( x )， f ( 2-x )=f ( x ) e^{2-2 x}$$$${{(}{e}}$$为自然对数的底数$${{)}}$$，且当$${{x}{≠}{1}}$$时，$$( x-1 ) \， [ f^{\prime} ( x )-f ( x ) ] > 0$$，则（）
C
A.$$f \left( 1 \right) < f \left( 0 \right)$$
B.$$f \left( 2 \right) > e f \left( 0 \right)$$
C.$$f \left( 3 \right) > e^{3} f \left( 0 \right)$$
D.$$f \left( 4 \right) < e^{4} f \left( 0 \right)$$
5、['函数的对称性']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{c o s} ~ ( \frac{\pi} {3} )$$图象的一条对称轴方程为（）
C
A.$$x=\frac{\pi} {6}$$
B.$$x=\frac{\pi} {1 2}$$
C.$$x=-\frac{\pi} {6}$$
D.$$x=\frac{\pi} {2}$$
6、['函数的对称性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$对称，当$${{x}{>}{1}}$$时，$$( x-1 ) f^{\prime} ( x ) < 0$$恒成立，设$$a=f (-\frac{1} {2} )， \， \， b=f ( 2 )， \， \， \， c=f ( e )$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为$${{(}{)}}$$
D
A.$$c > a > b$$
B.$$c > b > a$$
C.$$a > c > b$$
D.$$b > a > c$$
8、['函数的对称性'， '函数单调性的判断'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%设$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在实数集$${{R}}$$上的函数，满足条件$$y=f ( x+1 )$$是偶函数，且当$${{x}{⩾}{1}}$$时，$$f ( x )=( \frac{1} {3} )^{x}-1$$，则$$f ( \frac{2} {5} ) \;， \; f ( \frac{1} {2} ) \;， \; f ( \frac{5} {4} )$$的大小关系是（）
D
A.$$f ( \frac{2} {5} ) > f ( \frac{1} {2} ) > f ( \frac{5} {4} )$$
B.$$f ( \frac{2} {5} ) > f ( \frac{5} {4} ) > f ( \frac{1} {2} )$$
C.$$f ( \frac{1} {2} ) > f ( \frac{2} {5} ) > f ( \frac{5} {4} )$$
D.$$f ( \frac{5} {4} ) > f ( \frac{1} {2} ) > f ( \frac{2} {5} )$$
9、['函数的周期性'， '函数求值'， '函数的对称性'， '函数性质的综合应用']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( 2-x )=-f ( x )$$，且$$f ( x-2 )=f (-x )$$，当$$x \in(-1， 1 )$$时，$$f ( x )=x^{2}+1$$，则$$f ( 2 0 2 0 )=( \textit{} )$$
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
10、['函数奇、偶性的定义'， '函数的对称性'， '利用函数单调性比较大小'， '函数性质的综合应用']正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( 8，+\infty)$$上单调递减，且函数$$y=f ( x+8 )$$为偶函数，则（）
D
A.$$f ( 6 ) > f ( 7 )$$
B.$$f ( 6 ) > f ( 9 )$$
C.$$f ( 7 ) > f ( 9 )$$
D.$$f ( 7 ) > f ( 1 0 )$$
1. 函数 $$y=\frac{1}{x+1}$$ 与 $$y=2\sin \pi x (-4 \leqslant x \leqslant 2)$$ 的图象交点横坐标之和。
分析：两函数交点满足 $$\frac{1}{x+1}=2\sin \pi x$$。观察对称性，令 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 关于 $$x=-1$$ 对称，即 $$x_1+x_2=-2$$。在区间 $$[-4,2]$$ 内，交点成对出现，每对横坐标之和为 $$-2$$。计算交点对数：通过图像或函数性质判断有 3 对交点，因此总和为 $$3 \times (-2) = -6$$。
答案：A. $$-6$$
2. 判断命题真伪。
A. $$\exists x_0 \in (0, +\infty), 3^{x_0} < \log_3 x_0$$：当 $$x_0=1$$ 时，$$3^1=3$$，$$\log_3 1=0$$，不成立；$$x_0<1$$ 时，$$\log_3 x_0<0$$，而 $$3^{x_0}>0$$，不成立；$$x_0>1$$ 时，$$3^{x_0}>1$$，$$\log_3 x_0>0$$，但增长速率不同，实际上 $$3^x$$ 远大于 $$\log_3 x$$，故不存在，假命题。
B. 若 $$a>b$$，则 $$a m^2 > b m^2$$：当 $$m=0$$ 时，不等式不成立，假命题。
C. 已知 $$A,B$$ 为 $$\triangle ABC$$ 内角，若 $$A>B$$，则 $$\sin A > \sin B$$：在 $$(0,\pi)$$ 内正弦函数单调递增，真命题。
D. 函数 $$y=f(1+x)$$ 与 $$y=f(1-x)$$ 关于 $$x=1$$ 对称：实际上关于 $$x=0$$ 对称，假命题。
答案：C
3. 函数 $$f(x)$$ 定义域为 $$R$$，分段定义，求图象上关于原点对称的点对数。
分析：函数分为两部分：$$x \leqslant 0$$ 时 $$f(x)=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$$；$$x>0$$ 时 $$f(x)=3\sqrt{1-[x-(2k-1)]^2}$$，其中 $$x \in (2k-2,2k]$$，$$k \in N^*$$。关于原点对称要求 $$f(-x)=-f(x)$$。
计算：$$x \leqslant 0$$ 部分为直线，易得对称点；$$x>0$$ 部分为半圆，需找对称点。通过图像分析或代入验证，可得共有 7 对点满足条件。
答案：A. $$7$$ 对
4. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(2-x)=f(x)e^{2-2x}$$，且当 $$x \neq 1$$ 时 $$(x-1)[f'(x)-f(x)]>0$$，判断选项。
分析：由条件构造 $$g(x)=\frac{f(x)}{e^x}$$，则 $$g'(x)=\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}$$。根据不等式，当 $$x>1$$ 时 $$g'(x)>0$$，$$x<1$$ 时 $$g'(x)<0$$，故 $$g(x)$$ 在 $$x=1$$ 处取最小值。
由对称性 $$f(2-x)=f(x)e^{2-2x}$$ 得 $$g(2-x)=g(x)$$，即 $$g(x)$$ 关于 $$x=1$$ 对称。
因此 $$g(1)$$ 最小，比较各点：$$g(0)=g(2)$$，$$g(3)=g(-1)$$ 等。具体计算：$$f(2)=f(0)e^{2}$$，即 $$f(2)=e^2 f(0)$$，故 $$f(2)>e f(0)$$（因为 $$e>1$$）。
答案：B. $$f(2)>e f(0)$$
5. 函数 $$y=\cos \frac{\pi}{3}$$ 图象的对称轴方程。
注意：函数为常数函数 $$y=\frac{1}{2}$$，其图象为水平直线，所有垂直直线均为对称轴，但选项中只有 $$x=\frac{\pi}{2}$$ 合理（其他值如 $$\frac{\pi}{6}$$ 等也可，但需符合选项）。
答案：D. $$x=\frac{\pi}{2}$$
6. 函数 $$f(x)$$ 关于 $$x=1$$ 对称，且当 $$x>1$$ 时 $$(x-1)f'(x)<0$$，比较 $$a=f(-\frac{1}{2})$$，$$b=f(2)$$，$$c=f(e)$$ 的大小。
分析：对称性 implies $$f(1+x)=f(1-x)$$。导数条件表明 $$x>1$$ 时 $$f'(x)<0$$，即 $$f(x)$$ 在 $$(1,+\infty)$$ 单调递减。
计算各点：$$a=f(-\frac{1}{2})=f(2.5)$$（因为 $$1-(-0.5)=1.5$$，对称点 $$1+1.5=2.5$$）；$$b=f(2)$$；$$c=f(e) \approx f(2.718)$$。由于在 $$(1,+\infty)$$ 递减，且 $$2.718>2.5>2$$，故 $$f(2)>f(2.5)>f(2.718)$$，即 $$b>a>c$$。
答案：D. $$b>a>c$$
8. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$y=f(x+1)$$ 是偶函数，且当 $$x \geqslant 1$$ 时 $$f(x)=(\frac{1}{3})^x-1$$，比较 $$f(\frac{2}{5})$$，$$f(\frac{1}{2})$$，$$f(\frac{5}{4})$$。
分析：$$y=f(x+1)$$ 偶函数 implies $$f(1+x)=f(1-x)$$，即关于 $$x=1$$ 对称。当 $$x \geqslant 1$$ 时 $$f(x)$$ 递减（因为底数 $$\frac{1}{3}<1$$）。
计算各点：$$f(\frac{5}{4})$$ 直接代入；$$f(\frac{1}{2})=f(1.5)$$（对称性）；$$f(\frac{2}{5})=f(1.8)$$（对称性）。由于在 $$x \geqslant 1$$ 递减，且 $$1.8>1.5>1.25$$，故 $$f(1.8) 答案：D. $$f(\frac{5}{4})>f(\frac{1}{2})>f(\frac{2}{5})$$
9. 函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(2-x)=-f(x)$$ 和 $$f(x-2)=f(-x)$$，且当 $$x \in (-1,1)$$ 时 $$f(x)=x^2+1$$，求 $$f(2020)$$。
分析：由 $$f(x-2)=f(-x)$$ 得 $$f(x)$$ 为偶函数？结合 $$f(2-x)=-f(x)$$，可推周期性。令 $$x \to x+1$$ 等，得周期为 4？具体：$$f(x+4)=f(x)$$。
计算：$$2020 \div 4=505$$ 余 0，故 $$f(2020)=f(0)$$。在 $$(-1,1)$$ 内，$$f(0)=0^2+1=1$$。
答案：C. $$1$$
10. 函数 $$f(x)$$ 在 $$(8,+\infty)$$ 递减，且 $$y=f(x+8)$$ 为偶函数，判断选项。
分析：$$y=f(x+8)$$ 偶函数 implies $$f(8+x)=f(8-x)$$，即关于 $$x=8$$ 对称。在 $$(8,+\infty)$$ 递减，则在 $$(-\infty,8)$$ 递增。
比较各点：$$f(6)=f(10)$$（对称）；$$f(7)=f(9)$$（对称）；由于在 $$(8,+\infty)$$ 递减，故 $$f(9)>f(10)$$，即 $$f(7)>f(10)$$。
答案：D. $$f(7)>f(10)$$