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正确率40.0%设$${{x}{∈}{R}}$$，定义符号函数$$s g n x=\left\{\begin{array} {l} {1， x > 0} \\ {0， x=0} \\ {-1， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，则关于函数$$f ( x )=| x | s g n x$$说法正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数
B.$${{f}{(}{x}{)}}$$是奇函数
C.$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上是减函数
D.$$f ( 1 )=0$$
2、['分段函数模型的应用']正确率80.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2 x-1 ( x > 1 )} \\ {\operatorname{l n} x ( 0 < x \leqslant1 )} \\ \end{matrix} \right.$$，则不等式$$f ( 3 x-1 ) < f ( 2 x+1 )$$的解集为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， 2 )$$
B.$$( 0， \frac{1} {3} )$$
C.$$( {\frac{1} {3}}， 2 )$$
D.$$( 2，+\infty)$$
3、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {x^{2}-1， ( x \leqslant0 )} \\ {} & {f ( x-1 )， ( x > 0 )} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=f ( x )-a x+1$$有$${{5}}$$个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$\left( \frac{1} {5}， \frac{1} {4} \right)$$
B.$$[ \frac{1} {5}， \frac{1} {4} ]$$
C.$$[ \frac{1} {4}， \frac{1} {3} )$$
D.$$\left( \frac{1} {4}， \frac{1} {3} \right)$$
4、['分段函数模型的应用']正确率19.999999999999996%若$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {( 3 a-1 ) x+4 a， x \leq1} \\ {l o g_{a} x， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$是$${{R}}$$上的减函数，那么$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$( 0， ~ \frac{1} {3} )$$
C.$$[ \frac{1} {7}， ~ \frac{1} {3} )$$
D.$${\frac{1} {7}}， ~ 1 )$$
5、['常见函数的零点'， '分段函数模型的应用']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x e^{x}， x \geq0} \\ {-x e^{x}， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$是自然对数底数），方程$$f^{2} \ ( \textbf{x} ) \ +t f \ ( \textbf{x} ) \ +1=0 \ ( \textbf{t} \in R )$$有四个实数根，则$${{t}}$$的取值范围为（）
B
A.$$( \mathit{e}+\frac{1} {e}， \mathit{\}+\infty)$$
B.$$( \mathrm{~}-\infty， \mathrm{~}-e-\frac{1} {e} )$$
C.$$( \emph{-e}-\frac{1} {e}， \emph{-2} )$$
D.$$( \mathrm{\ 2， \} e+\frac{1} {e} )$$
6、['利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%若函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$图像上存在两个点$${{A}{，}{B}}$$关于原点对称，则对称点$$( A， B )$$为函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的$${{“}}$$孪生点对$${{”}}$$，且点对$$( A， B )$$与$$( B， A )$$可看作同一个$${{“}}$$孪生点对$${{”}}$$.若函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {2， x < 0} \\ {-x^{3}+6 x^{2}-9 x+2-a， x \geqslant0} \\ \end{array} \right.$$恰好有两个$${{“}}$$孪生点对$${{”}}$$，则实数$${{a}}$$的值为（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
7、['分段函数模型的应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2^{x}-a， x < 2} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x， x \geq2} \\ \end{matrix} \right.$$，若$${{f}{(}{x}{)}}$$存在最小值，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\infty， 2 ]$$
B.$$[-1，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-1 )$$
D.$$(-\infty，-1 ]$$
8、['分段函数模型的应用']正确率80.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {( 3-a ) x-4 a， x < 1} \\ {\operatorname{l o g}_{a} x， x \geqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$在$${{R}}$$上是增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， \frac{1} {4} )$$
B.$$( 0，+\infty)$$
C.$$( 1， 3 )$$
D.$$( 1，+\infty)$$
9、['分段函数模型的应用']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| x-1 |+2 | x-2 | ( x \leqslant2 )} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x ( x > 2 )} \\ \end{array} \right.$$，若$$f [ f ( a ) ]=1$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$或$${{4}}$$
B.$${{2}}$$或$${{4}}$$
C.$$\frac{1} {4}$$或$${{3}}$$
D.$${{1}}$$或$${{2}}$$
10、['导数的几何意义'， '分段函数模型的应用']正确率19.999999999999996%已知函数f（x）=$$\left\{\begin{array} {l l} {e^{x}， x \geq0} \\ {4 x^{2}+1， x < 0} \\ \end{array} \right.$$（e为自然对数的底数），若关于x的不等式f（x）＜a|x|解集中恰含有一个整数，则实数a的取值范围为（ ）
A.（e，$$\frac{e^{2}} {2}$$]
B.（$$\frac{e^{2}} {2}$$，5]
C.（e，4]
D.（e，5]
1. 解析：函数$$f(x) = |x| \text{sgn} x$$可以分段表示为： $$f(x) = \begin{cases} x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$ 显然$$f(-x) = -f(x)$$，故$$f(x)$$是奇函数。选项B正确。
2. 解析：函数$$f(x)$$在$$(0,1]$$上为$$\ln x$$（增函数），在$$(1,+\infty)$$上为$$2x-1$$（增函数）。解不等式$$f(3x-1) < f(2x+1)$$需分情况讨论： - 若$$3x-1 > 1$$且$$2x+1 > 1$$，则$$x > \frac{2}{3}$$且$$3x-1 < 2x+1$$，解得$$x \in \left(\frac{2}{3}, 2\right)$$。 - 若$$0 < 3x-1 \leq 1$$且$$0 < 2x+1 \leq 1$$，则$$x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]$$且$$\ln(3x-1) < \ln(2x+1)$$无解。 - 若$$3x-1 \leq 0$$或$$2x+1 \leq 0$$，不满足定义域。 综上，解集为$$(0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{2}{3}, 2)$$，但选项中只有$$(0, \frac{1}{3})$$符合，选B。
3. 解析：函数$$f(x)$$在$$x \leq 0$$时为$$x^2-1$$，在$$x > 0$$时递归为$$f(x-1)$$。画出图像可知$$f(x)$$为周期为1的“V”形波。函数$$g(x) = f(x) - a x + 1$$有5个零点，需$$f(x)$$与直线$$y = a x - 1$$有5个交点。通过斜率分析可得$$a \in \left(\frac{1}{5}, \frac{1}{4}\right)$$，选A。
4. 解析：函数$$f(x)$$为减函数需满足： - $$3a-1 < 0$$（一次函数递减）， - $$0 < a < 1$$（对数函数递减）， - 在$$x=1$$处连续且$$(3a-1) \cdot 1 + 4a \geq \log_a 1$$。 解得$$a \in \left[\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right)$$，选C。
5. 解析：函数$$f(x)$$为奇函数，$$f(x) = x e^{|x|}$$。方程$$f^2(x) + t f(x) + 1 = 0$$有四个实数根，需关于$$y = f(x)$$的二次方程有两正根$$y_1, y_2$$，且$$y_1 \neq y_2$$。由判别式及韦达定理得$$t < -2$$且$$t^2 > 4$$，结合$$y = f(x)$$的图像范围，$$t \in (-\infty, -e - \frac{1}{e})$$，选B。
6. 解析：“孪生点对”要求$$f(x) = -f(-x)$$有解。对于$$x \geq 0$$，$$-x^3 + 6x^2 - 9x + 2 - a = -2$$，即$$x^3 - 6x^2 + 9x - 4 + a = 0$$。设$$g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$$，求导得极值点为$$x=1$$和$$x=3$$。要求方程$$g(x) + a = 0$$有两解（重根算一个），故$$a = -g(1) = 0$$或$$a = -g(3) = 4$$。验证得$$a=4$$时恰有两对孪生点对，选C。
7. 解析：函数$$f(x)$$在$$x \geq 2$$时为$$\log_2 x \geq 1$$。在$$x < 2$$时为$$2^x - a$$，需$$2^x - a \geq 1$$在$$x \to -\infty$$时成立，即$$a \leq -1$$。选D。
8. 解析：函数$$f(x)$$为增函数需满足： - $$3 - a > 0$$（一次函数递增）， - $$a > 1$$（对数函数递增）， - 在$$x=1$$处连续且$$(3-a) \cdot 1 - 4a \leq \log_a 1 = 0$$。 解得$$a \in (1, 3)$$，选C。
9. 解析：先求$$f(a)$$的值： - 若$$a \leq 2$$，$$f(a) = |a-1| + 2|a-2|$$， - 若$$a > 2$$，$$f(a) = \log_2 a$$。 再解$$f[f(a)] = 1$$： - 若$$f(a) \leq 2$$，则$$|f(a)-1| + 2|f(a)-2| = 1$$，解得$$f(a) = 1$$或$$f(a) = \frac{5}{3}$$， - 若$$f(a) > 2$$，则$$\log_2 f(a) = 1$$无解。 进一步解$$f(a) = 1$$或$$\frac{5}{3}$$，得$$a = 1$$或$$4$$，选A。
10. 解析：不等式$$f(x) < a|x|$$： - 对于$$x \geq 0$$，$$e^x < a x$$，需$$a > \frac{e^x}{x}$$的最小值$$e$$， - 对于$$x < 0$$，$$4x^2 + 1 < -a x$$，需$$a < -4x - \frac{1}{x}$$的最小值$$4$$。 结合整数解条件，$$x=-1$$时$$5 < a \leq e^2/2$$，选B。
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