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正确率80.0%一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买$${{1}{0}{g}}$$黄金，售货员先将$${{5}{g}}$$的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将$${{5}{g}}$$的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为$${{m}{g}}$$，则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{m}{>}{{1}{0}}}$$
B.$${{m}{=}{{1}{0}}}$$
C.$${{m}{<}{{1}{0}}}$$
D.以上都有可能
2、['一次函数模型的应用']正确率80.0%牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为$${{T}_{0}}$$，则经过一定时间$${{t}}$$后的温度$${{T}}$$将满足$$T-T_{a}=( \frac{1} {2} )^{\frac{t} {h}} \cdot( T_{0}-T_{a} )$$，其中$${{T}_{a}}$$是环境温度，$${{h}}$$称为半衰期．现有一杯$${{8}{5}{℃}}$$的热茶，放置在$${{2}{5}{℃}}$$的房间中，如果热茶降温到$${{5}{5}{℃}}$$，需要$${{1}{0}}$$分钟，则欲降温到$${{4}{5}{℃}}$$，大约需要多少分钟?$${{(}{{l}{g}}{2}{≈}{{0}{.}{3}{0}{1}{0}}{，}{{l}{g}}{3}{≈}{{0}{.}{4}{7}{7}{1}}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
3、['一次函数模型的应用']正确率80.0%$${{2}{0}{2}{1}}$$年$${{4}}$$月$${{1}{3}}$$日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质$${{3}{H}}$$含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知$${{3}{H}}$$的质量$${{M}{(}{k}{g}{)}}$$随时间$${{t}{(}}$$年$${{)}}$$的指数衰减规律是：$$M=M_{0} \cdot2^{-0. 0 0 8 t} ($$其中$${{M}_{0}}$$为$${{3}{H}}$$的初始质量$${{)}{.}}$$则当$${{3}{H}}$$的质量衰减为最初的$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$时，所经过的时间为$${{(}{)}}$$
$${{(}}$$参考数据：$${{l}{g}{2}{≈}{{0}{.}{3}{0}}}$$，$${{l}{g}{3}{≈}{{0}{.}{4}{8}}{)}}$$
B
A.$${{1}{2}{5}}$$年
B.$${{1}{7}{5}}$$年
C.$${{2}{5}{5}}$$年
D.$${{1}{0}{5}{0}}$$年
4、['一次函数模型的应用'， '直线中的对称问题']正确率80.0%唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{⩽}{1}}$$，若将军从$${{A}{(}{2}{，}{0}{)}}$$出发，河岸线所在直线方程$${{x}{+}{y}{−}{4}{=}{0}}$$，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}{−}{1}}$$
5、['一次函数模型的应用']正确率60.0%甲$${、}$$乙两人从相距$${{3}{0}{0}{m}}$$的$${{A}{，}{B}}$$两地同时出发，相向而行，甲带了一只狗和他一起出发，甲每分钟行$${{4}{0}{m}}$$，乙每分钟行$${{6}{0}{m}}$$，狗每分钟行$${{2}{0}{0}{m}}$$.狗出发后奔向乙，遇乙后便立即折回奔向甲，遇甲后又马上折回奔向乙，这样的方式一直进行到甲与乙相遇为止，则从出发到甲乙相遇过程中狗共跑的路程是
B
A.$${{3}{0}{0}{m}}$$
B.$${{6}{0}{0}{m}}$$
C.$${{9}{0}{0}{m}}$$
D.$${{1}{2}{0}{0}{m}}$$
6、['一次函数模型的应用']正确率80.0%医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量$${{x}{(}}$$单位：$${{m}{g}{)}}$$与给药时间$${{t}{(}}$$单位：$${{h}{)}}$$近似满足函数关系式$$x=\frac{k_{0}} {k} ( 1-e^{-k t} )$$，其中$${{k}_{0}}$$，$${{k}}$$分别称为给药速率和药物消除速率$${{(}}$$单位：$${{m}{g}{/}{h}{)}{.}}$$经测试发现，当$${{t}{=}{{2}{3}}}$$时，$$x=\frac{k_{0}} {2 k}$$，则该药物的消除速率$${{k}}$$的值约为$${{(}{)}{(}{{l}{n}}{2}{≈}{{0}{.}{6}{9}}{)}}$$
A
A.$$\frac{3} {1 0 0}$$
B.$$\frac{3} {1 0}$$
C.$$\frac{1 0} {3}$$
D.$$\frac{1 0 0} {3}$$
7、['一次函数模型的应用']正确率40.0%在自然界，大气压强$${{p}{(}}$$单位：$${{m}{m}{H}{g}{)}}$$和海拔高度$${{h}{(}}$$单位：$${{m}{)}}$$的关系可用指数模型$$p=a e^{-k h}$$来描述，根据统计计算得到$${{a}{=}{{7}{6}{0}}}$$，$${{k}{=}{{0}{.}{0}{0}{0}{1}{6}{4}{.}}}$$现已知海拔$${{5}{0}{0}{m}}$$时的大气压强约为$${{7}{0}{0}{m}{m}{H}{g}}$$，则当大气压强约为$${{3}{5}{0}{m}{m}{H}{g}}$$时，海拔高度约为$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$${{l}{n}{2}{=}{{0}{.}{6}{9}}{)}}$$
C
A.$${{3}{5}{0}{0}{m}}$$
B.$${{4}{2}{0}{0}{m}}$$
C.$${{4}{7}{0}{0}{m}}$$
D.$${{5}{2}{0}{0}{m}}$$
8、['一次函数模型的应用']正确率80.0%围棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现．围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各$${{1}{9}}$$条线段形成$${{3}{6}{1}}$$个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜．围棋状态空间的复杂度上限为$$P=3^{3 6 1}$$，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为$$Q=1 0^{8 0}$$，则下列数中最接近数值$$\frac{P} {\rho}$$的是$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$${{l}{g}{3}{≈}{{0}{.}{4}{7}{7}}{)}}$$
D
A.$$1 0^{8 9}$$
B.$$1 0^{9 0}$$
C.$$1 0^{9 1}$$
D.$$1 0^{9 2}$$
9、['一次函数模型的应用']正确率80.0%蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球$${{.}}$$因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球$${{.}{2}{0}{0}{6}}$$年$${{5}}$$月$${{2}{0}}$$日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录$${{.}{3}{D}}$$打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术$${{(}}$$即“积层造型法”$${{)}{.}}$$过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用$${{(}}$$比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等$${{)}{.}}$$已知某鞠的表面上有四个点$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$、$${{D}}$$，满足任意两点间的直线距离为$${{2}{\sqrt {6}}{c}{m}}$$，现在利用$${{3}{D}}$$打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由$${{A}{B}{C}{D}}$$组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为$${{1}{g}{/}{c}{{m}^{3}}}$$，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为$${{(}{)}}$$
$${{(}}$$参考数据：取$${{π}{=}{{3}{.}{1}{4}}}$$，$${\sqrt {2}{=}{{1}{.}{4}{1}}}$$，$${\sqrt {3}{=}{{1}{.}{7}{3}}}$$，精确到$${{0}{.}{1}{)}}$$
C
A.$${{1}{1}{3}{.}{0}{g}}$$
B.$${{2}{6}{7}{.}{9}{g}}$$
C.$${{9}{9}{.}{2}{g}}$$
D.$${{1}{3}{.}{8}{g}}$$
10、['一次函数模型的应用']正确率80.0%我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何?”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余$${{4}{.}{5}}$$尺，将绳子对折再量木条，木条剩余$${{1}}$$尺，问木条长多少尺?”，设绳子长$${{x}}$$尺，木条长$${{y}}$$尺，根据题意所列方程组正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\left\{\begin{matrix} {x-y=4. 5} \\ {\frac{1} {2} x-y=1} \\ \end{matrix} \right.$$
B.$$\left\{\begin{matrix} x-y=4. 5 \\ y-\frac{1} {2} x=1 \end{matrix} \right.$$
C.$$\left\{\begin{matrix} {x+y=4. 5} \\ {y-\frac{1} {2} x=1} \\ \end{matrix} \right.$$
D.$$\left\{\begin{matrix} x-y=4. 5 \\ x-\frac{1} {2} y=1 \end{matrix} \right.$$
1. 设天平左臂长为$$L$$，右臂长为$$R$$。第一次称量时，$$5g$$砝码放在左盘，黄金放在右盘，平衡时有$$5L = m_1R$$，即$$m_1 = \frac{5L}{R}$$。第二次称量时，$$5g$$砝码放在右盘，黄金放在左盘，平衡时有$$m_2L = 5R$$，即$$m_2 = \frac{5R}{L}$$。顾客得到的黄金总量为$$m = m_1 + m_2 = 5\left(\frac{L}{R} + \frac{R}{L}\right)$$。由不等式$$\frac{L}{R} + \frac{R}{L} > 2$$（因为$$L \neq R$$），得$$m > 10$$。故选A。
$$55 - 25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{h}}(85 - 25)$$，化简得$$\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{h}}$$，故$$\frac{10}{h} = 1$$，即$$h = 10$$。
再求降温到$$45℃$$的时间：$$45 - 25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}(85 - 25)$$，化简得$$\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$$。取对数得$$\ln\frac{1}{3} = \frac{t}{10}\ln\frac{1}{2}$$，即$$t = 10 \cdot \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 10 \cdot \frac{0.4771}{0.3010} \approx 16$$分钟。故选C。
3. 由题意，$$\frac{3}{8}M_0 = M_0 \cdot 2^{-0.008t}$$，化简得$$2^{-0.008t} = \frac{3}{8}$$。取对数得$$-0.008t \cdot \lg 2 = \lg 3 - 3\lg 2$$，代入$$\lg 2 \approx 0.3$$，$$\lg 3 \approx 0.48$$，解得$$t \approx \frac{3 \times 0.3 - 0.48}{0.008 \times 0.3} = \frac{0.42}{0.0024} = 175$$年。故选B。
对称点公式得$$A' = (4, 2)$$。最短路径为$$A'$$到军营边界的距离减去半径，即$$\sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} - 1 = \sqrt{20} - 1 = 2\sqrt{5} - 1$$。故选B。
5. 甲乙相遇时间为$$t = \frac{300}{40 + 60} = 3$$分钟。狗跑的路程为$$200 \times 3 = 600m$$。故选B。
7. 由$$p = 760 e^{-0.000164h}$$，代入$$p = 700$$得$$700 = 760 e^{-0.000164 \times 500}$$，验证$$e^{-0.082} \approx 0.92$$（接近$$\frac{700}{760}$$）。再求$$p = 350$$时的高度：$$350 = 760 e^{-0.000164h}$$，取对数得$$\ln \frac{350}{760} = -0.000164h$$，即$$h \approx \frac{\ln 2 + \ln 760 - \ln 350}{0.000164}$$。近似计算得$$h \approx 4700m$$。故选C。
9. 四点$$A, B, C, D$$构成正四面体，棱长为$$2\sqrt{6}$$。正四面体外接球半径$$R = \frac{a\sqrt{6}}{4} = 3$$，体积为$$\frac{4}{3}\pi R^3 = 113.04$$。正四面体体积为$$\frac{a^3 \sqrt{2}}{12} = 13.86$$。模型体积为$$113.04 - 13.86 = 99.18$$，质量约为$$99.2g$$。故选C。
$$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2}x = 1 \end{cases}$$。故选B。