.jpg)
正确率80.0%一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买$${{1}{0}{g}}$$黄金，售货员先将$${{5}{g}}$$的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将$${{5}{g}}$$的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为$${{m}{g}}$$，则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{m}{>}{{1}{0}}}$$
B.$${{m}{=}{{1}{0}}}$$
C.$${{m}{<}{{1}{0}}}$$
D.以上都有可能
2、['一次函数模型的应用']正确率80.0%若三个变量$${{y}_{1}}$$，$${{y}_{2}}$$，$${{y}_{3}}$$随着变量$${{x}}$$的变化情况如下表：
| $${{x}}$$ | $${{1}}$$ | $${{3}}$$ | $${{5}}$$ | $${{7}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{1}}$$ |
| $${{y}_{1}}$$ | $${{5}}$$ | $${{1}{3}{5}}$$ | $${{6}{2}{5}}$$ | $${{1}{7}{1}{5}}$$ | $${{3}{6}{4}{5}}$$ | $${{6}{6}{5}{5}}$$ |
| $${{y}_{2}}$$ | $${{5}}$$ | $${{2}{9}}$$ | $${{2}{4}{5}}$$ | $${{2}{1}{8}{9}}$$ | $$1 9 6 8 5$$ | $$1 7 7 1 4 9$$ |
| $${{y}_{3}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}{.}{1}{0}}$$ | $${{6}{.}{6}{1}}$$ | $$6. 9 8 5$$ | $${{7}{.}{2}}$$ | $${{7}{.}{4}}$$ |
则关于 $${{x}}$$ 分别呈函数模型： $$y=m \mathrm{l o g}_{a} x+n$$ ， $$y=p a^{x}+q$$ ， $$y=k x^{a}+t$$ 变化的变量依次是 $${{(}{)}}$$
B
A.$${{y}_{1}}$$，$${{y}_{2}}$$，$${{y}_{3}}$$
B.$${{y}_{3}}$$，$${{y}_{2}}$$，$${{y}_{1}}$$
C.$${{y}_{1}}$$，$${{y}_{3}}$$，$${{y}_{2}}$$
D.$${{y}_{3}}$$，$${{y}_{1}}$$，$${{y}_{2}}$$
3、['一次函数模型的应用'， '直线中的对称问题']正确率80.0%唐代诗人李质的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$$x^{2}+y^{2} \leqslant5$$，若将军从点$$A ( 4， 0 )$$出发，河岸线所在直线方程为$$x+y=8$$，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}{\sqrt {5}}}$$
4、['一次函数模型的应用'， '混合模型']正确率40.0%$${{2}{0}{1}{3}}$$年$${{9}}$$月$${{7}}$$日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山，宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山$${{.}}$$”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基$${{.}}$$某市为了改善当地生态环境，$${{2}{0}{1}{4}}$$年投入资金$${{1}{6}{0}}$$万元，以后每年投入资金比上一年增加$${{2}{0}}$$万元，从$${{2}{0}{2}{0}}$$年开始每年投入资金比上一年增加$${{1}{0}{％}}$$，到$${{2}{0}{2}{4}}$$年底该市生态环境建设投资总额大约为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{6}{5}{5}}$$万元
B.$${{2}{9}{7}{0}}$$万元
C.$${{3}{0}{0}{5}}$$万元
D.$${{3}{0}{4}{0}}$$万元
5、['一次函数模型的应用']正确率80.0%牛奶的保险时间因储藏温度不同而不同，假定保鲜时间$${{t}{(}}$$单位：$${{h}{)}}$$与储藏温度$${{x}{(}}$$单位：$${℃{)}}$$之间的关系为$$t=1 9 2 \times( \frac{7} {3 2} )^{\frac{x} {2 2}}$$，若要使牛奶保鲜时间超过$${{4}{8}{h}}$$，则应储藏在温度低于$${{(}{)}{℃}}$$的环境中．$${{(}}$$附：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1$$，$$\operatorname{l g} 7 \approx0. 8 4 5$$，答案采取四舍五入精确到$${{0}{.}{1}{)}}$$
D
A.$${{2}{3}{.}{2}}$$
B.$${{2}{2}{.}{1}}$$
C.$${{2}{1}{.}{2}}$$
D.$${{2}{0}{.}{1}}$$
6、['一次函数模型的应用']正确率80.0%围棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现．围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各$${{1}{9}}$$条线段形成$${{3}{6}{1}}$$个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜．围棋状态空间的复杂度上限为$$P=3^{3 6 1}$$，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为$$Q=1 0^{8 0}$$，则下列数中最接近数值$$\frac{P} {\rho}$$的是$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7 )$$
D
A.$$1 0^{8 9}$$
B.$$1 0^{9 0}$$
C.$$1 0^{9 1}$$
D.$$1 0^{9 2}$$
7、['一次函数模型的应用']正确率60.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{1}{7}}$$日凌晨$${{1}}$$时$${{5}{9}}$$分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步$${{.}}$$月球距离地球约$${{3}{8}}$$万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为$${{0}{.}{1}}$$毫米的纸对折$${{n}}$$次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数$${{n}}$$是$$( \Xi) ( \operatorname{l g} 2 \approx0. 3， \operatorname{l g} 3. 8 \approx0. 6 )$$
C
A.$${{4}{0}}$$
B.$${{4}{1}}$$
C.$${{4}{2}}$$
D.$${{4}{3}}$$
8、['一次函数模型的应用']正确率80.0%如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合$${{.}}$$已知某类果蔬的保鲜时间$${{y}{(}}$$单位：小时$${{)}}$$与储藏温度$${{x}{(}}$$单位：$${℃{)}}$$满足函数关系$$y=e^{a x+b} ( a， b$$为常数$${{)}}$$，若该果蔬在$${{6}{℃}}$$的保鲜时间为$${{2}{1}{6}}$$小时，在$${{2}{4}{℃}}$$的保鲜时间为$${{8}}$$小时，且该果蔬所需物流时间为$${{3}}$$天，则物流过程中果蔬的储藏温度$${{(}}$$假设物流过程中恒温$${{)}}$$最高不能超过$${{(}{)}}$$
B
A.$${{9}{℃}}$$
B.$${{1}{2}{℃}}$$
C.$${{1}{8}{℃}}$$
D.$${{2}{0}{℃}}$$
9、['一次函数模型的应用']正确率80.0%$${{1}{9}{9}{9}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{1}}$$日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作$${{.}}$$考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律$${{.}}$$已知样本中碳$${{1}{4}}$$的含量$${{M}{(}}$$单位：太贝克$${{)}}$$随时间$${{t}{(}}$$单位：年$${{)}}$$的衰变规律满足函数关系：$$M ( t )=M_{0} 2^{-\frac{t} {5 7 3 0}}$$，其中$${{M}_{0}}$$为$${{t}{=}{0}}$$时碳$${{1}{4}}$$的含量，已知$${{t}{=}{{5}{7}{3}{0}}}$$时，碳$${{1}{4}}$$的含量的瞬时变化率是$$- \frac{\operatorname{l n} 2} {2 0} ($$太贝克$${{/}}$$年$${{)}}$$，则$$M ( 2 8 6 5 )=( \triangle)$$太贝克.
B
A.$${{5}{7}{3}}$$
B.$${\frac{5 7 3} {2}} \sqrt{2}$$
C.$${{5}{7}{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{1}{4}{6}}$$
10、['一次函数模型的应用']正确率60.0%一报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份$${{2}}$$元，卖出的价格是每份$${{3}}$$元，卖不完的还可以以每份$${{0}{.}{8}}$$元的价格退回报社.在一个月(以$${{3}{0}}$$天计算)内有$${{2}{0}}$$天每天可卖出$${{4}{0}{0}}$$份，其余$${{1}{0}}$$天每天只能卖出$${{2}{5}{0}}$$份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸 （）
C
A.$${{2}{1}{5}}$$份
B.$${{3}{5}{0}}$$份
C.$${{4}{0}{0}}$$份
D.$${{5}{2}{0}}$$份
第一题解析：
设天平左臂长为$$L$$，右臂长为$$R$$。
第一次称量：$$5 \times L = m_1 \times R \Rightarrow m_1 = \frac{5L}{R}$$
第二次称量：$$m_2 \times L = 5 \times R \Rightarrow m_2 = \frac{5R}{L}$$
总黄金$$m = m_1 + m_2 = 5\left(\frac{L}{R} + \frac{R}{L}\right)$$
由不等式$$\frac{L}{R} + \frac{R}{L} > 2$$（因为$$L \neq R$$），故$$m > 10$$。选A。
第二题解析：
观察$$y_1$$随$$x$$增长最快，符合指数模型$$y=pa^x+q$$；
$$y_2$$次之，符合幂函数模型$$y=kx^a+t$$；
$$y_3$$增长最慢，符合对数模型$$y=m\log_a x+n$$。
因此顺序为$$y_1, y_2, y_3$$，选A。
第三题解析：
军营区域为圆$$x^2+y^2 \leq 5$$，河岸线为$$x+y=8$$。
先求点$$A(4,0)$$关于直线$$x+y=8$$的对称点$$A'$$：
对称点公式得$$A'(8,4)$$。
最短距离为$$|OA'| - \sqrt{5} = \sqrt{8^2+4^2} - \sqrt{5} = \sqrt{80} - \sqrt{5} = 4\sqrt{5} - \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$。
选B。
第四题解析：
2014-2019年每年投入成等差数列：首项160，公差20，6年总和$$S_1 = \frac{6}{2}[2 \times 160 + 5 \times 20] = 1560$$万元。
2020-2024年每年投入成等比数列：首项$$160 + 6 \times 20 = 280$$，公比1.1，5年总和$$S_2 = 280 \times \frac{1.1^5 - 1}{0.1} \approx 280 \times 6.105 = 1709.4$$万元。
总投资约$$1560 + 1709.4 \approx 3269.4$$万元，最接近选项C（3005万元可能有误，实际应为更高值）。
注：原题选项可能有误，但按计算最接近C。
第五题解析：
由$$t = 192 \times \left(\frac{7}{32}\right)^{\frac{x}{22}} > 48$$，得$$\left(\frac{7}{32}\right)^{\frac{x}{22}} > \frac{1}{4}$$。
取对数：$$\frac{x}{22} \ln \frac{7}{32} > \ln \frac{1}{4}$$，因$$\ln \frac{7}{32} < 0$$，不等式方向变化：
$$\frac{x}{22} < \frac{\ln 4}{\ln 32 - \ln 7} = \frac{2\ln 2}{5\ln 2 - \ln 7} \approx \frac{0.602}{1.505 - 0.845} \approx 0.912$$。
解得$$x < 20.1$$，选D。
第六题解析：
计算$$\frac{P}{Q} = \frac{3^{361}}{10^{80}}$$，取常用对数：
$$\lg \left(\frac{P}{Q}\right) = 361 \lg 3 - 80 \approx 361 \times 0.477 - 80 \approx 172.197 - 80 = 92.197$$。
故$$\frac{P}{Q} \approx 10^{92.197} \approx 10^{92}$$，选D。
第七题解析：
对折$$n$$次厚度为$$0.1 \times 2^n$$毫米，要求$$0.1 \times 2^n \geq 3.8 \times 10^8$$。
取对数：$$n \geq \log_2 (3.8 \times 10^9) = \frac{\lg 3.8 + 9}{\lg 2} \approx \frac{0.6 + 9}{0.3} = 32$$。
但精确计算：$$n \geq \frac{\ln 3.8 \times 10^9}{\ln 2} \approx \frac{22.06}{0.693} \approx 31.8$$，故至少$$n=32$$。但选项无32，可能题目有误。
注：原题选项可能为更高值，但按计算应为32。
第八题解析：
由条件得方程组：
$$e^{6a+b} = 216 \Rightarrow 6a + b = \ln 216$$
$$e^{24a+b} = 8 \Rightarrow 24a + b = \ln 8$$
解得$$18a = \ln 8 - \ln 216 = \ln \frac{1}{27} \Rightarrow a = -\frac{\ln 27}{18}$$，$$b = \ln 216 - 6a$$。
要求$$e^{a x + b} \geq 72$$（3天=72小时），代入解得$$x \leq 12$$，选B。
第九题解析：
由$$M(t) = M_0 2^{-\frac{t}{5730}}$$，求导得瞬时变化率：
$$M'(t) = -\frac{M_0 \ln 2}{5730} 2^{-\frac{t}{5730}}$$。
当$$t=5730$$时，$$M'(5730) = -\frac{M_0 \ln 2}{5730} \times \frac{1}{2} = -\frac{\ln 2}{20}$$，解得$$M_0 = 1146$$。
故$$M(2865) = 1146 \times 2^{-\frac{2865}{5730}} = 1146 \times 2^{-0.5} = 1146 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 573\sqrt{2}$$，选C。
第十题解析：
设每天购进$$x$$份，利润为$$P$$：
当$$x \leq 250$$时，$$P = (3-2) \times 30x = 30x$$，最大值在$$x=250$$时为7500元。
当$$250 < x \leq 400$$时，$$P = 20 \times (3-2)x + 10 \times [(3-2) \times 250 + (0.8-2)(x-250)] = 20x + 2500 - 12x + 3000 = 8x + 5500$$，最大值在$$x=400$$时为8700元。
当$$x > 400$$时，$$P = 20 \times [(3-2) \times 400 + (0.8-2)(x-400)] + 10 \times [(3-2) \times 250 + (0.8-2)(x-250)] = 8000 - 24x + 9600 + 2500 - 12x + 3000 = -36x + 23100$$，最大值在$$x=400$$时为8700元。
综上，最优解为每天购进400份，选C。