分段函数模型的应用-3.4 函数的应用（一）知识点月考进阶自测题答案-贵州省等高一数学必修,平均正确率52.0%

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x^{2}-a x+1， 0 \leq x < 2 0 1 8} \\ {f ( x-2 0 1 8 )， x \geq2 0 1 8} \\ \end{array} \right.$$的最大值为$${{1}}$$，则$${{a}}$$的取值范围为（）

B

A.$${{a}{⩽}{{2}{0}{1}{8}}}$$

B.$${{a}{⩾}{{2}{0}{1}{8}}}$$

C.$${{a}{⩽}{{4}{0}{3}{6}}}$$

D.$${{a}{⩾}{{4}{0}{3}{6}}}$$

正确率40.0%已知函数$$f \sp{( \textbf{x} )}=\left\{\begin{array} {l} {k x+2， \ x \geq0} \\ {( \frac{1} {2} ) \sp{x}， \ x < 0} \\ \end{array} \right.$$，若方程$$f ( \textit{f} ( \textit{x} ) ) \textit{}-\frac{3} {2}=0$$在实数集范围内无解，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）

C

A.$$( \mathrm{\ensuremath{-1}}， \mathrm{\ensuremath{-}} \frac{1} {2} )$$

B.$$( \mathrm{\Pi-\frac{1} {2}， \ \frac{1} {3}} )$$

C.$$[ 0， \ \ +\infty)$$

D.$$( ~-~ \frac{1} {2}， ~-\frac{1} {4} ]$$

正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足：$$\oplus\; f \; ( \， x ) \; \;+\; f \; ( \， 2-x ) \; \;=0 ; \; \; \oplus\; f \; ( \， x-2 ) \; \;=\; f \; ( \，-x ) \; \;，$$在$$[-1， ~ 1 ]$$上表达式为$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\sqrt{1-x^{2}}$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$与函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}， x \leq0} \\ {1-x， x > 0} \\ \end{array} \right.$$的图象在区间$$[-3， ~ 3 ]$$上的交点个数为（）

B

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

正确率60.0%函数$$f ( x )=| 2 x-3 |+| x-1 |$$的值域为$${{(}{)}}$$

A

A.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$

B.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$

C.$$[ 1， ~+\infty)$$

D.$$( 1，+\infty)$$

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}+2 x， x \leq0} \\ {e^{x} (-x^{2}+2 x )， x > 0.} \\ \end{array} \right.$$如果存在$${{n}}$$个不同实数$$x_{1}， \ x_{2}， \ \ldots， \ x_{n} \ ( n \geq2 )$$，使得$$\frac{f ( x_{1} )} {x_{1}+3}=\frac{f ( x_{2} )} {x_{2}+3}=\ldots=\frac{f ( x_{n} )} {x_{n}+3}$$成立，则$${{n}}$$的值为（）

C

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$或$${{3}}$$

D.$${{3}}$$或$${{4}}$$

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {( 2 a-1 ) x-1， x \leq1} \\ {l o g_{a} x+1， x > 1} \\ \end{array} \right.$$，若函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在定义域$${{R}}$$上单调递增，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

B

A.$$1 < a < \frac{3} {2}$$

B.$$1 < a \leq\frac{3} {2}$$

C.$$a > \frac{3} {2}$$

D.$$a \geq\frac{3} {2}$$

正确率60.0%某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为$$y=\left\{\begin{array} {l} {4 x， 1 \leqslant x < 1 0， x \in{\bf N}^{*}} \\ {2 x+1 0， 1 0 \leqslant x < 1 0 0， x \in{\bf N}^{*}} \\ {1. 5 x， x > 1 0 0， x \in{\bf N}^{*}} \\ \end{array} \right.$$其中，$${{x}}$$代表拟录用人数，$${{y}}$$代表面试人数．若应聘的面试人数为$${{6}{0}}$$，则该公司拟录用人数为（）

C

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{4}{0}}$$

C.$${{2}{5}}$$

D.$${{1}{3}{0}}$$

正确率19.999999999999996%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| l o g_{3} ( x+1 ) |， x \in(-1， 8 )} \\ {\frac{4} {x-6}， x \in[ 8，+\infty]} \\ \end{array} \right.$$若f[（m-1）f（x）]-2≤0在定义域上恒成立，则m的取值范围是（　　）

A.（0，+∞）

B.[1，2）

C.[1，+∞）

D.（0，1）

正确率80.0%已知符号函数$$s g n x=\left\{\begin{array} {l} {1， x > 0} \\ {0， x=0} \\ {-1， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，$$f ( x )=2 x$$，若$$\varphi( x )=f ( 3 x )-f ( x )$$，则$${{(}{)}}$$

C

A.$$f ( x )=2 x s g n x$$

B.$$f ( x )=-2 x s g n x$$

C.$$s g n ( f ( x ) )=s g n ( \varphi( x ) )$$

D.$$s g n ( f ( x ) )=-s g n ( \varphi( x ) )$$

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {( 2-a ) x+3 a， x < 1} \\ {\operatorname{l o g}_{3} x， x \geqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$的值域为$${{R}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

B

A.$$(-1， 2 )$$

B.$$[-1， 2 )$$

C.$$(-\infty，-1 ]$$

D.$${{\{}{−}{1}{\}}}$$

函数 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 2018$$ 时递归定义为 $$f(x) = f(x-2018)$$，说明这是一个周期为 2018 的函数。因此，我们只需分析 $$0 \leq x < 2018$$ 的部分。

在区间 $$[0, 2018)$$ 上，$$f(x) = x^2 - a x + 1$$ 是一个二次函数，开口向上。其最大值可能出现在端点或顶点处。

1. **端点分析**：
- 在 $$x = 0$$ 处，$$f(0) = 1$$。
- 在 $$x = 2018$$ 处（极限值），$$f(2018) = 2018^2 - a \cdot 2018 + 1$$。

2. **顶点分析**：
二次函数的顶点在 $$x = \frac{a}{2}$$ 处。如果顶点在区间内（即 $$0 \leq \frac{a}{2} < 2018$$），则顶点值为 $$f\left(\frac{a}{2}\right) = 1 - \frac{a^2}{4}$$。

题目要求最大值为 1，因此：
- 如果顶点在区间内，必须满足 $$1 - \frac{a^2}{4} \leq 1$$，且端点的值不超过 1。这意味着 $$a \geq 0$$，但还需要进一步限制。
- 如果顶点不在区间内（即 $$\frac{a}{2} \geq 2018$$），则最大值出现在 $$x = 0$$ 处，此时要求 $$f(2018) \leq 1$$，即 $$2018^2 - a \cdot 2018 + 1 \leq 1$$，解得 $$a \geq 2018$$。

综上，$$a \geq 2018$$ 时，函数的最大值为 1。因此，正确答案是 B。

我们需要解方程 $$f(f(x)) - \frac{3}{2} = 0$$ 无实数解的情况。首先分析 $$f(x)$$ 的结构：

1. **当 $$x < 0$$ 时**，$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$，值域为 $$(1, +\infty)$$。
此时 $$f(f(x)) = k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2$$。要求方程无解，即 $$k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 = \frac{3}{2}$$ 无解，即 $$k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x = -\frac{1}{2}$$ 无解。由于 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$$，当 $$k \geq 0$$ 时无解。

2. **当 $$x \geq 0$$ 时**，$$f(x) = k x + 2$$，值域为 $$[2, +\infty)$$（$$k \geq 0$$）或 $$(-\infty, 2]$$（$$k < 0$$）。
- 如果 $$k \geq 0$$，$$f(f(x)) = k (k x + 2) + 2 = k^2 x + 2 k + 2$$。方程 $$k^2 x + 2 k + 2 = \frac{3}{2}$$ 的解为 $$x = \frac{\frac{3}{2} - 2 k - 2}{k^2}$$，需要无解，即 $$k^2 = 0$$ 且 $$\frac{3}{2} - 2 k - 2 \neq 0$$，但这不可能。
- 如果 $$k < 0$$，$$f(f(x))$$ 可能落在 $$x < 0$$ 或 $$x \geq 0$$ 的区域，需要更复杂的分析。

综合以上分析，当 $$k \geq 0$$ 时，方程在 $$x < 0$$ 时无解，但在 $$x \geq 0$$ 时有解。因此，需要更严格的条件。进一步分析发现，当 $$k \in (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}]$$ 时，方程无解。因此，正确答案是 D。

函数 $$f(x)$$ 满足两个对称性质：
1. $$f(x) + f(2 - x) = 0$$，说明 $$f(x)$$ 关于点 $$(1, 0)$$ 对称。
2. $$f(x - 2) = f(-x)$$，说明 $$f(x)$$ 关于 $$x = -1$$ 对称。

结合这两个性质，可以推导出 $$f(x)$$ 是一个周期为 4 的奇函数。在 $$[-1, 1]$$ 上，$$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$$。通过对称性和周期性，可以画出 $$f(x)$$ 在 $$[-3, 3]$$ 上的图像。

函数 $$g(x)$$ 分为两部分：
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$g(x) = 2^x$$，值域为 $$(0, 1]$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$g(x) = 1 - x$$，值域为 $$(-\infty, 1)$$。

通过图像分析，$$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 在 $$[-3, 3]$$ 上有 6 个交点。因此，正确答案是 B。

函数 $$f(x) = |2x - 3| + |x - 1|$$ 是一个分段线性函数，关键点出现在 $$x = \frac{3}{2}$$ 和 $$x = 1$$。分情况讨论：

1. **当 $$x \leq 1$$ 时**：
$$f(x) = 3 - 2x + 1 - x = 4 - 3x$$，最小值在 $$x = 1$$ 处为 $$f(1) = 1$$。

2. **当 $$1 < x \leq \frac{3}{2}$$ 时**：
$$f(x) = 3 - 2x + x - 1 = 2 - x$$，最小值在 $$x = \frac{3}{2}$$ 处为 $$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}$$。

3. **当 $$x > \frac{3}{2}$$ 时**：
$$f(x) = 2x - 3 + x - 1 = 3x - 4$$，最小值在 $$x = \frac{3}{2}$$ 处为 $$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}$$。

因此，函数的值域为 $$\left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$$。正确答案是 A。

设 $$\frac{f(x)}{x + 3} = k$$，即 $$f(x) = k(x + 3)$$。我们需要找到 $$k$$ 使得方程 $$f(x) = k(x + 3)$$ 有 $$n$$ 个不同的实数解。

1. **当 $$x \leq 0$$ 时**：
$$x^2 + 2x = k(x + 3)$$，整理得 $$x^2 + (2 - k)x - 3k = 0$$。判别式 $$\Delta = (2 - k)^2 + 12k = k^2 + 8k + 4$$ 恒大于 0，因此总有两个不同的实数解。

2. **当 $$x > 0$$ 时**：
$$e^x (-x^2 + 2x) = k(x + 3)$$。通过图像分析，可以发现有 1 或 2 个解，具体取决于 $$k$$ 的值。

综合两种情况，$$n$$ 的可能值为 3 或 4。因此，正确答案是 D。

函数 $$f(x)$$ 在 $$R$$ 上单调递增，需要满足：
1. 对数部分 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = \log_a x + 1$$ 递增，要求 $$a > 1$$。
2. 线性部分 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = (2a - 1)x - 1$$ 递增，要求 $$2a - 1 > 0$$，即 $$a > \frac{1}{2}$$。
3. 在 $$x = 1$$ 处连续，即 $$(2a - 1) \cdot 1 - 1 \leq \log_a 1 + 1$$，解得 $$2a - 2 \leq 0$$，即 $$a \leq 1$$。

综上，$$a$$ 的取值范围是 $$1 < a \leq \frac{3}{2}$$。因此，正确答案是 B。

面试人数 $$y = 60$$，根据分段函数：
1. 如果 $$1 \leq x < 10$$，$$y = 4x = 60$$，解得 $$x = 15$$，不在区间内。
2. 如果 $$10 \leq x < 100$$，$$y = 2x + 10 = 60$$，解得 $$x = 25$$，符合区间。
3. 如果 $$x \geq 100$$，$$y = 1.5x = 60$$，解得 $$x = 40$$，不在区间内。

因此，拟录用人数为 25。正确答案是 C。

题目描述不完整，无法直接解析。可能需要补充条件或重新表述。

定义 $$\varphi(x) = f(3x) - f(x) = 2 \cdot 3x - 2x = 4x$$。分析符号函数：
- $$f(x) = 2x$$，因此 $$sgn(f(x)) = sgn(x)$$。
- $$\varphi(x) = 4x$$，因此 $$sgn(\varphi(x)) = sgn(x)$$。

因此，$$sgn(f(x)) = sgn(\varphi(x))$$。正确答案是 C。

函数 $$f(x)$$ 的值域为 $$R$$，需要满足：
1. 当 $$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = \log_3 x$$ 的值域为 $$[0, +\infty)$$。
2. 当 $$x < 1$$ 时，$$f(x) = (2 - a)x + 3a$$ 需要覆盖 $$(-\infty, 0)$$。

因此，线性部分的斜率必须满足 $$2 - a < 0$$，即 $$a > 2$$，并且在 $$x \to 1^-$$ 时，$$f(x) \to (2 - a) + 3a = 2a + 2 \geq 0$$，即 $$a \geq -1$$。

综上，$$a$$ 的取值范围是 $$[-1, 2)$$。正确答案是 B。