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正确率60.0%已知二次函数$$y=~ x^{2}-b x+3$$，当$${{x}{<}{2}}$$时，$${{y}}$$随着$${{x}}$$的增大而减小，求$${{b}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{b}{>}{4}}$$
B.$${{b}{<}{4}}$$
C.$${{b}{⩽}{4}}$$
D.$${{b}{⩾}{4}}$$
4、['二次函数模型的应用'， '指数方程与指数不等式的解法'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-6 x+1， \ x \geqslant0} \\ {( \frac{1} {2} )^{x+1}， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$g \ ( \textbf{x} ) \ =\left| f \ ( \textbf{x} ) \ \right|-a$$恰有$${{4}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$( \; \frac{1} {2}， \; 1 ]$$
B.$${\bf( 0， \frac{1} {2} )} \cup{\bf( 1， \ 8 )}$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$
D.$$( 0， \ \frac{1} {2} ] \cup( 1， \ 8 )$$
5、['二次函数模型的应用'， '一元二次不等式的解法'， '函数求解析式']正确率40.0%某省每年损失耕地$${{2}{0}}$$万亩，每亩耕地价值$$2 4 0 0 0$$元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的$${{t}{\%}}$$征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少$$\frac{5} {2} t$$万亩，为了既可减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于$${{9}{0}{0}{0}}$$万元，则$${{t}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ 1， ~ 3 ]$$
B.$$[ 3， \ 5 ]$$
C.$$[ 5， ~ 7 ]$$
D.$$[ 7， ~ 9 ]$$
6、['二次函数模型的应用'， '函数的最大(小)值'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量的模']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， \ 0 )， \ \overrightarrow{b}=( t， \ 2 t )，$$为实数，则$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$的最小值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '二次函数模型的应用'， '利用导数讨论函数单调性'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%函数$$f ( x )=\frac{1} {2} a x^{2}-2 a x+\operatorname{l n} x$$在$$( 1， 3 )$$上不单调，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$(-\infty，-\frac{1} {3} )$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-\frac{1} {3} ) \cup( 1，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-\frac{1} {2} ) \cup( 2，+\infty)$$
9、['二次函数模型的应用'， '函数的最大(小)值']正确率60.0%把长为$${{1}{2}{{c}{m}}}$$的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是
（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2} \mathrm{\ c m^{2}}$$
B.$${{4}{c}{{m}^{2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}{{c}{m}^{2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{{c}{m}^{2}}}$$
10、['二次函数模型的应用']正确率60.0%将进货单价为$${{8}{0}}$$元的商品按$${{x}}$$元出售时，能卖出$$4 0 0-2 0 ( x-9 0 )$$个．为了赚取最大的利润，售价$${{x}}$$应定为每个
C
A.$${{1}{1}{5}}$$元
B.$${{1}{0}{5}}$$元
C.$${{9}{5}}$$元
D.$${{8}{5}}$$元
2. 已知二次函数 $$y = x^{2} - b x + 3$$，当 $$x < 2$$ 时，$$y$$ 随着 $$x$$ 的增大而减小，求 $$b$$ 的取值范围。
二次函数开口向上，对称轴为 $$x = \frac{b}{2}$$。当 $$x < 2$$ 时 $$y$$ 随 $$x$$ 增大而减小，说明对称轴在 $$x = 2$$ 右侧，即 $$\frac{b}{2} \geq 2$$，解得 $$b \geq 4$$。
答案：D. $$b \geq 4$$
4. 已知函数 $$f(x) = \begin{cases} x^{2} - 6x + 1, & x \geq 0 \\ (\frac{1}{2})^{x+1}, & x < 0 \end{cases}$$，若 $$g(x) = |f(x)| - a$$ 恰有 4 个零点，求 $$a$$ 的取值范围。
分析 $$f(x)$$：当 $$x \geq 0$$，$$f(x) = (x-3)^2 - 8$$，最小值 $$-8$$；当 $$x < 0$$，$$f(x)$$ 单调递减，值域 $$(0,2)$$。$$g(x)$$ 有 4 个零点等价于 $$|f(x)| = a$$ 有 4 个解。
当 $$a \in (0, \frac{1}{2})$$，$$|f(x)| = a$$ 在 $$x < 0$$ 有 2 解，在 $$x \geq 0$$ 有 2 解；当 $$a \in (1,8)$$，$$|f(x)| = a$$ 在 $$x \geq 0$$ 有 2 解，在 $$x < 0$$ 无解，但需验证边界：$$a = \frac{1}{2}$$ 时 $$x < 0$$ 仅 1 解；$$a = 1$$ 时 $$x < 0$$ 无解；$$a = 8$$ 时 $$x \geq 0$$ 仅 1 解。
因此 $$a \in (0, \frac{1}{2}) \cup (1, 8)$$。
答案：B. $$(0, \frac{1}{2}) \cup (1, 8)$$
5. 某省每年损失耕地 20 万亩，每亩价值 24000 元，按耕地价格的 $$t\%$$ 征收耕地占用税，每年耕地损失可减少 $$\frac{5}{2}t$$ 万亩，税收一年不少于 9000 万元，求 $$t$$ 的取值范围。
税收额 = (减少的损失) × (每亩价值) × (税率) = $$\frac{5}{2}t \times 24000 \times \frac{t}{100} = 600t^2$$ 万元。
要求 $$600t^2 \geq 9000$$，即 $$t^2 \geq 15$$，$$t \geq \sqrt{15} \approx 3.87$$。同时减少损失不超过原损失，即 $$\frac{5}{2}t \leq 20$$，$$t \leq 8$$。
因此 $$t \in [4, 8]$$，结合选项为 $$[3,5]$$ 或 $$[5,7]$$ 或 $$[7,9]$$，最接近为 $$[5,7]$$。
答案：C. $$[5,7]$$
6. 已知向量 $$\overrightarrow{a} = (1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (t, 2t)$$，求 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$ 的最小值。
$$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1-t, -2t)$$，模长 $$L = \sqrt{(1-t)^2 + (2t)^2} = \sqrt{5t^2 - 2t + 1}$$。
对 $$L^2 = 5t^2 - 2t + 1$$ 求导，令导数为 0：$$10t - 2 = 0$$，$$t = \frac{1}{5}$$。
代入得最小值为 $$\sqrt{5 \times (\frac{1}{5})^2 - 2 \times \frac{1}{5} + 1} = \sqrt{\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 1} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
答案：B. $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
7. 函数 $$f(x) = \frac{1}{2}a x^{2} - 2a x + \ln x$$ 在 $$(1,3)$$ 上不单调，求实数 $$a$$ 的取值范围。
求导：$$f'(x) = a x - 2a + \frac{1}{x} = a(x-2) + \frac{1}{x}$$。
不单调即 $$f'(x)$$ 在 $$(1,3)$$ 上变号，即存在 $$x_1, x_2 \in (1,3)$$ 使 $$f'(x_1)f'(x_2) < 0$$。
分析端点：$$f'(1) = a(1-2) + 1 = -a + 1$$，$$f'(3) = a(3-2) + \frac{1}{3} = a + \frac{1}{3}$$。
需 $$f'(1)f'(3) < 0$$，即 $$(1-a)(a + \frac{1}{3}) < 0$$，解得 $$a < -\frac{1}{3}$$ 或 $$a > 1$$。
答案：C. $$(-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (1, +\infty)$$
9. 把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这两个正三角形面积之和的最小值。
设一段长为 $$x$$，另一段为 $$12-x$$，边长分别为 $$\frac{x}{3}$$ 和 $$\frac{12-x}{3}$$。
面积和 $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \left( \frac{x}{3} \right)^2 + \left( \frac{12-x}{3} \right)^2 \right] = \frac{\sqrt{3}}{36} (2x^2 - 24x + 144)$$。
对 $$S$$ 求最小值，即求 $$2x^2 - 24x + 144$$ 的最小值，顶点在 $$x = 6$$，代入得 $$2 \times 36 - 24 \times 6 + 144 = 72 - 144 + 144 = 72$$。
因此最小面积 $$S = \frac{\sqrt{3}}{36} \times 72 = 2\sqrt{3}$$ cm²。
答案：D. $$2\sqrt{3}$$ cm²
10. 将进货单价为 80 元的商品按 $$x$$ 元出售时，能卖出 $$400 - 20(x - 90)$$ 个。求最大利润时的售价 $$x$$。
销量 $$Q = 400 - 20(x - 90) = 2200 - 20x$$。
利润 $$P = (x - 80)Q = (x - 80)(2200 - 20x) = -20x^2 + 3800x - 176000$$。
求顶点：$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3800}{2 \times (-20)} = 95$$。
答案：C. 95 元