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正确率40.0%命题$${{“}}$$函数$$y=f ~ ( x )$$的导函数为$$f^{\prime} \mid\textbf{x} \mid\textbf{x}=e^{x}+\frac{k^{2}} {e^{x}}-\frac{1} {k} ($$其中$${{e}}$$为自然对数的底数，$${{k}}$$为实数），且$${{f}{（}{x}{）}}$$在$${{R}}$$上不是单调函数$${{”}}$$是真命题，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( \ -\infty， \ -\frac{\sqrt{2}} {2} )$$
B.$$( \mathrm{\Delta}-\frac{\sqrt{2}} {2}， \mathrm{\Delta} 0 )$$
C.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
D.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， \ \ +\infty)$$
2、['二次函数模型的应用']正确率60.0%已知超市内某商品的日销量$${{y}}$$(单位：件)与当日销售单价$${{x}}$$(单位：元)满足关系式$$y=\frac{a} {x-1 0}-2 x+1 0 0，$$其中$$1 0 < \， x < \， 5 5， \， \， a$$为常数.当该商品的销售单价为$${{1}{5}}$$元时，日销量为$${{1}{1}{0}}$$件.若该商品的进价为每件$${{1}{0}}$$元，则超市售卖该商品的日利润最大为（）
C
A.$${{1}{5}{0}{0}}$$元
B.$${{1}{2}{0}{0}}$$元
C.$${{1}{0}{0}{0}}$$元
D.$${{8}{0}{0}}$$元
3、['二次函数模型的应用'， '一元二次不等式的解法']正确率60.0%某产品的总成本$${{y}}$$(万元)与产量$${{x}}$$(台)之间的关系式为$$y=3 0 0 0+2 0 x-0. 1 x^{2} ( 0 < \， x < \， 2 4 0， \， \， \， x \in{\bf Z} )，$$假设生产的产品均可售出， 若每台产品的售价为$${{2}{5}}$$万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是（）
C
A.$${{1}{0}{0}}$$台
B.$${{1}{2}{0}}$$台
C.$${{1}{5}{0}}$$台
D.$${{1}{8}{0}}$$台
4、['二次函数模型的应用'， '指数方程与指数不等式的解法'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-6 x+1， \ x \geqslant0} \\ {( \frac{1} {2} )^{x+1}， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\left| f \ ( \textbf{x} ) \ \right|-a$$恰有$${{4}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$( \; \frac{1} {2}， \; 1 ]$$
B.$${\bf( 0， \frac{1} {2} )} \cup{\bf( 1， \ 8 )}$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$
D.$$( 0， \ \frac{1} {2} ] \cup( 1， \ 8 )$$
5、['二次函数模型的应用'， '一元二次不等式的解法'， '函数求解析式']正确率40.0%某省每年损失耕地$${{2}{0}}$$万亩，每亩耕地价值$$2 4 0 0 0$$元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的$${{t}{%}}$$征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少$$\frac{5} {2} t$$万亩，为了既可减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于$${{9}{0}{0}{0}}$$万元，则$${{t}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ 1， ~ 3 ]$$
B.$$[ 3， \ 5 ]$$
C.$$[ 5， ~ 7 ]$$
D.$$[ 7， ~ 9 ]$$
7、['二次函数模型的应用'， '数量积的运算律']正确率40.0%已知在平面四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B \perp B C， \， \， \， A D \perp C D， \， \， \， \angle B A D=1 2 0^{\circ}， \， \， \， A D=1， \， \， \， A B=2$$，点$${{E}}$$为边$${{C}{D}}$$上的动点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{B E}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{2 1} {1 6}$$
B.$$- \frac{3} {4}$$
C.$$\frac{5} {4}$$
D.$$\frac{2 5} {1 6}$$
8、['二次函数模型的应用'， '导数的几何意义'， '不等式的性质']正确率60.0%若曲线$$y=a l n x+\frac{1} {2} x^{2}+2 x$$的切线斜率都是正数，则实数的取值范围是（）
D
A.$$( 1， ~+\infty)$$
B.$$[ 1， ~+\infty)$$
C.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
D.$$[ 0， \ \ +\infty)$$
9、['二次函数模型的应用']正确率40.0%某商场为了解商品销售情况，对某种电器今年一至六月份的月销售量$$Q ( x ) ($$台)进行统计，得数据如下：
| $${{x}{(}}$$ 月份) | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ |
| $$Q ( x ) ($$ 台) | $${{6}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{8}}$$ | $${{6}}$$ | $${{2}}$$ |
根据如表中的数据，你认为能较好描述月销售量$$Q ( x ) ($$台)与时间$${{x}{(}}$$月份)变化关系的模拟函数是$${{(}{)}}$$
C
A.$$Q \left( x \right) \!=\! a x \!+\! b \left( a \neq0 \right)$$
B.$$Q \left( x \right) \!=\! a \left\vert x \!-\! 4 \right\vert+b \left( a \neq0 \right)$$
C.$$Q \left( x \right) \!=\! a \left( x-3 \right)^{2}+b \left( a \neq0 \right)$$
D.$$Q \left( x \right)=a \times b^{x} \， \left( a \neq0， b > 0 \boxplus b \neq1 \right)$$
10、['二次函数模型的应用'， '建立函数模型解决实际问题'， '指数型函数模型的应用']正确率60.0%某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为$$1 9 8. 5$$公顷$$\symbol{3 9 9 9. 6}$$公顷和$$7 9 3. 7$$公顷，则沙漠增加面积$${{y}{（}}$$公顷）关于年数$${{x}}$$的函数关系较为近似的是（）
C
A.$${{y}{=}{{2}{0}{0}}{x}}$$
B.$$y=1 0 0 x^{2}+1 0 0 x$$
C.$$y=1 0 0 \times2^{x}$$
D.$$y=0. 2 x+l o g 2^{x}$$
1. 解析：
首先，给定导函数 $$f'(x) = e^x + \frac{k^2}{e^x} - \frac{1}{k}$$。函数 $$f(x)$$ 在 $$R$$ 上不是单调函数，意味着导函数 $$f'(x)$$ 有变号点，即存在极值点。
设 $$t = e^x > 0$$，则导函数可表示为 $$f'(t) = t + \frac{k^2}{t} - \frac{1}{k}$$。对 $$f'(t)$$ 求极值点，令其导数为零：
$$\frac{d}{dt}\left(t + \frac{k^2}{t}\right) = 1 - \frac{k^2}{t^2} = 0 \Rightarrow t = |k|$$
在 $$t = |k|$$ 处，$$f'(t)$$ 取得最小值，最小值为：
$$f'(|k|) = |k| + \frac{k^2}{|k|} - \frac{1}{k} = 2|k| - \frac{1}{k}$$
为了使 $$f(x)$$ 不是单调函数，必须存在 $$f'(t) < 0$$ 的点，即最小值小于零：
$$2|k| - \frac{1}{k} < 0$$
分情况讨论：
（1）若 $$k > 0$$，则不等式为 $$2k - \frac{1}{k} < 0 \Rightarrow 2k^2 - 1 < 0 \Rightarrow k^2 < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < k < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
（2）若 $$k < 0$$，则不等式为 $$-2k - \frac{1}{k} < 0 \Rightarrow -2k^2 - 1 > 0$$，但 $$-2k^2 - 1 \leq -1 < 0$$，无解。
综上，$$k$$ 的取值范围是 $$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$$，对应选项 C。
2. 解析：
首先根据题意，当 $$x = 15$$ 时，$$y = 110$$，代入关系式：
$$110 = \frac{a}{15 - 10} - 2 \times 15 + 100 \Rightarrow 110 = \frac{a}{5} - 30 + 100 \Rightarrow \frac{a}{5} = 40 \Rightarrow a = 200$$
因此，销量函数为 $$y = \frac{200}{x - 10} - 2x + 100$$。
日利润为 $$L = (x - 10)y = (x - 10)\left(\frac{200}{x - 10} - 2x + 100\right) = 200 - 2x(x - 10) + 100(x - 10)$$
化简得：
$$L = 200 - 2x^2 + 20x + 100x - 1000 = -2x^2 + 120x - 800$$
对 $$L$$ 求极值，令导数 $$L' = -4x + 120 = 0 \Rightarrow x = 30$$。
代入 $$x = 30$$，得最大利润：
$$L = -2 \times 30^2 + 120 \times 30 - 800 = -1800 + 3600 - 800 = 1000$$ 元。
对应选项 C。
3. 解析：
总成本 $$y = 3000 + 20x - 0.1x^2$$，销售收入为 $$25x$$。
不亏本的条件为 $$25x \geq 3000 + 20x - 0.1x^2$$，即：
$$0.1x^2 + 5x - 3000 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 50x - 30000 \geq 0$$
解方程 $$x^2 + 50x - 30000 = 0$$，得：
$$x = \frac{-50 \pm \sqrt{2500 + 120000}}{2} = \frac{-50 \pm 350}{2}$$
取正根 $$x = 150$$。
由于二次函数开口向上，不等式成立的条件为 $$x \geq 150$$。
因此最低产量为 150 台，对应选项 C。
4. 解析：
函数 $$g(x) = |f(x)| - a$$ 有 4 个零点，等价于 $$|f(x)| = a$$ 有 4 个解。
分析 $$f(x)$$：
（1）当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = x^2 - 6x + 1$$，其极小值为 $$f(3) = -8$$。
（2）当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}$$，单调递减，取值范围为 $$(0, +\infty)$$。
为了使 $$|f(x)| = a$$ 有 4 个解，$$a$$ 必须满足：
（1）$$a > 0$$；
（2）$$a$$ 与 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 和 $$x < 0$$ 的交点数为 4。
具体来说：
- 在 $$x < 0$$ 区域，$$f(x)$$ 单调递减且 $$f(x) \in (0, +\infty)$$，故 $$|f(x)| = a$$ 有 1 个解。
- 在 $$x \geq 0$$ 区域，$$f(x)$$ 为抛物线，极小值为 -8。因此，$$|f(x)| = a$$ 有 3 个解的条件是 $$0 < a < 8$$ 且 $$a \neq 1$$（因为 $$f(0) = 1$$）。
综上，$$a$$ 的取值范围为 $$(0, \frac{1}{2}) \cup (1, 8)$$，对应选项 B。
5. 解析：
每年减少的耕地损失为 $$\frac{5}{2}t$$ 万亩，因此实际损失为 $$20 - \frac{5}{2}t$$ 万亩。
税收为每亩 $$24000 \times \frac{t}{100} = 240t$$ 元，总税收为 $$240t \times \left(20 - \frac{5}{2}t\right) \geq 9000$$ 万元。
化简不等式：
$$240t \left(20 - \frac{5}{2}t\right) \geq 9000 \Rightarrow 4800t - 600t^2 \geq 9000$$
整理得：
$$600t^2 - 4800t + 9000 \leq 0 \Rightarrow t^2 - 8t + 15 \leq 0$$
解方程 $$t^2 - 8t + 15 = 0$$，得 $$t = 3$$ 或 $$t = 5$$。
因此，$$t$$ 的取值范围为 $$[3, 5]$$，对应选项 B。
7. 解析：
建立坐标系，设点 $$A = (0, 0)$$，$$B = (2, 0)$$，$$D = (-1, \sqrt{3})$$（因为 $$\angle BAD = 120^\circ$$）。
由于 $$AD \perp CD$$，$$C$$ 的坐标为 $$(2, 2\sqrt{3})$$。
设点 $$E$$ 在 $$CD$$ 上，参数化 $$E = (-1 + 3t, \sqrt{3} + \sqrt{3}t)$$，其中 $$t \in [0, 1]$$。
计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE}$$：
$$\overrightarrow{AE} = (-1 + 3t, \sqrt{3} + \sqrt{3}t)$$
$$\overrightarrow{BE} = (-3 + 3t, \sqrt{3} + \sqrt{3}t)$$
点积为：
$$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE} = (-1 + 3t)(-3 + 3t) + (\sqrt{3} + \sqrt{3}t)^2 = 3 - 12t + 9t^2 + 3 + 6t + 3t^2 = 12t^2 - 6t + 6$$
对二次函数求极小值，令导数为零：
$$24t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4}$$
代入得最小值为 $$12 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 6 \times \frac{1}{4} + 6 = \frac{12}{16} - \frac{6}{4} + 6 = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} + 6 = \frac{21}{16}$$。
对应选项 A。
8. 解析：
曲线 $$y = a \ln x + \frac{1}{2}x^2 + 2x$$ 的导数为：
$$y' = \frac{a}{x} + x + 2$$
要求切线斜率均为正数，即 $$y' > 0$$ 对所有 $$x > 0$$ 成立。
即 $$\frac{a}{x} + x + 2 > 0$$。
因为 $$x > 0$$，不等式等价于 $$a + x^2 + 2x > 0$$。
函数 $$f(x) = x^2 + 2x + a$$ 在 $$x > 0$$ 的最小值为 $$f(0) = a$$（当 $$x \to 0^+$$）。
因此，$$a \geq 0$$。
对应选项 D。
9. 解析：
观察数据：
$$x$$：1, 2, 3, 4, 5, 6
$$Q(x)$$：6, 9, 10, 8, 6, 2
数据在 $$x = 3$$ 附近达到峰值，然后下降，符合二次函数的特征。
因此，最佳模拟函数是 $$Q(x) = a(x - 3)^2 + b$$，对应选项 C。
10. 解析：
沙漠增加面积数据：第一年 198.5，第二年 399.6，第三年 793.7。
观察增长趋势，近似为指数增长，符合 $$y = 100 \times 2^x$$。
验证：
$$x = 1$$：$$100 \times 2^1 = 200 \approx 198.5$$
$$x = 2$$：$$100 \times 2^2 = 400 \approx 399.6$$
$$x = 3$$：$$100 \times 2^3 = 800 \approx 793.7$$
因此，最接近的是选项 C。