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正确率60.0%下列函数中，既是偶函数又在区间$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上是增函数的是（）
B
A.$${{y}{=}{{\frac{1}{x}}}}$$
B.$${{y}{=}{|}{x}{|}{−}{1}}$$
C.$${{y}{=}{{l}{g}}{x}}$$
D.$${{y}{=}{{(}{{\frac{1}{2}}}{)}^{{|}{x}{|}}}}$$
2、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的定义']正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的函数，下列函数中是奇函数的个数（）
$${①{y}{=}{−}{{|}{f}{(}{x}{)}{|}}}$$；
$${②{y}{=}{x}{f}{(}{{x}^{2}}{)}}$$；
$${③{y}{=}{−}{f}{(}{−}{x}{)}}$$；
$${④{y}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{f}{(}{−}{x}{)}}$$.
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
3、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的定义'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念']正确率19.999999999999996%已知$${{f}{（}{x}{）}}$$为偶函数，当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{m}{（}{|}{x}{−}{2}{|}{+}{|}{x}{−}{4}{|}{）}{，}{（}{m}{>}{0}{）}}$$，若函数$${{y}{=}{f}{[}{f}{（}{x}{）}{]}{−}{4}{m}}$$恰有$${{4}}$$个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围（）
B
A.$${{(}{0}{，}{{\frac{1}{6}}}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{{\frac{1}{6}}}{)}{∪}{(}{{\frac{5}{6}}}{，}{{\frac{5}{2}}}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{{\frac{1}{4}}}{)}{∪}{(}{{\frac{5}{4}}}{，}{{\frac{5}{2}}}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{{\frac{1}{4}}}{)}}$$
4、['函数图象的识别'， '函数奇、偶性的定义'， '导数与极值']正确率60.0%函数$${{y}{=}{x}{−}{2}{{s}{i}{n}}{x}{，}{x}{∈}{[}{−}{{\frac{π}{2}}}{，}{{\frac{π}{2}}}{]}}$$的大致图象是（）
D
A.False
B.False
C.False
D.False
5、['函数奇、偶性的定义']正确率60.0%给定函数：$${①{y}{=}{{x}^{2}}{；}{②}{y}{=}{{2}^{x}}{；}{③}{y}{=}{{c}{o}{s}}{x}{；}{④}{y}{=}{−}{{x}^{3}}}$$，其中奇函数是（）
D
A.$${①}$$
B.$${②}$$
C.$${③}$$
D.$${④}$$
6、['简单复合函数的导数'， '导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '利用函数单调性比较大小']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{e}^{x}}{+}{{e}{{−}{x}}}{+}{2}{{c}{o}{s}}{x}{，}}$$其中$${{e}}$$为自然对数的底数，则对任意$${{a}{∈}{R}{，}}$$下列不等式一定成立的是（）
A
A.$${{f}{(}{{a}^{2}}{+}{1}{)}{≥}{f}{(}{2}{a}{)}}$$
B.$${{f}{(}{{a}^{2}}{+}{1}{)}{≤}{f}{(}{2}{a}{)}}$$
C.$${{f}{(}{{a}^{2}}{+}{1}{)}{≥}{f}{(}{a}{+}{1}{)}}$$
D.$${{f}{(}{{a}^{2}}{+}{1}{)}{≤}{f}{(}{a}{)}}$$
7、['函数的最大(小)值'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断']正确率40.0%关于函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\frac{x}_{{x}^{2}{+}{a}}}}}$$，下列叙述
$${①}$$是奇函数；
$${②}$$若$${{a}{>}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$有最大值$${{\frac^{\sqrt {a}}_{{2}{a}}}{；}}$$
$${③}$$若$${{a}{<}{0}}$$，在区间$${{(}{−}{\sqrt {{−}{a}}}{，}{\sqrt {{−}{a}}}{)}}$$内单调递减；
$${④}$$函数图象经过坐标原点$${{(}{0}{，}{0}{)}}$$．
B
A.$${①{②}}$$
B.$${①{②}{③}}$$
C.$${①{③}{④}}$$
D.$${①{②}{③}{④}}$$
8、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，满足$${{f}{(}{x}{+}{1}{)}{=}{f}{(}{x}{−}{1}{)}}$$，当$${{x}{∈}{[}{−}{3}{，}{−}{2}{]}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{1}{+}{{e}^{x}}}$$，已知$${{α}{，}{β}}$$是锐角三角形的两个内角，则（）
A
A.$${{f}{(}{{s}{i}{n}}{α}{)}{>}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
B.$${{f}{(}{{s}{i}{n}}{α}{)}{<}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
C.$${{f}{(}{{c}{o}{s}}{α}{)}{<}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
D.$${{f}{(}{{s}{i}{n}}{α}{)}{<}{f}{(}{{s}{i}{n}}{β}{)}}$$
9、['函数奇、偶性的定义'， '函数单调性的判断'， '函数单调性与奇偶性综合应用']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{R}}$$内的奇函数，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{−}{{e}^{x}}{+}{1}{+}{m}{{c}{o}{s}}{x}}$$，记$${{a}{=}{−}{2}{f}{(}{−}{2}{)}{，}{b}{=}{−}{f}{(}{−}{1}{)}{，}{c}{=}{3}{f}{(}{3}{)}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$间的大小关系是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
B.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
D.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$
10、['函数奇、偶性的图象特征'， '函数图象的识别'， '函数奇、偶性的定义']正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{2}{l}{n}{|}{x}{|}}$$的图象大致为
D
A.False
B.False
C.False
D.False
1. 选项分析：
A. $$y = \frac{1}{x}$$ 是奇函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减，不符合条件。
B. $$y = |x| - 1$$ 是偶函数，且在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递增，符合条件。
C. $$y = \lg x$$ 不是偶函数，定义域为 $$(0, +\infty)$$，不符合条件。
D. $$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$$ 是偶函数，但在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减，不符合条件。
正确答案：B
2. 奇函数判断：
定义：若 $$f(-x) = -f(x)$$，则 $$f(x)$$ 为奇函数。
① $$y = -|f(x)|$$：一般不是奇函数，除非 $$f(x)$$ 恒为 0 或特定形式。
② $$y = x f(x^2)$$：验证 $$y(-x) = -x f(x^2) = -y(x)$$，是奇函数。
③ $$y = -f(-x)$$：若 $$f(x)$$ 是奇函数，则 $$y(x) = -(-f(x)) = f(x)$$，不一定是奇函数。
④ $$y = f(x) - f(-x)$$：验证 $$y(-x) = f(-x) - f(x) = -y(x)$$，是奇函数。
综上，②和④是奇函数。
正确答案：B
3. 零点分析：
$$f(x)$$ 为偶函数，当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = m(|x - 2| + |x - 4|)$$。
分段讨论：
- 当 $$0 \leq x \leq 2$$ 时，$$f(x) = m(2 - x + 4 - x) = m(6 - 2x)$$。
- 当 $$2 \leq x \leq 4$$ 时，$$f(x) = m(x - 2 + 4 - x) = 2m$$。
- 当 $$x \geq 4$$ 时，$$f(x) = m(x - 2 + x - 4) = m(2x - 6)$$。
函数 $$y = f(f(x)) - 4m$$ 有 4 个零点，需 $$f(f(x)) = 4m$$ 有 4 个解。
设 $$f(x) = t$$，则 $$f(t) = 4m$$。分析 $$f(t) = 4m$$ 的解：
- 当 $$t \geq 0$$ 时，$$f(t) = 4m$$ 的解为 $$t = 1$$ 或 $$t = 5$$（由分段函数解得）。
因此，$$f(x) = 1$$ 和 $$f(x) = 5$$ 需各有 2 个解。
通过图像分析，$$m$$ 需满足 $$0 < m < \frac{1}{6}$$ 或 $$\frac{5}{6} < m < \frac{5}{2}$$。
正确答案：B
4. 函数图像分析：
函数 $$y = x - 2\sin x$$，定义域为 $$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$。
- 求导：$$y' = 1 - 2\cos x$$。
- 当 $$\cos x > \frac{1}{2}$$（即 $$x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$$），$$y' < 0$$，函数单调递减。
- 当 $$\cos x < \frac{1}{2}$$（即 $$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$$），$$y' > 0$$，函数单调递增。
- 在 $$x = 0$$ 处，$$y = 0$$；在 $$x = \pm \frac{\pi}{2}$$ 处，$$y = \pm \frac{\pi}{2} - 2$$。
结合选项，图像应先减后增，且关于原点对称。
正确答案：C
5. 奇函数判断：
定义：若 $$f(-x) = -f(x)$$，则 $$f(x)$$ 为奇函数。
① $$y = x^2$$：偶函数。
② $$y = 2^x$$：非奇非偶。
③ $$y = \cos x$$：偶函数。
④ $$y = -x^3$$：奇函数。
正确答案：D
6. 不等式分析：
函数 $$f(x) = e^x + e^{-x} + 2\cos x$$。
- 求导：$$f'(x) = e^x - e^{-x} - 2\sin x$$。
- 当 $$x \geq 0$$ 时，$$e^x \geq 1$$，$$e^{-x} \leq 1$$，且 $$\sin x \leq 1$$，因此 $$f'(x) \geq 0$$，函数单调递增。
- 由于 $$f(x)$$ 为偶函数（$$f(-x) = f(x)$$），在 $$x \leq 0$$ 时单调递减。
比较 $$a^2 + 1$$ 和 $$2a$$：
- $$a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2 \geq 0$$，即 $$a^2 + 1 \geq 2a$$。
- 由于 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 时单调递增，故 $$f(a^2 + 1) \geq f(2a)$$。
正确答案：A
7. 函数性质分析：
函数 $$f(x) = \frac{x}{x^2 + a}$$。
① 奇函数：$$f(-x) = \frac{-x}{x^2 + a} = -f(x)$$，正确。
② 最大值：若 $$a > 0$$，求导得极值点 $$x = \sqrt{a}$$，最大值为 $$\frac{1}{2\sqrt{a}}$$，正确。
③ 单调性：若 $$a < 0$$，分母 $$x^2 + a$$ 在 $$|x| < \sqrt{-a}$$ 时为负，$$f(x)$$ 单调递减，正确。
④ 过原点：$$f(0) = 0$$，正确。
正确答案：D
8. 函数性质与三角函数关系：
奇函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x + 1) = f(x - 1)$$，周期为 2。
当 $$x \in [-3, -2]$$ 时，$$f(x) = 1 + e^x$$，单调递增。
由于 $$f(x)$$ 是奇函数，在 $$[2, 3]$$ 上 $$f(x) = -1 - e^{-x}$$，单调递增。
锐角三角形中，$$\alpha + \beta > \frac{\pi}{2}$$，故 $$\sin \alpha > \cos \beta$$。
由于 $$f(x)$$ 在 $$[0, 1]$$ 上单调递增（由周期性及奇函数性质推导），且 $$\sin \alpha, \cos \beta \in (0, 1)$$，故 $$f(\sin \alpha) > f(\cos \beta)$$。
正确答案：A
9. 奇函数性质与比较：
奇函数 $$f(x)$$，当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = -e^x + 1 + m \cos x$$。
由 $$f(0) = 0$$，得 $$m = 0$$，故 $$f(x) = -e^x + 1$$（$$x \geq 0$$）。
对于 $$x < 0$$，$$f(x) = -f(-x) = e^{-x} - 1$$。
计算：
- $$a = -2f(-2) = -2(e^2 - 1)$$。
- $$b = -f(-1) = -(e^1 - 1) = 1 - e$$。
- $$c = 3f(3) = 3(-e^3 + 1)$$。
比较得 $$c < a < b$$。
正确答案：C
10. 函数图像分析：
函数 $$f(x) = x^2 \ln |x|$$。
- 定义域：$$x \neq 0$$。
- 当 $$x \to 0$$ 时，$$f(x) \to 0$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x)$$ 在 $$(0, e^{-1/2})$$ 单调递减，在 $$(e^{-1/2}, +\infty)$$ 单调递增。
- 奇偶性：$$f(-x) = x^2 \ln |x| = f(x)$$，为偶函数。
结合选项，图像关于 $$y$$ 轴对称，且在 $$x = 0$$ 附近趋近于 0。
正确答案：D