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正确率40.0%若$$\exists x \! \in\! [ \frac{1} {2}， 2 ]$$，使得$$2 x^{2} \!-\! \lambda x \!+\! 1 \! < \! 0$$成立$${{”}}$$是假命题，则实数$${{λ}}$$的取值范围为（）
A
A.$$(-\infty， 2 \sqrt{2} ]$$
B.$$[ 2 \sqrt{2}， 3 ]$$
C.$$[-2 \sqrt{2}， 3 ]$$
D.$${{λ}{=}{3}}$$
2、['等比数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差$${{d}{≠}{0}}$$，且$$a_{1}， ~ a_{3}， ~ a_{1 3}$$成等比数列，若$$a_{1}=1， \ S_{n}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$${\frac{2 S_{n}+8} {a_{n}+3} ( n \in N^{*} )}$$的最小值为（）
A
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['数列的递推公式'， '数列的通项公式'， '“对勾”函数的应用']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=a_{n}+2 n$$，且$${{a}_{1}{=}{{3}{2}}}$$，则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最小值为（）
C
A.$${{8}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
B.$$\frac{5 2} {5}$$
C.$$\frac{3 7} {3}$$
D.$${{1}{0}}$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比数列的定义与证明'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${\bf S_{n}}， \， \， S_{n}=2^{n+1}-2，$$若存在两项$${\bf a_{m}}， {\bf a_{n}}，$$使得$$\mathbf{a_{m} a_{n}=6 4，}$$则$$\frac{1} {\bf m}+\frac{9} {\bf n}$$的最小值为（）
B
A.$$\frac{1 4} {5}$$
B.$$\frac{1 1} {4}$$
C.$$\frac{8} {3}$$
D.$$\frac{1 0} {3}$$
5、['函数的最大(小)值'， '指数（型）函数的单调性'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项式系数的性质'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%二项式$$( 2-x )^{n} \left( n \in{\bf N}^{*} \right)$$的展开式中的所有项的系数的绝对值之和是$${{a}}$$，所有项的二项式系数之和是$${{b}}$$，则$$\frac{b} {a}+\frac{a} {b}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$\frac{7} {3}$$
C.$$\frac{1 3} {6}$$
D.$${{2}}$$
6、['在给定区间上恒成立问题'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '“对勾”函数的应用']正确率60.0%己知正实数$${{x}{，}{y}}$$满足$$x+y+3=x y$$，若对任意满足条件的$${{x}{，}{y}}$$，都有$$( \textit{x}+y )^{2}-a \textit{( x+y )}+6 \geq0$$恒成立，则实数$${{a}}$$的最大值为（）
B
A.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{4}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{8}}$$
7、['建立函数模型解决实际问题'， '分段函数模型的应用'， '利用基本不等式求最值'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知某旅游城市在过去的一个月内（以$${{3}{0}}$$天计），第$${{t}}$$天$$( \mathrm{1} \leqslant t \leqslant3 0， t \in\mathrm{N}_{+} )$$的旅游人数$${{f}{(}{t}{)}}$$（万人）近似地满足$$f ( t )=4+\frac{1} {t}$$，而人均消费$${{g}{(}{t}{)}}$$（元）近似地满足$$g ( t )=1 2 0-| t-2 0 |$$．则求该城市旅游日收益的最小值是（）
C
A.$${{4}{8}{0}}$$
B.$${{1}{2}{0}}$$
C.$${{4}{4}{1}}$$
D.$${{1}{4}{1}}$$
8、['利用导数讨论函数单调性'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知常数$${{m}}$$是正数，若关于$${{x}}$$的不等式$$\frac{m e^{x}} {2 ( e^{x}-x )}-x-\frac{1} {x} > 0 ( e=2. 7 1 8 2 8 \cdots)$$的解集中有且仅有一个正整数，则整数$${{m}}$$等于（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['全称量词命题的否定'， '函数的最大(小)值'， '充分、必要条件的判定'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%下列判断正确的是（）
C
A.$$\omega x <-2^{\y}$$是$$\prime\operatorname{l n} ( x+3 ) < 0^{\prime\prime}$$的充分不必要条件
B.函数$$f ( x )=\sqrt{x^{2}+9}+\frac{1} {\sqrt{x^{2}+9}}$$的最小值为$${{2}}$$
C.$$\mathrm{` ` 0 < x < 1^{^n}} "$$是$$\mathrm{` `} \operatorname{l o g}_{2} ( x+1 ) < 1 "$$的充分不必要条件
D.命题$$` ` \forall x \! > \! 0， \; 2 0 1 9^{x}+2 0 1 9 > 0 "$$的否定是$$\qquad^{n} \exists x_{0} \ll0， \enskip2 0 1 9^{x}+2 0 1 9 \leqslant0^{n}$$
10、['“对勾”函数的应用'， '利用函数奇偶性求解析式']正确率40.0%函数$$y=f ( x )$$和$$y=g ( x )$$分别是定义在$${{R}}$$上的奇函数和偶函数，且$$f ( x )+g ( x )=x^{2}+x+1$$，则$$y=\frac{f ( x )} {g ( x )}$$的单调增区间为（）
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 0，+\infty)$$
C.$$(-1， 1 )$$
D.$$(-\infty，+\infty)$$
1. 原命题为假，则其否定为真：对任意 $$x \in [\frac{1}{2}, 2]$$，有 $$2x^2 - \lambda x + 1 \geq 0$$ 恒成立。
设 $$f(x) = 2x^2 - \lambda x + 1$$，需在区间上最小值非负。对称轴 $$x = \frac{\lambda}{4}$$。
情况1：若 $$\frac{\lambda}{4} \leq \frac{1}{2}$$ 即 $$\lambda \leq 2$$，最小值在 $$x = \frac{1}{2}$$ 处：$$f(\frac{1}{2}) = 2 \times \frac{1}{4} - \frac{\lambda}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{\lambda}{2} + 1 \geq 0 \Rightarrow \lambda \leq 3$$，结合 $$\lambda \leq 2$$ 得 $$\lambda \leq 2$$。
情况2：若 $$\frac{1}{2} < \frac{\lambda}{4} < 2$$ 即 $$2 < \lambda < 8$$，最小值在顶点：$$f(\frac{\lambda}{4}) = 2 \times \frac{\lambda^2}{16} - \lambda \times \frac{\lambda}{4} + 1 = -\frac{\lambda^2}{8} + 1 \geq 0 \Rightarrow \lambda^2 \leq 8 \Rightarrow -2\sqrt{2} \leq \lambda \leq 2\sqrt{2}$$，结合 $$2 < \lambda < 8$$ 得 $$2 < \lambda \leq 2\sqrt{2}$$。
情况3：若 $$\frac{\lambda}{4} \geq 2$$ 即 $$\lambda \geq 8$$，最小值在 $$x = 2$$ 处：$$f(2) = 8 - 2\lambda + 1 \geq 0 \Rightarrow \lambda \leq \frac{9}{2}$$，与 $$\lambda \geq 8$$ 矛盾。
综上，$$\lambda \leq 2\sqrt{2}$$，对应选项 A。
2. 由 $$a_1 = 1$$，$$a_3 = 1 + 2d$$，$$a_{13} = 1 + 12d$$，且 $$a_3^2 = a_1 a_{13}$$。
代入：$$(1 + 2d)^2 = 1 \times (1 + 12d) \Rightarrow 1 + 4d + 4d^2 = 1 + 12d \Rightarrow 4d^2 - 8d = 0 \Rightarrow d = 2$$（因 $$d \neq 0$$）。
故 $$a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$$，$$S_n = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = n^2$$。
表达式为 $$\frac{2S_n + 8}{a_n + 3} = \frac{2n^2 + 8}{2n + 2} = \frac{n^2 + 4}{n + 1}$$。
令 $$t = n + 1 \geq 2$$（$$n \in N^*$$），则原式 $$= \frac{(t-1)^2 + 4}{t} = \frac{t^2 - 2t + 5}{t} = t + \frac{5}{t} - 2$$。
由均值不等式，$$t + \frac{5}{t} \geq 2\sqrt{5}$$，当 $$t = \sqrt{5}$$ 时取等，但 $$t$$ 为整数且 $$t \geq 2$$，检验 $$t=2$$ 得 $$2 + \frac{5}{2} - 2 = 2.5$$；$$t=3$$ 得 $$3 + \frac{5}{3} - 2 \approx 2.667$$；故最小值为 $$2.5 = \frac{5}{2}$$，选 A。
3. 由递推式 $$a_{n+1} - a_n = 2n$$，累加：$$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$$。
已知 $$a_1 = 32$$，故 $$a_n = n^2 - n + 32$$，则 $$\frac{a_n}{n} = n + \frac{32}{n} - 1$$。
由均值不等式，$$n + \frac{32}{n} \geq 2\sqrt{32} = 8\sqrt{2}$$，当 $$n = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$$ 时取等。
检验 $$n=5$$：$$5 + \frac{32}{5} - 1 = 4 + 6.4 = 10.4$$；$$n=6$$：$$6 + \frac{32}{6} - 1 = 5 + \frac{16}{3} \approx 10.33$$；故最小值为 $$10$$，选 D。
4. 由 $$S_n = 2^{n+1} - 2$$，得 $$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^{n+1} - 2) - (2^n - 2) = 2^n$$（$$n \geq 2$$），且 $$a_1 = S_1 = 2^2 - 2 = 2$$ 也符合。
故 $$a_m a_n = 2^m \cdot 2^n = 2^{m+n} = 64 = 2^6 \Rightarrow m + n = 6$$，且 $$m, n \in N^*$$。
目标函数 $$\frac{1}{m} + \frac{9}{n} = \frac{1}{m} + \frac{9}{6-m}$$，令 $$t = m \in [1, 5]$$。
设 $$f(t) = \frac{1}{t} + \frac{9}{6-t}$$，求导 $$f'(t) = -\frac{1}{t^2} + \frac{9}{(6-t)^2}$$，令为0得 $$-\frac{1}{t^2} + \frac{9}{(6-t)^2} = 0 \Rightarrow \frac{3}{6-t} = \frac{1}{t} \Rightarrow 3t = 6 - t \Rightarrow t = 1.5$$。
检验端点：$$t=1$$ 时 $$1 + \frac{9}{5} = 2.8$$；$$t=2$$ 时 $$\frac{1}{2} + \frac{9}{4} = 2.75$$；$$t=1.5$$ 时 $$\frac{2}{3} + \frac{9}{4.5} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \approx 2.667$$；故最小值为 $$\frac{8}{3}$$，选 C。
5. 二项式 $$(2-x)^n$$ 展开式各项系数绝对值之和即 $$(2+1)^n = 3^n = a$$。
二项式系数之和为 $$2^n = b$$。
目标 $$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{2^n}{3^n} + \frac{3^n}{2^n} = \left( \frac{2}{3} \right)^n + \left( \frac{3}{2} \right)^n$$。
令 $$t = \left( \frac{3}{2} \right)^n > 1$$，则原式 $$= \frac{1}{t} + t \geq 2$$，当 $$t=1$$ 时取等，但 $$t>1$$，故最小值在 $$n=1$$ 时：$$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}$$，选 C。
6. 由 $$x + y + 3 = xy$$，令 $$s = x + y \geq 2\sqrt{xy}$$，代入得 $$s + 3 = xy \leq \frac{s^2}{4}$$，即 $$s^2 - 4s - 12 \geq 0 \Rightarrow (s-6)(s+2) \geq 0 \Rightarrow s \geq 6$$。
不等式 $$(x+y)^2 - a(x+y) + 6 \geq 0$$ 对 $$s \geq 6$$ 恒成立，即 $$s^2 - a s + 6 \geq 0$$ 对 $$s \geq 6$$ 恒成立。
二次函数开口向上，对称轴 $$s = \frac{a}{2}$$。若 $$\frac{a}{2} \leq 6$$，则最小值在 $$s=6$$ 处：$$36 - 6a + 6 \geq 0 \Rightarrow a \leq 7$$。
若 $$\frac{a}{2} > 6$$ 即 $$a > 12$$，则最小值在 $$s = \frac{a}{2}$$ 处：$$\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} + 6 \geq 0 \Rightarrow -\frac{a^2}{4} + 6 \geq 0 \Rightarrow a^2 \leq 24$$，与 $$a > 12$$ 矛盾。
故 $$a \leq 7$$，最大值为 7，选 B。
7. 日收益 $$R(t) = f(t) \cdot g(t) = \left(4 + \frac{1}{t}\right) \cdot (120 - |t - 20|)$$，$$t \in [1, 30]$$。
分段讨论：当 $$1 \leq t \leq 20$$，$$g(t) = 120 - (20 - t) = 100 + t$$，则 $$R(t) = \left(4 + \frac{1}{t}\right)(t + 100) = 4t + 400 + \frac{100}{t} + 1 = 4t + \frac{100}{t} + 401$$。
由均值不等式，$$4t + \frac{100}{t} \geq 2\sqrt{400} = 40$$，当 $$4t = \frac{100}{t} \Rightarrow t = 5$$ 时取等，此时 $$R(5) = 40 + 401 = 441$$。
当 $$20 < t \leq 30$$，$$g(t) = 120 - (t - 20) = 140 - t$$，则 $$R(t) = \left(4 + \frac{1}{t}\right)(140 - t) = 560 - 4t + \frac{140}{t} - 1 = -4t + \frac{140}{t} + 559$$。
导数 $$R'(t) = -4 - \frac{140}{t^2} < 0$$，故递减，最小值在 $$t=30$$：$$R(30) = -120 + \frac{140}{30} + 559 \approx 439 + 4.67 = 443.67$$。
比较得最小值为 441，选 C。
8. 不等式 $$\frac{m e^x}{2(e^x - x)} - x - \frac{1}{x} > 0$$ 可化为 $$\frac{m e^x}{2(e^x - x)} > x + \frac{1}{x}$$。
令 $$h(x) = \frac{e^x}{e^x - x}$$，则原式化为 $$\frac{m}{2} h(x) > x + \frac{1}{x}$$。
分析 $$h(x)$$：$$h(x) = 1 + \frac{x}{e^x - x}$$，当 $$x > 0$$ 时，$$e^x - x > 1$$，且 $$h(x)$$ 递减？求导 $$h'(x) = \frac{(e^x - 1)(e^x - x) - e^x(e^x - 1)}{(e^x - x)^2} = \frac{-(e^x - 1)x}{(e^x - x)^2} < 0$$（$$x>0$$），故 $$h(x)$$ 在 $$(0, \infty)$$ 递减。
右边 $$k(x) = x + \frac{1}{x} \geq 2$$，在 $$(0,1)$$ 递减，$$(1,\infty)$$ 递增。
解集有且仅有一个正整数，即 $$x=1, 2, 3, ...$$ 中只有一个满足。尝试 $$m=1$$：在 $$x=1$$ 处，$$\frac{1}{2} h(1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{e}{e-1} \approx 0.5 \times 1.582 = 0.791 < 1 + 1 = 2$$，不成立；$$x=2$$ 更小，故无解，不满足。
$$m=2$$：在 $$x=1$$ 处，$$h(1) \approx 1.582 > 2$$？$$1.582 > 2$$ 否，不成立。
$$m=3$$：在 $$x=1$$ 处，$$\frac{3}{2} h(1) \approx 1.5 \times 1.582 = 2.373 > 2$$，成立；$$x=2$$ 处，$$h(2) = \frac{e^2}{e^2 - 2} \approx \frac{7.389}{5.389} \approx 1.371$$，$$\frac{3}{2} \times 1.371 \approx 2.057$$，$$k(2) = 2.5$$，故 $$2.057 < 2.5$$，不成立；$$x=3$$ 更不成立。故仅 $$x=1$$ 满足，选 C。
9. A：$$x < -2$$ 时，$$x+3 < 1$$，但 $$\ln(x+3)$$ 需 $$x+3 > 0$$ 即 $$x > -3$$，故 $$x < -2$$ 是 $$-3 < x < -2$$ 的充分条件？但 $$\ln(x+3) < 0$$ 等价于 $$0 < x+3 < 1$$ 即 $$-3 < x < -2$$，故 $$x < -2$$ 不是充分条件（因包含 $$x \leq -3$$ 无定义），错误。
B：$$f(x) = \sqrt{x^2+9} + \frac{1}{\sqrt{x^2+9}} \geq 2$$，当 $$\sqrt{x^2+9} = 1$$ 时取等，但 $$x^2+9 \geq 9$$，故最小值为 $$3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$，错误。
C：$$0 < x < 1$$ 时，$$1 < x+1 < 2$$，$$\log_2(x+1) < 1$$ 成立；反之 $$\log_2(x+1) < 1$$ 得 $$0 < x+1 < 2$$ 即 $$-1 < x < 1$$，但定义域 $$x > -1$$，故 $$0 < x < 1$$ 是充分不必要条件，正确。
D：否定应为 $$\exists x_0 > 0, 2019^{x_0} + 2019 \leq 0$$，错误。
选 C。
10. 已知 $$f(x) + g(x) = x^2 + x + 1$$，且 $$f$$ 奇、$$g$$ 偶。
用 $$-x$$ 代换：$$f(-x) + g(-x) = x^2 - x + 1 \Rightarrow -f(x) + g(x) = x^2 - x + 1$$。
与原式相加：$$2g(x) = 2x^2 + 2 \Rightarrow g(x) = x^2 + 1$$。
相减：$$2f(x) = 2x \Rightarrow f(x) = x$$。
故 $$y = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x}{x^2 + 1}$$。
求导：$$y' = \frac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$$。
令 $$y' > 0$$ 得 $$1 - x^2 > 0 \Rightarrow -1 < x < 1$$。
但定义域为 $$R$$，单调增区间为 $$(-1, 1)$$，选 C。