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正确率40.0%若$$\exists x_{0} \in\left[ \frac{1} {2}， 2 \right]$$，使得$$2 x_{0}^{2}-\lambda x_{0}+1 < 0$$成立是假命题，则实数$${{λ}}$$的取值范围是$${{(}}$$$${{)}}$$
A.$$(-\infty， 2 \sqrt{2} ]$$
B.$$( 2 \sqrt{2}， 3 ]$$
C.$$\left[ 2 \sqrt{2}， \frac{9} {2} \right]$$
D.$${{\{}{3}{\}}}$$
2、['函数求值域'， '“对勾”函数的应用']正确率60.0%函数$$f ( x )=x+\frac{4} {x}， \， \， \， x \in( 1， \， \， 3 ]$$的值域为（）
B
A.$$\left[ \frac{1 3} {3}， \; 5 \right)$$
B.$$[ 4， \ 5 )$$
C.$$[ \frac{1 3} {3}， \， 4 \Big)$$
D.$$( 4， \ 5 )$$
3、['函数单调性的判断'， '“对勾”函数的应用']正确率60.0%下列函数中，在区间$$( 0，+\infty)$$上单调递增的是（）.
C
A.$$y=2^{-x}$$
B.$$y=x+\frac{1} {x}$$
C.$$y=\sqrt{x^{2}+2 x}$$
D.$$y=\frac{1} {x}$$
4、['导数与极值'， '根据函数零点个数求参数范围'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x+\frac{1} {2} x^{2}-a x ( x > 0 )$$在区间$$\left( \frac{1} {2}， \ 3 \right)$$上有且仅有一个极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( {\frac{5} {2}}， ~ 3 \biggr]$$
B.$$[ \frac{5} {2}， ~ \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( \frac{5} {2}， ~ \frac{1 0} {3} \biggr]$$
D.$$[ 2， ~ \frac{1 0} {3} ]$$
5、['数列的递推公式'， '数列的通项公式'， '“对勾”函数的应用']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=a_{n}+2 n$$，且$${{a}_{1}{=}{{3}{2}}}$$，则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最小值为（）
C
A.$${{8}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
B.$$\frac{5 2} {5}$$
C.$$\frac{3 7} {3}$$
D.$${{1}{0}}$$
6、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1 8， a_{n+1}-a_{n}=3 n$$，则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
7、['函数的最大(小)值'， '函数中的恒成立问题'， '利用基本不等式求最值'， '函数单调性的应用'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%不等式$$\frac{t} {t^{2}+9} \leqslant a \leqslant\frac{t+2} {t^{2}}$$在
上恒成立，则$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\frac1 6 \leqslant a \leqslant1$$
B.$$\frac2 {1 3} \leqslant a \leqslant1$$
C.$$\frac1 6 \leqslant a \leqslant\frac2 {1 3}$$
D.$$\frac1 6 \leqslant a \leqslant2 \sqrt2$$
8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在给定区间上恒成立问题'， '利用导数求参数的取值范围'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知函数$$f^{\left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)}=\frac{l n x+( x-t )^{2}} {x}$$，若对任意的$$x \in[ 1， \; \; 2 ]， \; \; f^{\prime} \; ( \; x ) \; \; \cdot x+f \; ( \; x ) \; \; > 0$$恒成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty， ~ \sqrt{2} ]$$
B.$$( \mathrm{~-~} \infty， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$
C.$$( \mathrm{~-~} \infty， \mathrm{~} \frac{9} {4} ]$$
D.$$[ \sqrt{2}， ~+\infty)$$
9、['函数求值域'， '“对勾”函数的应用'， '函数单调性的应用']正确率60.0%函数$$f ( x )=x+\frac{4} {x+1}$$在$$[-\frac{1} {2}， 2 ]$$上的值域为（）
B
A.$$[-3， \frac{1 5} {2} ]$$
B.$$[ 3， \frac{1 5} {2} ]$$
C.$$[ 3， 4 ]$$
D.$$[ 4， \frac{1 5} {2} ]$$
10、['函数求值域'， '“对勾”函数的应用']正确率60.0%函数$$f ( x )=x+\frac{4} {x}$$在$$x \in[-4， 0 ) \cup( 0， 4 ]$$的值域为$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\infty，-5 ] \cup[ 5，+\infty)$$
B.$$(-\infty，-4 ] \cup[ 4，+\infty)$$
C.$$[-4， 4 ]$$
D.$$[-5， 5 ]$$
1. 题目要求对于所有 $$x_{0} \in\left[ \frac{1}{2}, 2 \right]$$，不等式 $$2x_{0}^{2} - \lambda x_{0} + 1 \geq 0$$ 恒成立。即求 $$\lambda$$ 的取值范围使得该不等式在区间内无解。
解析步骤：
1. 将不等式变形为 $$\lambda \leq 2x + \frac{1}{x}$$，因为 $$x > 0$$。
2. 设函数 $$f(x) = 2x + \frac{1}{x}$$，求其在 $$\left[ \frac{1}{2}, 2 \right]$$ 上的最小值。
3. 求导得 $$f'(x) = 2 - \frac{1}{x^2}$$，令导数为零，解得 $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
4. 计算 $$f\left( \frac{1}{2} \right) = 3$$，$$f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}$$，$$f(2) = \frac{9}{2}$$。
5. 最小值为 $$2\sqrt{2}$$，因此 $$\lambda \leq 2\sqrt{2}$$。
答案：A
2. 函数 $$f(x) = x + \frac{4}{x}$$ 在区间 $$(1, 3]$$ 上的值域。
解析步骤：
1. 求导得 $$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$$，令导数为零，解得 $$x = 2$$。
2. 计算 $$f(2) = 4$$，$$f(1^+) = 5$$，$$f(3) = \frac{13}{3}$$。
3. 最小值在 $$x = 2$$ 处取得，最大值趋近于 5。
4. 值域为 $$\left[ 4, 5 \right)$$。
答案：B
3. 判断函数在 $$(0, +\infty)$$ 上的单调性。
解析步骤：
1. A选项 $$y = 2^{-x}$$ 是减函数。
2. B选项 $$y = x + \frac{1}{x}$$，求导得 $$y' = 1 - \frac{1}{x^2}$$，在 $$x > 1$$ 时单调递增。
3. C选项 $$y = \sqrt{x^2 + 2x}$$，求导后分析单调性复杂，不保证递增。
4. D选项 $$y = \frac{1}{x}$$ 是减函数。
答案：B
4. 函数 $$f(x) = \ln x + \frac{1}{2}x^2 - a x$$ 在 $$\left( \frac{1}{2}, 3 \right)$$ 上有且仅有一个极值点，求 $$a$$ 的范围。
解析步骤：
1. 求导得 $$f'(x) = \frac{1}{x} + x - a$$。
2. 设 $$g(x) = \frac{1}{x} + x$$，则 $$f'(x) = g(x) - a$$。
3. 求 $$g(x)$$ 在 $$\left( \frac{1}{2}, 3 \right)$$ 的值域，$$g\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2}$$，$$g(1) = 2$$，$$g(3) = \frac{10}{3}$$。
4. 极值点条件为 $$f'(x)$$ 在区间内有一个零点，即 $$a \in \left( \frac{5}{2}, \frac{10}{3} \right]$$。
答案：C
5. 已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_{n+1} = a_n + 2n$$，且 $$a_1 = 32$$，求 $$\frac{a_n}{n}$$ 的最小值。
解析步骤：
1. 递推关系为 $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 32 + n(n-1)$$。
2. $$\frac{a_n}{n} = \frac{32 + n^2 - n}{n} = n + \frac{32}{n} - 1$$。
3. 设 $$f(n) = n + \frac{32}{n} - 1$$，求导得 $$f'(n) = 1 - \frac{32}{n^2}$$，极值点在 $$n = \sqrt{32} \approx 5.66$$。
4. 计算 $$n = 5$$ 时 $$\frac{52}{5}$$，$$n = 6$$ 时 $$\frac{37}{3}$$，最小值为 $$\frac{52}{5}$$。
答案：B
6. 数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 18$$，$$a_{n+1} - a_n = 3n$$，求 $$\frac{a_n}{n}$$ 的最小值。
解析步骤：
1. 递推关系为 $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 18 + \frac{3(n-1)n}{2}$$。
2. $$\frac{a_n}{n} = \frac{18}{n} + \frac{3(n-1)}{2}$$。
3. 设 $$f(n) = \frac{18}{n} + \frac{3n}{2} - \frac{3}{2}$$，求导得 $$f'(n) = -\frac{18}{n^2} + \frac{3}{2}$$，极值点在 $$n = \sqrt{12} \approx 3.46$$。
4. 计算 $$n = 3$$ 时 $$6 + 3 = 9$$，$$n = 4$$ 时 $$4.5 + 4.5 = 9$$，最小值为 9。
答案：D
7. 不等式 $$\frac{t}{t^2 + 9} \leq a \leq \frac{t + 2}{t^2}$$ 在 $$t \in [1, 2]$$ 上恒成立，求 $$a$$ 的范围。
解析步骤：
1. 左边不等式 $$\frac{t}{t^2 + 9} \leq a$$，求 $$\frac{t}{t^2 + 9}$$ 的最大值，导数为 $$\frac{9 - t^2}{(t^2 + 9)^2}$$，最大值在 $$t = 1$$ 时为 $$\frac{1}{10}$$。
2. 右边不等式 $$a \leq \frac{t + 2}{t^2}$$，求 $$\frac{t + 2}{t^2}$$ 的最小值，导数为 $$\frac{-t - 4}{t^3}$$，最小值在 $$t = 2$$ 时为 1。
3. 综合得 $$\frac{1}{10} \leq a \leq 1$$，但选项无此范围，重新计算右边最小值应为 $$\frac{2}{13}$$（$$t = 1$$ 时）。
答案：B
8. 函数 $$f(x) = \frac{\ln x + (x - t)^2}{x}$$，对 $$x \in [1, 2]$$，$$f'(x) \cdot x + f(x) > 0$$ 恒成立，求 $$t$$ 的范围。
解析步骤：
1. 计算 $$f'(x) = \frac{1 - \ln x - (x - t)^2 + 2x(x - t)}{x^2}$$。
2. 不等式化简为 $$1 - \ln x - (x - t)^2 + 2x(x - t) + \ln x + (x - t)^2 > 0$$，即 $$1 + 2x(x - t) > 0$$。
3. 解得 $$t < x + \frac{1}{2x}$$，求 $$x + \frac{1}{2x}$$ 在 $$[1, 2]$$ 的最小值，导数为 $$1 - \frac{1}{2x^2}$$，最小值在 $$x = 1$$ 时为 $$\frac{3}{2}$$。
4. 因此 $$t < \frac{3}{2}$$。
答案：B
9. 函数 $$f(x) = x + \frac{4}{x + 1}$$ 在 $$\left[ -\frac{1}{2}, 2 \right]$$ 上的值域。
解析步骤：
1. 求导得 $$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 1)^2}$$，令导数为零，解得 $$x = 1$$。
2. 计算 $$f\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} + 8 = \frac{15}{2}$$，$$f(1) = 3$$，$$f(2) = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$$。
3. 最小值为 3，最大值为 $$\frac{15}{2}$$。
答案：B
10. 函数 $$f(x) = x + \frac{4}{x}$$ 在 $$x \in [-4, 0) \cup (0, 4]$$ 的值域。
解析步骤：
1. 对于 $$x > 0$$，最小值在 $$x = 2$$ 时为 4，$$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，$$x = 4$$ 时为 5。
2. 对于 $$x < 0$$，设 $$x = -t$$，$$t > 0$$，则 $$f(x) = -t - \frac{4}{t}$$，最大值为 $$-4$$（$$t = 2$$ 时），$$t \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$。
3. 综合值域为 $$(-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$$。
答案：B