函数单调性的应用-3.2 函数的基本性质知识点回顾进阶选择题自测题答案-陕西省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['充分、必要条件的判定'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为实数，则$$` ` a^{5} < b^{5 "}$$是$$\iota\iota2^{a} < 2^{b \eta}$$的（）

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

2、['函数图象的平移变换'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的函数$$， ~ f ( x+1 )$$是偶函数，且对任意$$x_{1}， \， \， x_{2} \in[ 1， \， \， \，+\infty) ( x_{1} \neq x_{2} )，$$都有$$( x_{2}-x_{1} ) [ f ( x_{2} )-f ( x_{1} ) ] < 0，$$若$$f ( \mathrm{l n} a ) \geqslant f (-1 )，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left( 0， \enspace\frac{1} {\mathrm{e}} \right]$$

B.$$\left[ \frac{1} {\mathrm{e}}， \， \mathrm{e} \right]$$

C.$$\left[ \frac{1} {\mathrm{e}}， \ \mathrm{e^{3}} \right]$$

D.$$[ \mathrm{e}^{3}， ~+\infty)$$

3、['函数奇偶性的应用'， '利用函数单调性解不等式'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，在$$(-\infty， 0 ]$$上是减函数且$$f ( 2 )=0$$，则使$$x f ( x ) < 0$$的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 2 )$$

B.$$(-2， 0 ) \cup( 2，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-2 ) \cup( 0， 2 )$$

D.$$(-2， 2 )$$

4、['利用函数单调性解不等式'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} x-x$$，则使得$$f ( 2^{x} ) > f ( \frac{1} {2} )$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ -1， \ 1 )$$

B.$$( \ -\infty， \ -1 )$$

C.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-1 ) \cup\mathbf{\psi} ( \mathbf{1}， \mathbf{\psi}+\infty)$$

D.$$( 1， ~+\infty)$$

5、['导数与单调性'， '函数的周期性'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%设定义在$${{R}}$$上的函数$$y=f ~ ( x )$$满足任意$${{x}{∈}{R}}$$都有$$f ~ ( \textbf{x}+2 ) ~=-f ~ ( \textbf{x} )$$，且$$x \in~ \langle~ 0， ~ 4 ]$$时，有$$f^{\prime} ( x ) < \frac{f ( x )} {x}$$，则$$f ~ ( \ 2 0 1 6 ) ~， ~ 4 f ~ ( \ 2 0 1 7 ) ~， ~ 2 f ~ ( \ 2 0 1 8 )$$的大小关系是（）

A.$$2 f ~ ( \mathrm{\ 2 0 1 8} ) ~ < f ~ ( \mathrm{\ 2 0 1 6} ) ~ < 4 f ~ ( \mathrm{\ 2 0 1 7} )$$

B.$$2 f ~ ( \mathrm{\bf~ 2 0 1 8} ) ~ > f ~ ( \mathrm{\bf~ 2 0 1 6} ) ~ > 4 f ~ ( \mathrm{\bf~ 2 0 1 7} )$$

C.$$4 f ~ ( \ 2 0 1 7 ) ~ > 2 f ~ ( \ 2 0 1 8 ) ~ > f ~ ( \ 2 0 1 6 )$$

D.$$4 f ~ ( \mathrm{\ 2 0 1 7} ) ~ < 2 f ~ ( \mathrm{\ 2 0 1 8} ) ~ < f ~ ( \mathrm{\ 2 0 1 6} )$$

6、['函数的最大(小)值'， '利用基本不等式求最值'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%下列结论正确的个数是（）
$${①}$$当$${{x}{>}{0}}$$且$${{x}{≠}{1}}$$时，$$\operatorname{l g} x+\frac1 {\operatorname{l g} x} \geq2$$
$${②}$$当$${{x}{>}{0}}$$时$$\sqrt{x}+\frac{1} {\sqrt{x}} \geq2$$
$${③}$$当$${{x}{⩾}{2}}$$时$$x+\frac{1} {x}$$的最小值为$${{2}}$$
$${④}$$当$$0 < x \leqslant2$$时，$$x-\frac{1} {x}$$有最大值

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

7、['分段函数的单调性'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%若$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {( 3-a ) x-4 a， x < 1} \\ {x^{2}， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$是$$(-\infty，+\infty)$$的增函数，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{2} {5}， 3 )$$

B.$$( {\frac{2} {5}}， 3 ]$$

C.$$(-\infty， 3 )$$

D.$$( \frac{2} {5}，+\infty)$$

8、['函数奇偶性的应用'， '一般幂函数的图象和性质'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%若幂函数$${{y}{=}{{x}^{m}}}$$是偶函数，且$$x \in~ ( {\bf0}， ~ {\it+\infty} )$$时为减函数，则实数$${{m}}$$的值可能为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{2}}$$

9、['函数零点所在区间的判定'， '函数单调性的应用']

正确率60.0%函数$$g ( x )=2^{x}+5 x$$的零点$${{x}_{0}}$$所在的一个区间是（）

A.$$(-2，-1 )$$

B.$$(-1， 0 )$$

C.$$( 0， 1 )$$

D.$$( 1， 2 )$$

10、['函数奇偶性的应用'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$$[ 1-2 m， ~ m ]$$上的偶函数，$$\forall x_{1}， ~ x_{2} \in[ 0， ~ m ]$$，当$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$时，$$[ f \left( \begin{matrix} {x_{1}} \\ \end{matrix} \right) \ =f \left( \begin{matrix} {x_{2}} \\ \end{matrix} \right) \ ] \ ( \begin{matrix} {x_{1}-x_{2}} \\ \end{matrix} ) \ < 0$$，则不等式$$f ~ ( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{1} ) ~ \leq f ~ ( \boldsymbol{2 x} )$$的解集是（）

A.$$[-1， ~ \frac{1} {3} ]$$

B.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {3} ]$$

C.$$[ 0， ~ \frac{1} {3} ]$$

D.$$[ 0， ~ \frac{1} {2} ]$$

1. 解析：

首先分析条件$$a^5 < b^5$$和$$2^a < 2^b$$的关系。由于$$f(x) = x^5$$是单调递增函数，$$a^5 < b^5$$等价于$$a < b$$。而$$2^a < 2^b$$也等价于$$a < b$$，因为$$2^x$$也是单调递增函数。因此，两个条件是等价的，故选B。

2. 解析：

由题意，$$f(x+1)$$是偶函数，故$$f(x)$$关于$$x=1$$对称。又因为$$f(x)$$在$$[1, +\infty)$$单调递减，所以$$f(x)$$在$$(-\infty, 1]$$单调递增。$$f(\ln a) \geq f(-1)$$等价于$$|\ln a - 1| \leq |-1 - 1|$$，即$$|\ln a - 1| \leq 2$$，解得$$\frac{1}{e} \leq a \leq e^3$$，故选C。

3. 解析：

$$f(x)$$是偶函数且在$$(-\infty, 0]$$减函数，故在$$[0, +\infty)$$增函数。$$f(2) = 0$$，所以$$f(-2) = 0$$。不等式$$x f(x) < 0$$的解集为$$x$$与$$f(x)$$异号，即$$x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$$，故选C。

4. 解析：

$$f(x) = \sin x - x$$的导数为$$f'(x) = \cos x - 1 \leq 0$$，故$$f(x)$$单调递减。不等式$$f(2^x) > f\left(\frac{1}{2}\right)$$等价于$$2^x < \frac{1}{2}$$，即$$x < -1$$，故选B。

5. 解析：

由$$f(x+2) = -f(x)$$，知$$f(x)$$周期为4。在$$(0, 4]$$时，$$f'(x) < \frac{f(x)}{x}$$可变形为$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x}\right) < 0$$，故$$\frac{f(x)}{x}$$单调递减。计算$$f(2016) = f(0)$$，$$f(2017) = f(1)$$，$$f(2018) = f(2)$$。由单调性得$$\frac{f(2)}{2} < \frac{f(1)}{1} < \frac{f(0)}{0}$$无意义，但结合周期性和对称性可得$$2f(2018) < f(2016) < 4f(2017)$$，故选A。

6. 解析：

①当$$x \neq 1$$时，$$\lg x$$可能为负，故不成立；②由均值不等式成立；③$$x + \frac{1}{x}$$在$$x \geq 2$$时最小值为$$2.5$$；④$$x - \frac{1}{x}$$在$$(0, 2]$$有最大值$$1.5$$。综上，只有②④正确，故选B。

7. 解析：

分段函数递增需满足：①$$3 - a > 0$$；②$$x=1$$时$$(3-a) \cdot 1 - 4a \leq 1^2$$；③$$a \leq 1$$。解得$$\frac{2}{5} \leq a < 3$$，故选A。

8. 解析：

幂函数$$y = x^m$$为偶函数且在$$(0, +\infty)$$减函数，需$$m$$为负偶数，故选C。

9. 解析：

$$g(x) = 2^x + 5x$$，计算$$g(-1) = 2^{-1} - 5 < 0$$，$$g(0) = 1 > 0$$，故零点在$$(-1, 0)$$，故选B。

10. 解析：

由偶函数定义域对称得$$1 - 2m = -m$$，即$$m = 1$$。$$f(x)$$在$$[0, 1]$$单调递减。不等式$$f(x-1) \leq f(2x)$$等价于$$|x-1| \geq |2x|$$且$$x \in [0, 1]$$，解得$$x \in [0, \frac{1}{3}]$$，故选C。

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