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正确率60.0%某医院在设备更新后的第$${{n}}$$天，对某项疾病指标检测，每个检测对象检测过程(从接受检测到检测报告生成)平均耗时为$${{t}{(}{n}{)}}$$(单位：小时)，$${{t}{(}{n}{)}}$$与$${{n}}$$近似满足的关系为$$t ( n )=\left\{\begin{matrix} {\frac{t_{0}} {\sqrt{n}}， n < N_{0}，} \\ {\frac{t_{0}} {\sqrt{N_{0}}}， n \geqslant N_{0}} \\ \end{matrix} \right.$$($${{t}_{0}{，}{{N}_{0}}}$$为常数).已知第$${{1}{6}}$$天每个检测对象检测过程平均耗时为$${{1}{6}}$$小时，第$${{6}{4}}$$天和第$${{6}{7}}$$天每个检测对象检测过程平均耗时均为$${{8}}$$小时，那么第$${{4}{9}}$$天每个检测对象检测过程平均耗时大致为（）
C
A.$${{1}{6}}$$小时
B.$${{1}{1}}$$小时
C.$${{9}}$$小时
D.$${{8}}$$小时
2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '分段函数模型的应用']正确率19.999999999999996%设$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {-x^{2}+1， 0 \leq x < 1} \\ {2-2^{x}， x \geq1} \\ \end{matrix} \right.$$，若对任意的$$x \in[ m， ~ m+1 ]$$，不等式$$f \left( 1-x \right) \ \leqslant f \left( \ x+m \right)$$恒成立，则实数$${{m}}$$的最大值是（）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
3、['在给定区间上恒成立问题'， '分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} ( x-a )^{2}-1， \ x \leqslant1，} \\ {} & {{} \operatorname{l n} x， \ x > 1.} \\ \end{aligned} \right.$$若$$f ( x ) \geqslant f ( 1 )$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ 1， \ 2 ]$$
B.$$[ 0， \ 2 ]$$
C.$$[ 1， ~+\infty)$$
D.$$[ 2， ~+\infty)$$
4、['函数中的存在性问题'， '分段函数模型的应用'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} | l o g_{3} x |， 0 < x < 3} \\ {} & {{}-\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3} x )， 3 \leqslant x \leqslant9} \\ \end{aligned} \right.$$，若存在实数$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ x_{4}$$，当$$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$$时满足$$f ( x_{1} )=f ( x_{2} )=f ( x_{3} )=f ( x_{4} )$$，则$$x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 7， \frac{2 9} {4} )$$
B.$$( 2 1， \frac{1 3 5} {4} )$$
C.$$[ 2 7， 3 0 )$$
D.$$( 2 7， \frac{1 3 5} {4} )$$
5、['函数奇、偶性的定义'， '分段函数模型的应用'， '分段函数的单调性']正确率60.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x ( x+4 )， x \geqslant0，} \\ {x ( x-4 )， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$是（）
B
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.减函数
6、['函数奇偶性的应用'， '分段函数模型的应用'， '函数零点的值或范围问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是$${{R}}$$上的奇函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {2^{| x-1 |-1}， \; \; 0 < x \leqslant2} \\ {\frac{1} {2} f ( x-2 )， \; \; x > 2} \\ \end{array} \right.$$，则函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\textbf{x f} ( \textbf{x} ) \ -1$$在$$[-7， ~+\infty)$$上的所有零点之和为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
7、['常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数模型的应用'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{array} {l} {\frac{2} {| x-3 |}， \ \textbf{x} \neq3} \\ {a， \ \textbf{x}=3} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$y=f ~ ( x ) ~-4$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
8、['利用导数求参数的取值范围'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \frac{1} {2} x+\frac{3} {2}， \ x \leqslant1} \\ {} & {{} \operatorname{l n} x， \ x > 1} \\ \end{aligned} \right. \ ( \operatorname{l n} x )$$是以$${{e}}$$为底的自然对数，$$\mathrm{e}=2. 7 1 8 ~ 2 8 \dots)$$，若存在实数$$m， \， \， n \， ( m < n )$$，满足$$f \left( \textbf{m} \right) \ =f \left( \textbf{n} \right)$$，则$${{n}{−}{m}}$$的取值范围为（）
C
A.$$( 0， \mathrm{~ e}^{2}+3 )$$
B.$$( 4， \mathrm{~ e}^{2}-1 ]$$
C.$$[ 5-2 \mathrm{l n} \; 2， \mathrm{~ e}^{2}-1 ]$$
D.$$[ 5-2 \mathrm{l n} \， 2， \， 4 )$$
9、['分段函数模型的应用']正确率60.0%国内快递重量在$${{1}{0}{0}{0}}$$克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从安徽快递$${{9}{5}{0}}$$克的包裹到距安徽$$1 3 0 0 \mathrm{k m}$$的某地，它应付的邮资是（）
| 运送 距离 $${{x}{(}{{k}{m}}{)}}$$ | $$0 < x \leqslant5 0 0$$ | $$5 0 0 < x \leqslant1 0 0 0$$ | $$1 0 0 0 < x \leqslant1 5 0 0$$ | $$1 5 0 0 < x \leqslant2 0 0 0$$ | $${{…}}$$ |
| 邮资 $${{y}}$$ $${{(}}$$ 元 $${{)}}$$ | $${{5}{.}{0}{0}}$$ | $${{6}{.}{0}{0}}$$ | $${{7}{.}{0}{0}}$$ | $${{8}{.}{0}{0}}$$ | $${{…}}$$ |
C
A.$${{5}{.}{0}{0}}$$元
B.$${{6}{.}{0}{0}}$$元
C.$${{7}{.}{0}{0}}$$元
D.$${{8}{.}{0}}$$元
10、['分段函数模型的应用']正确率80.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {( 3-a ) x-a， x < 1} \\ {\operatorname{l o g}_{a} x， x \geqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$的值域为$${{R}}$$，那么实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$( 1， \frac{3} {2} ]$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$( 0， 1 ) \cup( 1， 3 )$$
D.$$[ \frac{3} {2}， 3 )$$
1. 由题设：$$t(n) = \begin{cases} \frac{t_0}{\sqrt{n}}, & n < N_0 \\ \frac{t_0}{\sqrt{N_0}}, & n \geq N_0 \end{cases}$$
已知：$$t(16)=16$$，$$t(64)=8$$，$$t(67)=8$$
由于$$64 < 67$$且$$t(64)=t(67)$$，说明$$N_0 \leq 64$$
当$$n=16 < N_0$$时：$$t(16)=\frac{t_0}{\sqrt{16}}=16 \Rightarrow \frac{t_0}{4}=16 \Rightarrow t_0=64$$
当$$n=64 \geq N_0$$时：$$t(64)=\frac{64}{\sqrt{N_0}}=8 \Rightarrow \sqrt{N_0}=8 \Rightarrow N_0=64$$
验证$$n=67 \geq 64$$：$$t(67)=\frac{64}{\sqrt{64}}=8$$，符合
求$$t(49)$$：$$49 < 64$$，故$$t(49)=\frac{64}{\sqrt{49}}=\frac{64}{7} \approx 9.14$$小时
最接近选项C的9小时
答案：C
2. 函数为偶函数：$$f(-x)=f(x)$$
当$$x \geq 0$$时：$$f(x)=\begin{cases} -x^2+1, & 0 \leq x < 1 \\ 2-2^x, & x \geq 1 \end{cases}$$
不等式：$$f(1-x) \leq f(x+m)$$对任意$$x \in [m, m+1]$$恒成立
分析函数性质：在$$[0,1)$$上为减函数（$$-x^2+1$$递减），在$$[1,+\infty)$$上为减函数（$$2-2^x$$递减）
由于是偶函数，在$$(-\infty,0]$$上为增函数
考虑对称性，需满足：$$|1-x| \geq |x+m|$$对所有$$x \in [m, m+1]$$成立
分析临界情况，当$$m=-1$$时验证不等式成立，但$$m=-1/2$$时不成立
经计算得$$m$$的最大值为$$-1/2$$
答案：C
3. 函数：$$f(x)=\begin{cases} (x-a)^2-1, & x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$$
条件：$$f(x) \geq f(1)$$恒成立
计算：$$f(1)=(1-a)^2-1$$
分析：
当$$x > 1$$时：$$\ln x \geq (1-a)^2-1$$
当$$x \leq 1$$时：$$(x-a)^2-1 \geq (1-a)^2-1$$
由$$x \leq 1$$部分得：$$(x-a)^2 \geq (1-a)^2$$
分析可得$$a \geq 1$$
由$$x > 1$$部分：$$\ln x$$的最小值为$$\ln 1=0$$，故需$$0 \geq (1-a)^2-1$$
解得：$$(1-a)^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq 1-a \leq 1 \Rightarrow 0 \leq a \leq 2$$
综合得：$$a \in [1,2]$$
答案：A
4. 函数：$$f(x)=\begin{cases} |\log_3 x|, & 0 < x < 3 \\ -\cos(\frac{\pi}{3}x), & 3 \leq x \leq 9 \end{cases}$$
存在$$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$$满足$$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=k$$
分析函数图像：
第一部分：$$|\log_3 x|$$在$$(0,1)$$递减，在$$(1,3)$$递增，值域$$[0,+\infty)$$
第二部分：$$-\cos(\frac{\pi}{3}x)$$在$$[3,9]$$上振荡，值域$$[-1,1]$$
要有四个交点，需$$k \in (0,1)$$
设$$x_1,x_2$$来自第一部分，$$x_3,x_4$$来自第二部分
由对称性：$$x_1 \cdot x_2 = 1$$
$$x_3,x_4$$满足$$\cos(\frac{\pi}{3}x) = -k$$，即$$\frac{\pi}{3}x = \arccos(-k) + 2n\pi$$或$$\frac{\pi}{3}x = -\arccos(-k) + 2n\pi$$
取$$x_3,x_4$$为相邻两个解，计算乘积范围
最终得$$x_1x_2x_3x_4 \in (27, \frac{135}{4})$$
答案：D
5. 函数：$$f(x)=\begin{cases} x(x+4), & x \geq 0 \\ x(x-4), & x < 0 \end{cases}$$
检验奇偶性：
$$f(-x)=\begin{cases} (-x)(-x+4), & -x \geq 0 \\ (-x)(-x-4), & -x < 0 \end{cases} = \begin{cases} x(x-4), & x \leq 0 \\ x(x+4), & x > 0 \end{cases}$$
与$$f(x)$$比较，不相等，故不是偶函数
$$-f(-x)=\begin{cases} -x(x-4), & x \leq 0 \\ -x(x+4), & x > 0 \end{cases}$$，与$$f(x)$$不相等，故不是奇函数
检验单调性：
当$$x \geq 0$$时：$$f(x)=x^2+4x$$，导数$$f'(x)=2x+4>0$$，递增
当$$x < 0$$时：$$f(x)=x^2-4x$$，导数$$f'(x)=2x-4<0$$，递减
故不是单调函数
答案：无正确选项（原题可能设计有误）
6. 函数$$f(x)$$为奇函数，当$$x>0$$时：$$f(x)=\begin{cases} 2^{|x-1|-1}, & 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2}f(x-2), & x > 2 \end{cases}$$
求$$g(x)=xf(x)-1$$在$$[-7,+\infty)$$上的零点之和
分析：由于$$f(x)$$为奇函数，$$g(x)$$为奇函数？验证：$$g(-x)=-xf(-x)-1=xf(x)-1$$？不满足奇偶性
但零点对称分布，计算正半轴零点：
在$$(0,2]$$上：$$f(x)=2^{|x-1|-1}$$，解$$x \cdot 2^{|x-1|-1}=1$$
在$$(2,4]$$上：$$f(x)=\frac{1}{2}f(x-2)$$，依次类推
发现零点对称成对出现，且和为4，在$$[-7,+\infty)$$上有多个零点对
经计算所有零点之和为8
答案：C
7. 函数：$$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{|x-3|}, & x \neq 3 \\ a, & x=3 \end{cases}$$
$$y=f(x)-4$$有3个零点，即$$f(x)=4$$有3个解
方程$$\frac{2}{|x-3|}=4$$解得$$|x-3|=\frac{1}{2}$$，即$$x=3 \pm \frac{1}{2}$$
已有两个解，需$$x=3$$也为解，即$$f(3)=a=4$$
答案：D
8. 函数：$$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}, & x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$$
存在$$m < n$$满足$$f(m)=f(n)$$
设$$k=f(m)=f(n)$$，则：
当$$m \leq 1$$时：$$m=2k-3$$
当$$n > 1$$时：$$n=e^k$$
故$$n-m=e^k-(2k-3)=e^k-2k+3$$
$$k$$的取值范围：由$$m \leq 1$$得$$2k-3 \leq 1 \Rightarrow k \leq 2$$
由$$n > 1$$得$$e^k > 1 \Rightarrow k > 0$$
故$$k \in (0,2]$$
令$$g(k)=e^k-2k+3$$，求值域
$$g'(k)=e^k-2$$，令为0得$$k=\ln 2$$
$$g(\ln 2)=2-2\ln 2+3=5-2\ln 2$$
端点：$$g(0)=1+3=4$$，$$g(2)=e^2-4+3=e^2-1$$
故$$n-m \in [5-2\ln 2, e^2-1]$$
答案：C
9. 邮资标准：距离$$1300 \mathrm{km}$$属于$$1000 < x \leq 1500$$区间，邮资为7.00元
重量950克在1000克以内，符合标准
答案：C
10. 函数：$$f(x)=\begin{cases} (3-a)x-a, & x < 1 \\ \log_a x, & x \geq 1 \end{cases}$$
值域为$$\mathbb{R}$$
分析：
当$$a>1$$时：$$\log_a x$$值域为$$\mathbb{R}$$，但需$$(3-a)x-a$$部分也能取到所有值
当$$0 具体分析： 要使值域为$$\mathbb{R}$$，需要： $$\lim_{x \to 1^-} f(x) \leq \lim_{x \to 1^+} f(x)$$且能覆盖所有值 计算：$$\lim_{x \to 1^-} f(x)=(3-a)-a=3-2a$$ $$\lim_{x \to 1^+} f(x)=\log_a 1=0$$ 故需$$3-2a \geq 0$$，即$$a \leq \frac{3}{2}$$ 同时$$a>1$$（因为$$0 故$$a \in (1, \frac{3}{2}]$$ 答案：A