分段函数模型的应用-3.4 函数的应用（一）知识点专题进阶单选题自测题解析-辽宁省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['函数的零点与方程的解'， '分段函数模型的应用']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {e^{x}，} & {x \leqslant0} \\ {\operatorname{l n} x，} & {x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=f ( x )+x-m$$恰有两个不同的零点，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 0， 1 ]$$

B.$$(-1， 1 )$$

C.$$[ 0， 1 )$$

D.$$(-\infty， 1 ]$$

2、['分段函数模型的应用']

正确率60.0%根据统计，一名工人组装第$${{x}}$$件某产品所用的时间(单位：分钟)$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {\frac{c} {\sqrt{x}}， x < A} \\ {\frac{c} {\sqrt{A}}， x \geqslant A} \\ \end{array} \right.$$($${{A}{，}{c}}$$为常数).已知工人组装第$${{4}}$$件产品用时$${{3}{0}}$$分钟，组装第$${{A}}$$件产品用时$${{1}{5}}$$分钟，那么$${{c}}$$和$${{A}}$$的值分别是（）

A.$${{7}{5}{，}{{2}{5}}}$$

B.$${{7}{5}{，}{{1}{6}}}$$

C.$${{6}{0}{，}{{2}{5}}}$$

D.$${{6}{0}{，}{{1}{6}}}$$

3、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '分段函数模型的应用']

正确率19.999999999999996%设$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {-x^{2}+1， 0 \leq x < 1} \\ {2-2^{x}， x \geq1} \\ \end{matrix} \right.$$，若对任意的$$x \in[ m， ~ m+1 ]$$，不等式$$f \left( 1-x \right) \ \leqslant f \left( \ x+m \right)$$恒成立，则实数$${{m}}$$的最大值是（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$$- \frac{1} {3}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

4、['等差数列的通项公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的基本量'， '分段函数模型的应用'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，$$a_{4}=2 0， \， \， a_{1 2}=-2 0$$，记数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的第$${{n}}$$项到第$${{n}{+}{3}}$$项的和为$${{T}_{n}}$$，则$${{|}{{T}_{n}}{|}}$$取得最小值时的$${{n}}$$的值为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{6}}$$或$${{7}}$$

D.$${{7}}$$或$${{8}}$$

5、['三角函数的图象变换'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数模型的应用']

正确率40.0%把函数$$y=\operatorname{s i n} ~ ( 4 x-\frac{\pi} {6} )$$的图象上所有点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍（纵坐标不变）得到函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象，已知函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{array} {l} {f ( x )， \ \ -\frac{1 1 \pi} {1 2} \leqslant x \leqslant a} \\ {3 x^{2}-2 x-1， \ a < x \leqslant\frac{1 3 \pi} {1 2}} \\ \end{array} \right.$$，则当函数$${{g}{（}{x}{）}}$$有$${{4}}$$个零点时$${{a}}$$的取值集合为（）

A.$$( \mathrm{~-} \， \frac{5 \pi} {1 2}， \mathrm{~-} \， \frac{1} {3} ) \ \cup\mathrm{~ ( ~ \frac{\pi} {1 2}， \ 1 ) ~ \cup~ ( \frac{7 \pi} {1 2}， \mathrm{~ \frac{1 3 \pi} {1 2} ~ ) ~}}$$

B.$$[-\frac{5 \pi} {1 2}， ~-\frac{1} {3} ) ~ \cup[ \frac{\pi} {1 2}， ~ 1 ) ~ \cup[ \frac{7 \pi} {1 2}， ~ \frac{1 3 \pi} {1 2} )$$

C.$$[-\frac{5 \pi} {1 2}， ~-\frac{1} {3} ) ~ \cup[ \frac{7 \pi} {1 2}， ~ \frac{1 3 \pi} {1 2} )$$

D.$$[-\frac{5 \pi} {1 2}， ~-\frac{1} {3} ) ~ \cup[ \frac{\pi} {1 2}， ~ 1 )$$

6、['函数的新定义问题'， '一元二次不等式的解法'， '分段函数模型的应用']

正确率60.0%设函数$$y=f ~ ( x )$$在$${{R}}$$上有定义，对于任一给定的正数$${{p}}$$，定义函数$$f_{p \setminus( x )} \ =\left\{\begin{array} {l l} {f ( x )， f ( x ) \leq p} \\ {p， f ( x ) > p} \\ \end{array} \right.$$，则称函数$$f_{p} \textsubscript{\textit{( x )}}$$为$${{f}{（}{x}{）}}$$的$${{“}{p}}$$界函数$${{”}}$$若给定函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=x^{2}-2 x-1， \ p=2$$，则下列结论不成立的是（）

A.$$f_{p} [ f \left( \mathbf{0} \right) ]=f [ f_{p} \left( \mathbf{0} \right) ]$$

B.$$f_{p} [ f \textsubscript{( 1 )} ]=f [ f_{p} \textsubscript{( 1 )} ]$$

C.$$f_{p} [ f_{p} \textsubscript{( 2 )} ]=f [ f \textsubscript{( 2 )} ]$$

D.$$f_{p} [ f \textsc{( 3 )} ]=f [ f \textsc{( 3 )} ]$$

7、['一元二次不等式的解法'， '分段函数模型的应用']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {c c} {} & {0， x < 0，} \\ {} & {1， x \geq0，} \\ \end{array} \right.$$则满足$$x^{2} f ( x )+x f ( x+1 ) \leqslant2$$的$${{x}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 0 )$$

B.$$(-\infty， \frac{1} {2} ]$$

C.$$(-\infty， 1 ]$$

D.$$(-\infty， \frac{\sqrt{1 7}-1} {4} ]$$

8、['分段函数模型的应用']

正确率60.0%设$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{array} {l l} {x^{2} x \in[ 0， 1 ]} \\ {2-x x \in[ 1， 2 ]} \\ \end{array} \right.$$，则$$\int_{0}^{2} f \left( x \right) \ d x$$的值为（）

A.$$\frac{3} {4}$$

B.$$\frac{4} {5}$$

C.$$\frac{5} {6}$$

D.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {6}} \\ \end{array}$$

9、['函数求值'， '分段函数模型的应用']

正确率60.0%已知函数$$f^{\tiny( \smallskip)} \ =\left\{\begin{array} {l l} {2^{x} ( x \geq2 )} \\ {f ( x+1 ) ( x < 2 )} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ~ ( \log_{2} 3 ) ~=~ ($$）

A.$${{6}}$$

B.$${{3}}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

10、['分段函数模型的应用']

正确率40.0%某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：若顾客购物总金额不超过$${{8}{0}{0}}$$元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过$${{8}{0}{0}}$$元，则超过$${{8}{0}{0}}$$元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表的折扣方式分别累加计算：

可以享受折扣优惠金额	折扣率
不超过 $${{5}{0}{0}}$$ 元的部分	$${{5}{%}}$$
超过 $${{5}{0}{0}}$$ 元的部分	$${{1}{0}{%}}$$

若某顾客在此商场获得的折扣金额为$${{5}{0}}$$元，则此人购物实际所付金额为（）

A.$${{1}{{5}{0}{0}}}$$元

B.$${{1}{{5}{5}{0}}}$$元

C.$${{1}{{7}{5}{0}}}$$元

D.$${{1}{{8}{0}{0}}}$$元

1. 解析：

函数 $$g(x) = f(x) + x - m$$ 的零点问题转化为求 $$f(x) = m - x$$ 的交点个数。分段讨论：

- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = e^x$$，要求 $$e^x = m - x$$。令 $$h(x) = e^x + x - m$$，求导得 $$h'(x) = e^x + 1 > 0$$，函数单调递增。当 $$x \to -\infty$$，$$h(x) \to -\infty$$；当 $$x = 0$$，$$h(0) = 1 - m$$。因此，若 $$h(0) \geq 0$$（即 $$m \leq 1$$），有一个零点。

- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \ln x$$，要求 $$\ln x = m - x$$。令 $$k(x) = \ln x + x - m$$，求导得 $$k'(x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$$，函数单调递增。当 $$x \to 0^+$$，$$k(x) \to -\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$k(x) \to +\infty$$，因此有一个零点。

综上，$$g(x)$$ 恰有两个零点时，需满足 $$m \leq 1$$ 且 $$m \neq 1$$（否则在 $$x \leq 0$$ 和 $$x > 0$$ 各有一个零点）。但进一步分析发现，当 $$m = 0$$ 时，$$x \leq 0$$ 无解，$$x > 0$$ 有一个解；当 $$0 < m < 1$$ 时，$$x \leq 0$$ 和 $$x > 0$$ 各有一个解。因此，$$m \in (-\infty, 1)$$，但选项中最接近的是 $$(-\infty, 1]$$，但需排除 $$m = 1$$。结合选项，选 D。

2. 解析：

根据题意，组装第 4 件产品用时 30 分钟，即 $$f(4) = \frac{c}{\sqrt{4}} = 30$$，解得 $$c = 60$$。组装第 A 件产品用时 15 分钟，即 $$f(A) = \frac{c}{\sqrt{A}} = 15$$，代入 $$c = 60$$ 得 $$\sqrt{A} = 4$$，即 $$A = 16$$。因此，$$c = 60$$，$$A = 16$$，选 D。

3. 解析：

函数 $$f(x)$$ 是偶函数，先分析 $$x \geq 0$$ 时的性质：

- 当 $$0 \leq x < 1$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 1$$，单调递减；

- 当 $$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = 2 - 2^x$$，单调递减。

不等式 $$f(1 - x) \leq f(x + m)$$ 对 $$x \in [m, m + 1]$$ 恒成立。由于 $$f(x)$$ 是偶函数，且单调递减，等价于 $$|1 - x| \geq |x + m|$$。解不等式得 $$x \leq \frac{1 - m}{2}$$。要求对 $$x \in [m, m + 1]$$ 恒成立，需 $$\frac{1 - m}{2} \geq m + 1$$，解得 $$m \leq -\frac{1}{3}$$。因此，$$m$$ 的最大值为 $$-\frac{1}{3}$$，选 B。

4. 解析：

等差数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_4 = 20$$，$$a_{12} = -20$$，公差 $$d = \frac{a_{12} - a_4}{8} = -5$$，首项 $$a_1 = a_4 - 3d = 35$$。通项公式为 $$a_n = 35 + (n - 1)(-5) = 40 - 5n$$。

$$T_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = (40 - 5n) + (40 - 5(n+1)) + (40 - 5(n+2)) + (40 - 5(n+3)) = 160 - 20n - 30 = 130 - 20n$$。

$$|T_n| = |130 - 20n|$$，当 $$n = 6$$ 时，$$T_6 = 10$$；当 $$n = 7$$ 时，$$T_7 = -10$$；当 $$n = 8$$ 时，$$T_8 = -30$$。因此，$$|T_n|$$ 在 $$n = 6$$ 或 $$7$$ 时最小，选 C。

5. 解析：

函数 $$f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$$（横坐标伸长 2 倍）。函数 $$g(x)$$ 的零点分为两部分：

- $$f(x) = 0$$ 在 $$[-\frac{11\pi}{12}, a]$$ 上的解：$$2x - \frac{\pi}{6} = k\pi$$，解得 $$x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{12}$$。在区间内，$$k = -1, 0$$ 对应 $$x = -\frac{5\pi}{12}$$ 和 $$x = \frac{\pi}{12}$$。

- $$3x^2 - 2x - 1 = 0$$ 在 $$(a, \frac{13\pi}{12}]$$ 上的解：$$x = 1$$ 或 $$x = -\frac{1}{3}$$。

要求 $$g(x)$$ 有 4 个零点，需 $$f(x) = 0$$ 有 2 个解，且 $$3x^2 - 2x - 1 = 0$$ 有 2 个解。因此，$$a$$ 需满足：

1. $$a \in (-\frac{5\pi}{12}, -\frac{1}{3})$$：包含 $$x = -\frac{5\pi}{12}$$，不包含 $$x = \frac{\pi}{12}$$，且 $$x = -\frac{1}{3}$$ 在 $$(a, \frac{13\pi}{12}]$$ 内；

2. $$a \in [\frac{\pi}{12}, 1)$$：包含 $$x = \frac{\pi}{12}$$，且 $$x = 1$$ 在 $$(a, \frac{13\pi}{12}]$$ 内；

3. $$a \in [\frac{7\pi}{12}, \frac{13\pi}{12})$$：不包含 $$x = \frac{\pi}{12}$$，但 $$x = 1$$ 仍在区间内。

综上，$$a$$ 的取值集合为 $$[-\frac{5\pi}{12}, -\frac{1}{3}) \cup [\frac{\pi}{12}, 1) \cup [\frac{7\pi}{12}, \frac{13\pi}{12})$$，选 B。

6. 解析：

给定 $$f(x) = x^2 - 2x - 1$$，$$p = 2$$，$$f_p(x) = \min(f(x), 2)$$。

逐项验证：

A. $$f_p(f(0)) = f_p(-1) = -1$$，$$f(f_p(0)) = f(-1) = 2$$，不成立；

B. $$f_p(f(1)) = f_p(-2) = -2$$，$$f(f_p(1)) = f(-2) = 7$$，不成立；

C. $$f_p(f_p(2)) = f_p(-1) = -1$$，$$f(f(2)) = f(-1) = 2$$，不成立；

D. $$f_p(f(3)) = f_p(2) = 2$$，$$f(f(3)) = f(2) = -1$$，不成立。

题目要求选择不成立的结论，但选项 A、B、C、D 均不成立，可能是题目描述有误。重新检查发现 $$f_p(f(0)) = f_p(-1) = -1$$，$$f(f_p(0)) = f(-1) = 2$$，确实不成立，选 A。

7. 解析：

函数 $$f(x)$$ 是阶跃函数，分情况讨论：

- 当 $$x < -1$$ 时，$$f(x) = 0$$，$$f(x+1) = 0$$，不等式为 $$0 \leq 2$$，恒成立；

- 当 $$-1 \leq x < 0$$ 时，$$f(x) = 0$$，$$f(x+1) = 1$$，不等式为 $$x \leq 2$$，恒成立；

- 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = 1$$，$$f(x+1) = 1$$，不等式为 $$x^2 + x - 2 \leq 0$$，解得 $$-2 \leq x \leq 1$$，即 $$0 \leq x \leq 1$$。

综上，$$x \in (-\infty, 1]$$，选 C。

8. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分段积分：

$$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2 - x) dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{1}{3} + (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 - \frac{3}{2} = \frac{7}{6}$$，选 D。

9. 解析：

函数 $$f(x)$$ 是分段递归的，$$\log_2 3 < 2$$，因此 $$f(\log_2 3) = f(\log_2 3 + 1) = f(\log_2 6)$$。$$\log_2 6 < 4$$，继续递归到 $$x \geq 2$$：

$$f(\log_2 3) = 2^{\log_2 6} = 6$$，选 A。

10. 解析：

设购物总金额为 $$x$$ 元，折扣金额为 50 元。根据折扣规则：

- 若 $$800 < x \leq 1300$$，折扣金额为 $$(x - 800) \times 5\% = 50$$，解得 $$x = 1800$$，但超出范围；

- 若 $$x > 1300$$，折扣金额为 $$500 \times 5\% + (x - 1300) \times 10\% = 50$$，解得 $$x = 1300 + (50 - 25) \times 10 = 1550$$。

实际所付金额为 $$1550 - 50 = 1500$$ 元，选 A。

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