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正确率80.0%从装满$${{1}{0}}$$升纯酒精的容器中倒出$${{2}}$$升酒精，然后用水将容器加满并摇匀，再倒出$${{2}}$$升酒精溶液，再用水将容器加满并摇匀，照这样的方法继续下去，设倒完第$$k ( k \in{\bf N}^{*} )$$次后，前$${{k}}$$次共倒出纯酒精$${{x}}$$升，倒完第$${{k}{+}{1}}$$次后，前$${{k}{+}{1}}$$次共倒出纯酒精$${{f}{(}{x}{)}}$$升，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式是（）
C
A.$$f ( x )=\frac4 5 ( x+2 ) ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
B.$$f ( x )=\frac1 5 x+2 ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
C.$$f ( x )=\frac4 5 x+2 ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
D.$$f ( x )=\frac{1} {5} x ( 2 \leqslant x < 1 0 )$$
2、['一次函数模型的应用']正确率80.0%牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为$${{T}_{0}}$$，则经过一定时间$${{t}}$$分钟后的温度$${{T}}$$满足$$T-T_{c}=( \frac{1} {2} )^{\frac{t} {h}} ( T_{0}-T_{c} )$$，其中$${{T}_{c}}$$是环境温度，$${{h}}$$为常数．现有一个$${{1}{0}{5}{℃}}$$的物体，放在室温$${{1}{5}{℃}}$$的环境中，该物体温度降至$${{7}{5}{°}{C}}$$大约用时$${{1}}$$分钟，那么再经过$${{m}}$$分钟后，该物体的温度降至$${{3}{0}{℃}}$$，则$${{m}}$$的值约为$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0$$，$$\operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7 1. )$$
B
A.$${{2}{.}{9}}$$
B.$${{3}{.}{4}}$$
C.$${{3}{.}{9}}$$
D.$${{4}{.}{4}}$$
3、['一次函数模型的应用'， '函数的最大(小)值']正确率60.0%函数$$y=k x+b$$在区间$$[ 1， 2 ]$$上的最大值比最小值大$${{2}}$$，则$${{k}}$$的值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$或$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$．
4、['一次函数模型的应用'， '共线向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle B A C=1 3 5^{\circ}， \; \; A B {=} \sqrt{2}， \; \; A C=1$$，若$${{D}}$$是$${{B}{C}}$$边上的一点(包括端点$${{)}}$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{B C}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
D
A.$$[-3， 0 ]$$
B.$$[-\frac{1} {2}， 2 ]$$
C.$$[ 0， 2 ]$$
D.$$[-3， 2 ]$$
5、['一次函数模型的应用']正确率60.0%svg异常，非svg图片
C
A.$$( {\bf1} ) \setminus( {\bf3} )$$
B.$$( 1 ) \setminus( 4 )$$
C.$$( 2 ) \setminus( 4 )$$
D.$$( 2 ) \setminus( 3 )$$
6、['一次函数模型的应用']正确率80.0%人们用分贝$${{(}{d}{B}{)}}$$来划分声音的等级，声音的等级$$d ( x ) ($$单位：$${{d}{B}{)}}$$与声音强度$${{x}{(}}$$单位$${{W}{/}{{m}^{2}}{)}}$$满足$$d ( x )=9 \operatorname{l g} \frac{x} {1 \times1 0^{-1 3}}$$，一般两人小声交谈时，声音的等级约为$${{5}{4}{d}{B}}$$，在一个$${{4}{0}}$$人的教室讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的$${{1}{0}}$$倍，则老师声音的等级约为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{6}{d}{B}}$$
B.$${{6}{3}{d}{B}}$$
C.$${{7}{2}{d}{B}}$$
D.$${{8}{1}{d}{B}}$$
7、['一次函数模型的应用']正确率80.0%$${{2}{0}{2}{1}}$$年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行，其中某泳池池深约$${{3}{.}{5}{m}}$$，容积约为$$4 3 7 5 m^{3}$$，若水深要求不低于$${{1}{.}{8}{m}}$$，则池内蓄水至少为$${{(}{)}}$$
A
A.$$2 2 5 0 m^{3}$$
B.$$2 5 0 0 m^{3}$$
C.$$2 7 5 0 m^{3}$$
D.$$2 0 0 0 m^{3}$$
8、['一次函数模型的应用']正确率80.0%svg异常，非svg图片
C
A.$$e^{1. 5 8}$$
B.$$e^{0. 5 8}$$
C.$$e^{1. 5 8}-1$$
D.$$e^{0. 5 8}-1$$
9、['一次函数模型的应用']正确率80.0%为了给地球减负，提高资源利用率，$${{2}{0}{1}{9}}$$年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市$${{2}{0}{1}{9}}$$年全年用于垃圾分类的资金为$${{5}{0}{0}{0}}$$万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长$${{2}{0}{％}}$$，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过$$1 2 8 0 0$$万元的年份是$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l g} 1. 2 \approx0. 0 7 9$$，$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 )$$
C
A.$${{2}{0}{2}{3}}$$年
B.$${{2}{0}{2}{4}}$$年
C.$${{2}{0}{2}{5}}$$年
D.$${{2}{0}{2}{6}}$$年
10、['一次函数模型的应用']正确率80.0%蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球$${{.}}$$因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球$$\mathbf{. 2 0 0 6}$$年$${{5}}$$月$${{2}{0}}$$日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录$${{.}{3}{D}}$$打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术$${{(}}$$即“积层造型法”$${{)}{.}}$$过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用$${{(}}$$比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等$${{)}{.}}$$已知某鞠的表面上有四个点$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$、$${{D}}$$，满足任意两点间的直线距离为$${{2}{\sqrt {6}}{c}{m}}$$，现在利用$${{3}{D}}$$打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由$${{A}{B}{C}{D}}$$组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为$$1 g / c m^{3}$$，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为$${{(}{)}}$$
$${{(}}$$参考数据：取$${{π}{=}{{3}{.}{1}{4}}}$$，$$\sqrt{2}=1. 4 1$$，$$\sqrt3=1. 7 3$$，精确到$${{0}{.}{1}{)}}$$
C
A.$$1 1 3. 0 g$$
B.$$2 6 7. 9 g$$
C.$$9 9. 2 g$$
D.$$1 3. 8 g$$
第一题：倒酒精问题。初始容器有10升纯酒精，每次倒出2升后用水加满。设前k次共倒出纯酒精x升，求f(x)的解析式。
每次操作后剩余酒精比例为$$\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$。倒完第k次后，前k次共倒出x升，此时容器内剩余酒精为$$10 - x$$升。
进行第k+1次操作：倒出2升溶液，其中酒精含量为$$\frac{10 - x}{10} \times 2$$升。因此，前k+1次共倒出纯酒精为：
$$f(x) = x + \frac{10 - x}{10} \times 2 = x + \frac{2(10 - x)}{10} = x + \frac{20 - 2x}{10} = x + 2 - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x + 2$$
且x的范围为$$2 \leq x < 10$$。因此，正确答案为选项C：$$f(x) = \frac{4}{5}x + 2 (2 \leq x < 10)$$。
第二题：牛顿冷却定律。已知初始温度$$T_0 = 105^{\circ}C$$，环境温度$$T_c = 15^{\circ}C$$，温度降至75°C用时1分钟，求再经过m分钟后温度降至30°C。
根据公式：$$T - T_c = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}} (T_0 - T_c)$$
代入已知：$$75 - 15 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{h}} (105 - 15)$$，即$$60 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{h}} \times 90$$
解得：$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{h}} = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$$
两边取对数：$$\frac{1}{h} \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{2}{3}$$，即$$\frac{1}{h} (-\ln 2) = \ln 2 - \ln 3$$
整理得：$$\frac{1}{h} = \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2} - 1$$
设总时间从开始到降至30°C为t分钟，则：$$30 - 15 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}} (105 - 15)$$，即$$15 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}} \times 90$$
解得：$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$
两边取对数：$$\frac{t}{h} \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{1}{6}$$，即$$\frac{t}{h} (-\ln 2) = -\ln 6$$
所以：$$\frac{t}{h} = \frac{\ln 6}{\ln 2} = \log_2 6 = 1 + \log_2 3$$
代入$$\frac{1}{h} = \frac{\ln 3}{\ln 2} - 1$$，得：$$t = \left( \frac{\ln 3}{\ln 2} - 1 \right)^{-1} \cdot (1 + \frac{\ln 3}{\ln 2})$$，计算较繁。直接利用已知：从75°C到30°C，温度差变化。
从开始到75°C用时1分钟，设从开始到30°C用时t分钟，则：
$$\frac{75 - 15}{105 - 15} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{h}}$$，$$\frac{30 - 15}{105 - 15} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}}$$
即$$\frac{60}{90} = \frac{2}{3} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{h}}$$，$$\frac{15}{90} = \frac{1}{6} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}}$$
所以：$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{h}} = \frac{1}{6} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{h}} \right)^t = \left( \frac{2}{3} \right)^t$$
因此：$$\left( \frac{2}{3} \right)^t = \frac{1}{6}$$，取对数：$$t \ln \frac{2}{3} = \ln \frac{1}{6}$$
$$t = \frac{\ln 6}{\ln 3 - \ln 2} = \frac{\lg 6}{\lg 3 - \lg 2} = \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 3 - \lg 2}$$
代入$$\lg 2 \approx 0.3010$$，$$\lg 3 \approx 0.4771$$，得：$$t = \frac{0.3010 + 0.4771}{0.4771 - 0.3010} = \frac{0.7781}{0.1761} \approx 4.418$$分钟
已知从开始到75°C用时1分钟，所以从75°C到30°C还需$$m = t - 1 \approx 3.418$$分钟，约3.4分钟。因此选B。
第三题：函数$$y = kx + b$$在区间[1,2]上最大值与最小值差为2，求k的值。
该函数为线性函数，在闭区间上最大值和最小值在端点取得。差值为：$$|k \cdot 2 + b - (k \cdot 1 + b)| = |2k - k| = |k| = 2$$
所以$$k = 2$$或$$k = -2$$。因此选C。
第四题：在△ABC中，∠BAC=135°，AB=√2，AC=1，D是BC边上一点（含端点），求$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC}$$的取值范围。
使用向量法。设$$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，则$$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$$。
点D在BC上，设$$\overrightarrow{AD} = \vec{b} + \lambda (\vec{c} - \vec{b}) = (1-\lambda)\vec{b} + \lambda \vec{c}$$，其中$$0 \leq \lambda \leq 1$$。
则$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = [(1-\lambda)\vec{b} + \lambda \vec{c}] \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = (1-\lambda)\vec{b} \cdot \vec{c} - (1-\lambda)|\vec{b}|^2 + \lambda |\vec{c}|^2 - \lambda \vec{b} \cdot \vec{c}$$
$$= [ (1-\lambda) - \lambda ] \vec{b} \cdot \vec{c} - (1-\lambda)|\vec{b}|^2 + \lambda |\vec{c}|^2 = (1 - 2\lambda) \vec{b} \cdot \vec{c} - (1-\lambda)|\vec{b}|^2 + \lambda |\vec{c}|^2$$
已知$$|\vec{b}| = \sqrt{2}$$，$$|\vec{c}| = 1$$，$$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos 135^{\circ} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$$
代入：$$= (1-2\lambda)(-1) - (1-\lambda)(2) + \lambda (1) = -1 + 2\lambda -2 + 2\lambda + \lambda = 5\lambda - 3$$
由于$$0 \leq \lambda \leq 1$$，所以取值范围为$$[5 \cdot 0 - 3, 5 \cdot 1 - 3] = [-3, 2]$$。因此选D。
第五题：题目异常，无法解析。
第六题：声音等级公式$$d(x) = 9 \lg \frac{x}{1 \times 10^{-13}}$$。两人小声交谈时等级54dB，老师声音强度是10倍，求老师声音等级。
设两人声音强度为x，则$$9 \lg \frac{x}{10^{-13}} = 54$$，即$$\lg \frac{x}{10^{-13}} = 6$$，所以$$\frac{x}{10^{-13}} = 10^6$$，$$x = 10^{-7} W/m^2$$。
老师声音强度为$$10x = 10^{-6} W/m^2$$，代入公式：$$d = 9 \lg \frac{10^{-6}}{10^{-13}} = 9 \lg 10^7 = 9 \times 7 = 63 dB$$。因此选B。
第七题：泳池深3.5m，容积4375m³，水深不低于1.8m，求至少蓄水量。
泳池底面积S满足：$$S \times 3.5 = 4375$$，所以$$S = \frac{4375}{3.5} = 1250 m^2$$。
至少蓄水体积为$$1250 \times 1.8 = 2250 m^3$$。因此选A。
第八题：题目异常，无法解析。
第九题：垃圾分类资金每年增长20%，初始5000万元，求超过12800万元的年份。
设n年后资金为$$5000 \times (1.2)^n$$，解不等式：$$5000 \times 1.2^n > 12800$$，即$$1.2^n > \frac{12800}{5000} = 2.56$$。
取对数：$$n \lg 1.2 > \lg 2.56$$。$$\lg 2.56 = \lg (256/100) = \lg 256 - 2 = 8 \lg 2 - 2 \approx 8 \times 0.301 - 2 = 2.408 - 2 = 0.408$$。
$$\lg 1.2 \approx 0.079$$，所以$$n > \frac{0.408}{0.079} \approx 5.164$$。
因此，从2019年开始，第6年即2025年超过12800万元。选C。
第十题：蹴鞠模型问题。四点A,B,C,D每两点距离为$$2\sqrt{6} cm$$，求挖去四面体ABCD后剩余部分体积对应的质量。
四点构成正四面体，棱长$$a = 2\sqrt{6} cm$$。正四面体外接球半径$$R = \frac{a \sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{4} = \frac{2 \times 6}{4} = 3 cm$$。
蹴鞠整体体积即球体积：$$V_{球} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 27 \approx 113.04 cm^3$$。
正四面体体积：$$V_{四面体} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{6})^3}{6\sqrt{2}} = \frac{192}{6\sqrt{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2} \approx 16 \times 1.41 = 22.56 cm^3$$。
剩余体积：$$113.04 - 22.56 = 90.48 cm^3$$，质量约为90.48g，但选项中最接近的为99.2g（C）。可能计算有误，精确计算：
$$R = 3$$准确，$$V_{球} = \frac{4}{3} \pi 27 = 36\pi \approx 36 \times 3.14 = 113.04$$。
正四面体体积公式：$$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times (2\sqrt{6})^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 48\sqrt{6} = 4\sqrt{2} \sqrt{6} = 4\sqrt{12} = 8\sqrt{3} \approx 8 \times 1.73 = 13.84 cm^3$$。
因此剩余体积：$$113.04 - 13.84 = 99.2 cm^3$$，质量99.2g。选C。